- Yörünge denklemini ve Kepler’in üç yasasını matematiksel olarak ifade etmek
- Kepler’in üçüncü yasasını Newton’un kütle çekim yasasından türetmek ve merkezî cismin kütlesini bulmak
- Yörünge (birinci kozmik) ve kaçış (ikinci kozmik) hızlarını enerji yöntemiyle hesaplamak
- Uydu ve gezegenler arası geçiş problemlerini çözmek
Güneş’i teraziye koyamayız, ama kütlesini %0,1’den daha iyi bir doğrulukla biliyoruz. Bir roketin Dünya’dan kurtulmak için ne kadar hızlı gitmesi gerektiğini ya da 24 saatte bir tur atan bir uydunun ne kadar yükseğe çıkması gerektiğini de kâğıt kalemle hesaplayabiliriz. Anahtar gök mekaniğidir: Kepler’in geometrik yasaları ve Newton’un kütle çekim yasası.
Matematiksel biçimde Kepler yasaları
Birinci yasa: Her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan bir elips üzerinde hareket eder. Kutupsal koordinatlarda (açı günberiden ölçülür) yörünge denklemi aşağıdadır. Elipsin biçimini dışmerkezlik e belirler: e = 0 bir çember, e → 1 çok basık bir elipstir.
- rgezegenden Güneş’e (odağa) uzaklık, m
- abüyük yarı eksen, m (veya AB)
- edışmerkezlik, 0 ≤ e < 1 (birimsiz)
- θgerçek anomali — günberiden ölçülen açı
- rₚgünberi uzaklığı (Güneş’e en yakın nokta), θ = 0°
- rₐgünöte uzaklığı (en uzak nokta), θ = 180°
Dünya için a ≈ 149,6 milyon km, e ≈ 0,0167: rₚ ≈ 147,1 milyon km (ocak başı), rₐ ≈ 152,1 milyon km (temmuz başı).
İkinci yasa: Gezegeni Güneş’e birleştiren doğru, eşit zamanlarda eşit alanlar tarar. Bu, açısal momentumun korunumunun sonucudur: Kütle çekimi merkezî bir kuvvettir (Güneş’e yönelir), Güneş’e göre torku sıfırdır; dolayısıyla L = m·r·v⊥ sabittir. Bu yüzden gezegen günberide en hızlı, günötede en yavaş hareket eder.
- dA/dtdA/dtalansal hız, m²/s
- Laçısal momentum, kg·m²/s
- vₚ, vₐgünberi ve günötedeki hızlar, m/s
Üçüncü yasa: Dolanma süresinin karesi, büyük yarı eksenin küpüyle orantılıdır. Kepler bunu gözlemlerden buldu; Newton ise orantı sabitini ortaya koydu: Bu sabit merkezî cismin kütlesine bağlıdır. Bu, astronomide kütle ölçmenin temel yoludur: Gezegenlerin, çift yıldızların, ötegezegenli yıldızların ve hatta galaksilerin kütleleri böyle bulunur.
- Tdolanma süresi, s
- abüyük yarı eksen, m
- Gkütle çekim sabiti, 6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg²
- M, mmerkezî cismin ve dolanan cismin kütleleri, kg (genellikle m ≪ M)
Newton’un kütle çekim yasası ve Kepler yasasının türetilmesi
- Fkütle çekim kuvveti, N
- m₁, m₂cisimlerin kütleleri, kg
- rcisimlerin merkezleri arasındaki uzaklık, m
Çembersel bir yörüngede merkezcil kuvveti kütle çekimi sağlar: G·M·m / r² = m·v² / r. Buradan v = √(GM/r) elde edilir. T = 2πr / v olduğundan T² = 4π²r² / v² = 4π²r³ / (GM) bulunur; bu, m ≪ M için Kepler’in üçüncü yasasıdır. Elips için aynı sonuç r yerine a ile geçerlidir. Dikkat: Uydunun kendi kütlesi m sadeleşir; yörünge uydunun kütlesine bağlı değildir.
Dünya’nın yörüngesinin büyük yarı ekseni a = 1,496 · 10¹¹ m, dönemi T = 3,156 · 10⁷ s’dir. Güneş’in kütlesini bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
a³ = (1,496 · 10¹¹)³ ≈ 3,348 · 10³³ m³; 4π²a³ ≈ 1,322 · 10³⁵.
