Небесная механика: законы Кеплера и космические скорости

В этом уроке ты узнаешь

Записывать уравнение орбиты и три закона Кеплера в математической форме
Выводить третий закон Кеплера из закона тяготения и находить по нему массу центрального тела
Вычислять первую и вторую космические скорости энергетическим методом
Решать задачи о спутниках и межпланетных перелётах

Солнце нельзя положить на весы, но его массу мы знаем точнее чем на 0,1 %. Карандашом и бумагой можно рассчитать и скорость, нужную ракете, чтобы покинуть Землю, и высоту орбиты спутника с периодом 24 часа. Ключ ко всему этому — небесная механика: геометрические законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона.

Законы Кеплера в математической форме

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. В полярных координатах (угол отсчитывается от перигелия) уравнение орбиты приведено ниже. Форму эллипса задаёт эксцентриситет e: e = 0 — окружность, e → 1 — сильно вытянутый эллипс.

r(θ) = a(1 − e²) / (1 + e · cos θ)r(θ) = a(1 − e²) / (1 + e · cos θ)

где:

rрасстояние от планеты до Солнца (фокуса), м
aбольшая полуось, м (или а. е.)
eэксцентриситет, 0 ≤ e < 1 (безразмерный)
θистинная аномалия — угол, отсчитанный от перигелия

rₚ = a(1 − e), rₐ = a(1 + e)

где:

rₚрасстояние в перигелии (ближайшая к Солнцу точка), θ = 0°
rₐрасстояние в афелии (самая далёкая точка), θ = 180°

Для Земли a ≈ 149,6 млн км, e ≈ 0,0167: rₚ ≈ 147,1 млн км (начало января), rₐ ≈ 152,1 млн км (начало июля).

Второй закон: радиус-вектор, соединяющий планету с Солнцем, за равные промежутки времени описывает равные площади. Это следствие сохранения момента импульса: сила тяготения центральная (направлена к Солнцу), её момент относительно Солнца равен нулю, поэтому L = m·r·v⊥ постоянен. Отсюда планета быстрее всего движется в перигелии и медленнее всего — в афелии.

dA/dt = L / (2m) = const ⇒ vₚ · rₚ = vₐ · rₐdA/dt = L / (2m) = const ⇒ vₚ · rₚ = vₐ · rₐ

где:

dA/dtdA/dtсекториальная скорость, м²/с
Lмомент импульса, кг·м²/с
vₚ, vₐскорости в перигелии и афелии, м/с

Третий закон: квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси. Кеплер нашёл его из наблюдений, а Ньютон раскрыл коэффициент пропорциональности — он зависит от массы центрального тела. Это главный способ измерения масс в астрономии: так находят массы планет, двойных звёзд, звёзд с экзопланетами и даже галактик.

T² = 4π² a³ / (G (M + m))T² = 4π² a³ / (G (M + m))

где:

Tпериод обращения, с
aбольшая полуось, м
Gгравитационная постоянная, 6,674 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг²
M, mмассы центрального тела и спутника, кг (обычно m ≪ M)

Интерактив

Загрузка симуляции…

Третий закон Кеплера: x — большая полуось (а. е.), y — период (годы), m — масса звезды (в массах Солнца). Проверь точки x = 5,2 (Юпитер) и x = 30 (Нептун); увеличь m — у более массивной звезды период короче.

Закон тяготения Ньютона и вывод закона Кеплера

F = G · m₁ · m₂ / r²F = G · m₁ · m₂ / r²

где:

Fсила тяготения, Н
m₁, m₂массы тел, кг
rрасстояние между центрами тел, м

Для круговой орбиты роль центростремительной силы играет сила тяготения: G·M·m / r² = m·v² / r. Отсюда v = √(GM/r). Так как T = 2πr / v, получаем T² = 4π²r² / v² = 4π²r³ / (GM) — третий закон Кеплера при m ≪ M. Для эллипса тот же результат получается с a вместо r. Обрати внимание: масса спутника m сокращается — орбита от неё не зависит.

Пример 1: масса Солнца

Большая полуось орбиты Земли a = 1,496 · 10¹¹ м, период T = 3,156 · 10⁷ с. Найди массу Солнца.

Показать решение

Из третьего закона (m ≪ M): M = 4π²a³ / (G·T²).
a³ = (1,496 · 10¹¹)³ ≈ 3,348 · 10³³ м³; 4π²a³ ≈ 1,322 · 10³⁵.
G·T² = 6,674 · 10⁻¹¹ · (3,156 · 10⁷)² ≈ 6,647 · 10⁴.
M ≈ 1,322 · 10³⁵ / 6,647 · 10⁴ ≈ 1,99 · 10³⁰ кг — примерно в 333 000 раз больше массы Земли.

