Космология: красное смещение, закон Хаббла, тёмная материя и тёмная энергия

В этом уроке ты узнаешь

Вычислять красное смещение и находить расстояния по закону Хаббла
Вычислять хаббловское время и критическую плотность
Объяснять зависимость температуры реликтового излучения от красного смещения
Анализировать наблюдательные доказательства тёмной материи и тёмной энергии

В спектрах далёких галактик все линии смещены в красную сторону, причём чем дальше галактика, тем больше смещение. Из этого простого наблюдения следует, что Вселенная расширяется, что ей около 13,8 млрд лет и что бо́льшая её часть состоит из невидимых материи и энергии. Космология — наука о Вселенной в целом.

Красное смещение и масштабный фактор

z = (λ(набл.) − λ(изл.)) / λ(изл.)z = (λ(набл.) − λ(изл.)) / λ(изл.)

где:

zкрасное смещение (безразмерное)
λдлина волны: наблюдаемая на Земле и излучённая источником, нм

Космологическое красное смещение — не обычный эффект Доплера: пока свет летит, расширяется само пространство, и волна «растягивается» вместе с ним. Размер Вселенной описывают масштабным фактором a(t) (сегодня a = 1). Тогда 1 + z показывает, во сколько раз Вселенная «выросла» с момента, когда свет отправился в путь. При малых z смещение можно перевести в скорость: v ≈ c·z.

1 + z = λ(набл.) / λ(изл.) = a(сейчас) / a(тогда); при z ≪ 1: v ≈ c · z1 + z = λ(набл.) / λ(изл.) = a(сейчас) / a(тогда); при z ≪ 1: v ≈ c · z

где:

aмасштабный фактор Вселенной (сегодня 1)
cскорость света ≈ 300 000 км/с

Закон Хаббла и возраст Вселенной

v = H₀ · d

где:

vскорость удаления галактики, км/с
H₀постоянная Хаббла ≈ 70 км/с/Мпк
dрасстояние, Мпк (1 Мпк ≈ 3,26 млн св. лет ≈ 3,086 · 10¹⁹ км)

Разные методы дают H₀ ≈ 67–73 км/с/Мпк; это расхождение называют «хаббловским напряжением», и его активно исследуют.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Закон Хаббла: x — расстояние (Мпк), y — скорость удаления (км/с), h — постоянная Хаббла. Меняй h: как меняется расстояние при той же скорости?

Пример 1: расстояние до галактики

В спектре галактики линия водорода Hα (λ₀ = 656,3 нм) наблюдается на 662,9 нм. Найди z, скорость удаления и расстояние (H₀ = 70 км/с/Мпк).

Показать решение

z = (662,9 − 656,3) / 656,3 = 6,6 / 656,3 ≈ 0,0101.
Так как z ≪ 1, v ≈ c·z ≈ 300 000 · 0,0101 ≈ 3000 км/с.
d = v / H₀ ≈ 3000 / 70 ≈ 43 Мпк ≈ 43 · 3,26 ≈ 140 млн световых лет.
Значит, свет этой галактики отправился к нам примерно 140 млн лет назад.

Если бы расширение всегда шло с постоянной скоростью, две галактики «разошлись бы из одной точки» за время t = d / v = 1 / H₀. Это хаббловское время — хорошая оценка возраста Вселенной. Точный возраст (13,8 млрд лет) получают из модели, учитывающей состав Вселенной, и из измерений реликтового излучения; близость этих чисел отчасти случайна: сначала расширение замедлялось, а позже стало ускоряться.

t(H) = 1 / H₀t(H) = 1 / H₀

где:

t(H)хаббловское время, с (затем переводится в годы)

Пример 2: хаббловское время

Найди хаббловское время в секундах и годах при H₀ = 70 км/с/Мпк.

Показать решение

H₀ = 70 км/с / (3,086 · 10¹⁹ км) ≈ 2,27 · 10⁻¹⁸ с⁻¹.
t(H) = 1 / H₀ ≈ 4,41 · 10¹⁷ с.
1 год ≈ 3,156 · 10⁷ с → t(H) ≈ 4,41 · 10¹⁷ / 3,156 · 10⁷ ≈ 1,4 · 10¹⁰ лет ≈ 14 млрд лет.
Это очень близко к измеренному возрасту (13,8 млрд лет).

Уравнение Фридмана, критическая плотность и реликтовое излучение

Темп расширения зависит от состава Вселенной. Уравнение Фридмана, выведенное из общей теории относительности, связывает темп расширения H = ȧ/a с плотностью ρ, кривизной пространства k и космологической постоянной Λ. Если плотность равна критической, пространство плоское (k = 0). Наблюдения показывают, что Вселенная действительно почти плоская.

H² = (8πG / 3) · ρ − k·c² / a² + Λ·c² / 3H² = (8πG / 3) · ρ − k·c² / a² + Λ·c² / 3

где:

Hпараметр Хаббла H = ȧ / a, с⁻¹
ρплотность вещества и излучения, кг/м³
kкривизна пространства (+1, 0, −1)
Λкосмологическая постоянная (простейшая модель тёмной энергии), м⁻²

ρ(кр) = 3H² / (8πG)ρ(кр) = 3H² / (8πG)

где:

ρ(кр)критическая плотность, кг/м³ (из случая Λ = 0, k = 0)

Пример 3: критическая плотность

Найди критическую плотность при H₀ = 2,27 · 10⁻¹⁸ с⁻¹ (70 км/с/Мпк). Скольким атомам водорода в кубометре это соответствует (m(H) = 1,67 · 10⁻²⁷ кг)?

