Geometry and Trigonometry: фигуры, треугольники и окружности

В этом уроке ты узнаешь

Эффективно пользоваться справочным листом и знать формулы, которых там нет
Решать задачи на подобные треугольники и тригонометрические отношения
Находить центр и радиус по уравнению окружности

Geometry and Trigonometry — около 15 процентов вопросов по математике (5–7). Есть хорошая и плохая новость. Хорошая: справочный лист в Bluebook всегда доступен. Плохая: уравнения окружности, длины дуги, подобия и sin/cos/tan там нет — их нужно знать самому.

1
Нарисуй
Если рисунка нет, сделай набросок на черновике и подпиши все известные величины.
2
Ищи скрытый треугольник
Высота, радиус или диагональ часто образуют прямоугольный или подобные треугольники.
3
Выбери формулу
Открой справочный лист или запиши формулу, которую знаешь наизусть (уравнение окружности, дуга, SOH-CAH-TOA).
4
Проверь единицы
Площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических; радиус — корень из r².

Углы и подобные треугольники

Когда прямая пересекает две параллельные прямые, любые два образовавшихся угла либо равны, либо в сумме дают 180°. Острый угол не может равняться тупому.
В подобных треугольниках соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. При коэффициенте подобия k площади меняются в k² раз, объёмы — в k³ раз.

Пример 1: высота по тени

Эльвин ростом 1,6 м отбрасывает тень длиной 2 м. В тот же момент тень соседнего дерева равна 15 м. Какова высота дерева?

Показать решение

Солнечные лучи падают под одним углом, поэтому треугольники подобны.
высота/тень: 1,6/2 = h/15.
h = 15 · 0,8 = 12 м.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

sin θ = a/c cos θ = b/c tan θ = a/b sin θ = cos(90° − θ)sin θ = a/c cos θ = b/c tan θ = a/b sin θ = cos(90° − θ)

где:

aкатет, противолежащий углу θ (opposite)
bкатет, прилежащий к углу θ (adjacent)
cгипотенуза (hypotenuse)

Для запоминания — английское SOH-CAH-TOA: Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent.

Пример 2: дополнительные углы

В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 12, BC = 5. Найди sin A и cos B.

Показать решение

Гипотенуза: AB = √(12² + 5²) = √169 = 13 (тройка 5-12-13).
Против угла A лежит BC = 5: sin A = 5/13.
Прилежащий к углу B катет — BC = 5: cos B = 5/13.
Это не совпадение: A + B = 90°, поэтому sin A = cos B всегда.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Измени угол с 30° на 60°: sin 30° = cos 60° = 0,5. У дополнительных углов sin и cos меняются местами.

радианы = градусы × π/180 s = rθ S = ½r²θрадианы = градусы × π/180 s = rθ S = ½r²θ

где:

sдлина дуги (θ в радианах)
Sплощадь сектора (θ в радианах)

В градусах: s = (угол/360°) · 2πr. Например, r = 9, угол 120° = 2π/3: s = 9 · 2π/3 = 6π.

Окружность на координатной плоскости

(x − h)² + (y − k)² = r²

где:

(h, k)центр окружности
rрадиус (квадратный корень из правой части)

Пример 3: выделение полного квадрата

Найди центр и радиус окружности x² + y² − 6x + 8y = 11.

Показать решение

Группируем x и y: (x² − 6x) + (y² + 8y) = 11.
К каждой скобке прибавляем квадрат половины коэффициента: (−6/2)² = 9, (8/2)² = 16 — и к правой части тоже: 11 + 9 + 16 = 36.
(x − 3)² + (y + 4)² = 36.
Центр (3; −4), радиус √36 = 6.

Главное

В справочном листе есть площади, объёмы, Пифагор и особые треугольники; уравнения окружности, дуг и тригонометрии нет.
При параллельных прямых углы либо равны, либо в сумме дают 180°.
Коэффициент подобия k: длины ×k, площади ×k², объёмы ×k³.
SOH-CAH-TOA; если A + B = 90°, то sin A = cos B.
(x − h)² + (y − k)² = r²: центр (h; k), радиус √(правой части).

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из двух внутренних односторонних углов равен 115°. Чему равен другой?