Космические скорости и энергия

Полная механическая энергия тела в поле тяготения — сумма кинетической и потенциальной энергий (потенциальная энергия на бесконечности принимается равной нулю). Чтобы уйти на бесконечность, телу нужна полная энергия E ≥ 0. Условие E = 0 даёт вторую космическую скорость (скорость убегания), которая ровно в √2 раз больше круговой орбитальной. Скорость в любой точке любой орбиты даёт уравнение vis-viva.

E = ½ m v² − G M m / rE = ½ m v² − G M m / r

где:

Eполная механическая энергия, Дж; E < 0 — замкнутая орбита, E ≥ 0 — тело улетает

v₁ = √(GM / r), v₂ = √(2GM / r) = √2 · v₁v₁ = √(GM / r), v₂ = √(2GM / r) = √2 · v₁

где:

v₁круговая орбитальная (первая космическая) скорость, м/с
v₂вторая космическая скорость (скорость убегания), м/с
GMдля Земли 3,986 · 10¹⁴ м³/с²

v² = GM (2/r − 1/a)v² = GM (2/r − 1/a)

где:

vскорость на расстоянии r на орбите, м/с
aбольшая полуось орбиты, м (для окружности a = r)

Уравнение vis-viva: при a = r получаем v₁, при a → ∞ — v₂.

Пример 2: космические скорости для Земли и МКС

а) Найди v₁ и v₂ у поверхности Земли (R = 6371 км). б) Вычисли скорость и период МКС на высоте 400 км. (GM = 3,986 · 10¹⁴ м³/с²)

Показать решение

а) v₁ = √(3,986 · 10¹⁴ / 6,371 · 10⁶) = √(6,257 · 10⁷) ≈ 7,9 км/с.
v₂ = √2 · 7,91 ≈ 11,2 км/с.
б) r = R + h = 6371 + 400 = 6771 км = 6,771 · 10⁶ м.
v = √(3,986 · 10¹⁴ / 6,771 · 10⁶) ≈ 7,67 км/с (≈ 27 600 км/ч).
T = 2πr / v = 2π · 6,771 · 10⁶ / 7673 ≈ 5540 с ≈ 92 мин.

Пример 3: высота геостационарной орбиты

Период геостационарного спутника равен звёздным суткам Земли: T = 86 164 с. Найди радиус его орбиты и высоту над экватором (экваториальный радиус Земли 6378 км).

Показать решение

r³ = GM·T² / (4π²) = 3,986 · 10¹⁴ · (86 164)² / 39,48 ≈ 7,50 · 10²² м³.
r = ∛(7,50 · 10²²) ≈ 4,216 · 10⁷ м ≈ 42 160 км.
h = r − R ≈ 42 160 − 6378 ≈ 35 800 км — те самые «около 36 000 км» из прошлого урока.

Пример 4: полёт к Марсу (гоманновская орбита)

При самом экономичном перелёте аппарат движется по эллипсу с перигелием на орбите Земли (1 а. е.) и афелием на орбите Марса (1,524 а. е.). Сколько длится полёт?

Показать решение

Большая полуось: a = (1 + 1,524) / 2 = 1,262 а. е.
Полный период: T = a^(3/2) = 1,262^1,5 ≈ 1,418 года.
Полёт — половина эллипса: t = T / 2 ≈ 0,709 года ≈ 259 суток (около 8,5 месяца).

Где это применяется?

Космическая техника — вывод спутников на орбиту, коррекция орбит, межпланетные траектории и гравитационные манёвры.
Навигация и связь — выбор орбит для GPS, спутников связи и метеоспутников.
Астрофизика — измерение масс двойных звёзд, экзопланет и галактик, поиск тёмной материи.
Планетарная защита — прогноз траекторий астероидов, сближающихся с Землёй.

Главное

Орбита — эллипс: r = a(1 − e²)/(1 + e·cos θ); rₚ = a(1 − e), rₐ = a(1 + e).
Второй закон — это сохранение момента импульса: vₚ·rₚ = vₐ·rₐ.
T² = 4π²a³/(GM); в солнечных единицах T² = a³/M — главный способ измерения масс.
v₁ = √(GM/r), v₂ = √2·v₁; для Земли 7,9 и 11,2 км/с.
Vis-viva: v² = GM(2/r − 1/a); при E < 0 орбита замкнута.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Планета обращается вокруг звезды массой в одну солнечную с большой полуосью 4 а. е. Каков её период?