G·T² = 6,674 · 10⁻¹¹ · (3,156 · 10⁷)² ≈ 6,647 · 10⁴.
M ≈ 1,322 · 10³⁵ / 6,647 · 10⁴ ≈ 1,99 · 10³⁰ kg; Dünya’nın kütlesinin yaklaşık 333 000 katı.
Kozmik hızlar ve enerji
Bir cismin kütle çekim alanındaki toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamıdır (potansiyel enerji sonsuzda sıfır alınır). Sonsuza ulaşmak için cismin toplam enerjisi E ≥ 0 olmalıdır. E = 0 koşulu kaçış (ikinci kozmik) hızını verir; bu hız, çembersel yörünge hızının tam √2 katıdır. Herhangi bir yörüngenin herhangi bir noktasındaki hızı vis-viva denklemi verir.
- Etoplam mekanik enerji, J; E < 0 — kapalı yörünge, E ≥ 0 — cisim kaçar
- v₁çembersel yörünge (birinci kozmik) hızı, m/s
- v₂kaçış (ikinci kozmik) hızı, m/s
- GMDünya için 3,986 · 10¹⁴ m³/s²
- vyörüngede r uzaklığındaki hız, m/s
- ayörüngenin büyük yarı ekseni, m (çember için a = r)
Vis-viva denklemi: a = r için v₁, a → ∞ için v₂ elde edilir.
a) Dünya yüzeyinde (R = 6371 km) v₁ ve v₂’yi bul. b) 400 km yükseklikte uçan ISS’in hızını ve dönemini hesapla. (GM = 3,986 · 10¹⁴ m³/s²)
Çözümü gösterÇözümü gizle
v₂ = √2 · 7,91 ≈ 11,2 km/s.
b) r = R + h = 6371 + 400 = 6771 km = 6,771 · 10⁶ m.
v = √(3,986 · 10¹⁴ / 6,771 · 10⁶) ≈ 7,67 km/s (≈ 27 600 km/h).
T = 2πr / v = 2π · 6,771 · 10⁶ / 7673 ≈ 5540 s ≈ 92 dk.
Yer eşzamanlı bir uydunun dönemi Dünya’nın yıldız gününe eşittir: T = 86 164 s. Yörünge yarıçapını ve ekvatordan yüksekliğini bul (Dünya’nın ekvator yarıçapı 6378 km).
Çözümü gösterÇözümü gizle
r = ∛(7,50 · 10²²) ≈ 4,216 · 10⁷ m ≈ 42 160 km.
h = r − R ≈ 42 160 − 6378 ≈ 35 800 km; önceki dersteki “yaklaşık 36 000 km”.
En az yakıtlı rotada uzay aracı, günberisi Dünya’nın yörüngesinde (1 AB), günötesi Mars’ın yörüngesinde (1,524 AB) olan bir elips izler. Yolculuk ne kadar sürer?
Çözümü gösterÇözümü gizle
Tam dönem: T = a^(3/2) = 1,262^1,5 ≈ 1,418 yıl.
Yolculuk elipsin yarısıdır: t = T / 2 ≈ 0,709 yıl ≈ 259 gün (yaklaşık 8,5 ay).
Nerede kullanılır?
- Uzay mühendisliği — uyduları yörüngeye yerleştirme, yörünge düzeltmeleri, gezegenler arası rotalar ve kütle çekim destekli manevralar.
- Navigasyon ve iletişim — GPS, haberleşme ve meteoroloji uyduları için yörünge seçimi.
- Astrofizik — çift yıldızların, ötegezegenlerin ve galaksilerin kütlelerini ölçme, karanlık madde arayışı.
- Gezegen savunması — Dünya’ya yaklaşan asteroitlerin yörüngelerini tahmin etme.
Önemli noktalar
- Yörünge bir elipstir: r = a(1 − e²)/(1 + e·cos θ); rₚ = a(1 − e), rₐ = a(1 + e).
- İkinci yasa açısal momentumun korunumudur: vₚ·rₚ = vₐ·rₐ.
- T² = 4π²a³/(GM); Güneş birimlerinde T² = a³/M; kütle ölçmenin temel yolu.
- v₁ = √(GM/r), v₂ = √2·v₁; Dünya için 7,9 ve 11,2 km/s.
- Vis-viva: v² = GM(2/r − 1/a); E < 0 ise yörünge kapalıdır.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.