Показать решение

ρ(кр) = 3 · (2,27 · 10⁻¹⁸)² / (8π · 6,674 · 10⁻¹¹) = 1,55 · 10⁻³⁵ / 1,68 · 10⁻⁹ ≈ 9,2 · 10⁻²⁷ кг/м³.
n = 9,2 · 10⁻²⁷ / 1,67 · 10⁻²⁷ ≈ 5,5 атома/м³ — в миллиарды раз разреженнее лучшего лабораторного вакуума.

Поскольку расширение растягивает и длины волн излучения, температура реликтового излучения падает в 1 + z раз. Примерно через 380 000 лет после Большого взрыва (z ≈ 1100) температура снизилась до ≈ 3000 К, электроны и протоны объединились в нейтральные атомы, и Вселенная стала прозрачной. Сегодня мы принимаем этот свет как почти идеальное излучение чёрного тела с температурой 2,725 К; его крошечные перепады температуры (порядка 10⁻⁵) — «зародыши» будущих галактик.

T(z) = T₀ · (1 + z)

где:

T₀современная температура реликтового излучения, 2,725 К
T(z)температура в эпоху с красным смещением z, К

Пример 4: реликтовое излучение тогда и сейчас

а) Какой была температура излучения в эпоху z = 1100? б) На какой длине волны максимум реликтового излучения сегодня?

Показать решение

а) T = 2,725 · (1 + 1100) ≈ 3000 К — как поверхность холодной звезды.
б) Закон Вина: λₘₐₓ = 2,898 · 10⁻³ / 2,725 ≈ 1,06 · 10⁻³ м ≈ 1,1 мм — микроволны. Длина волны растянулась примерно в 1100 раз.

Тёмная материя и тёмная энергия

В 1933 году Фриц Цвикки заметил, что галактики в скоплении Волосы Вероники движутся гораздо быстрее, чем могла бы удержать видимая масса. В 1970-х годах Вера Рубин показала, что кривые вращения спиральных галактик «плоские»: скорость звёзд не падает с удалением от центра. Для круговой орбиты v = √(GM(r)/r), поэтому постоянная v означает, что масса галактики M(r) растёт пропорционально радиусу — даже там, где звёзды уже кончились. Эта невидимая масса — тёмная материя; она не излучает и не поглощает свет и проявляет себя только тяготением (гравитационное линзирование, флуктуации реликтового излучения).

M(r) = v² · r / GM(r) = v² · r / G

где:

M(r)масса внутри радиуса r, кг
vскорость вращения на расстоянии r, м/с

Пример 5: масса Млечного Пути

Солнце обращается вокруг центра Галактики на расстоянии r ≈ 8 кпк (1 кпк = 3,086 · 10¹⁹ м) со скоростью v ≈ 220 км/с. Найди массу внутри орбиты Солнца.

Показать решение

r = 8 · 3,086 · 10¹⁹ ≈ 2,47 · 10²⁰ м; v = 2,2 · 10⁵ м/с.
M = v²r / G = (2,2 · 10⁵)² · 2,47 · 10²⁰ / 6,674 · 10⁻¹¹ ≈ 1,8 · 10⁴¹ кг.
M / M☉ ≈ 1,8 · 10⁴¹ / 1,99 · 10³⁰ ≈ 9 · 10¹⁰ масс Солнца. Поскольку дальше скорость не падает, полная масса Галактики во много раз больше — и бо́льшая её часть приходится на тёмную материю.

В 1998 году две группы исследователей, наблюдая далёкие сверхновые типа Ia («стандартные свечи»), получили неожиданный результат: они слабее, чем ожидалось, значит, расширение Вселенной ускоряется. За это открытие Перлмуттер, Шмидт и Рисс получили Нобелевскую премию 2011 года. Неизвестную составляющую, вызывающую ускорение, назвали тёмной энергией; её простейшее описание — космологическая постоянная Λ в уравнении Фридмана.

Составляющая	Доля (примерно)	Главные доказательства
Обычное (барионное) вещество	5%	Звёзды, газ, содержание лёгких элементов, реликтовое излучение
Тёмная материя	27%	Кривые вращения, скорости галактик в скоплениях, гравитационное линзирование
Тёмная энергия	68%	Сверхновые типа Ia, реликтовое излучение, распределение галактик

Состав Вселенной (результаты спутника «Планк» и других наблюдений, округлено)

Главное

z = Δλ/λ; 1 + z = a(сейчас)/a(тогда); при малых z v ≈ c·z.
Закон Хаббла v = H₀·d, H₀ ≈ 70 км/с/Мпк; хаббловское время 1/H₀ ≈ 14 млрд лет, возраст Вселенной ≈ 13,8 млрд лет.
Критическая плотность ρ(кр) = 3H²/(8πG) ≈ 9 · 10⁻²⁷ кг/м³; Вселенная почти плоская.
Реликтовое излучение: T = T₀(1 + z), сегодня 2,725 К, максимум около 1 мм.
Состав: ≈ 5 % обычного вещества, ≈ 27 % тёмной материи, ≈ 68 % тёмной энергии.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Галактика удаляется со скоростью 7000 км/с. Каково расстояние до неё при H₀ = 70 км/с/Мпк?