Алгебра SAT: линейные уравнения, функции и системы

В этом уроке ты узнаешь

Определять, имеет ли линейное уравнение одно решение, ни одного или бесконечно много
Объяснять смысл углового коэффициента и свободного члена в задаче
Быстро решать системы двух линейных уравнений
Составлять и решать линейные неравенства в задачах

Самая частая область в математике SAT — Algebra: около 13–15 из 44 вопросов. Эти задания не сложные, но коварные: одна ошибка в знаке или невнимание к тому, какую величину спрашивают, стоит баллов. В этом уроке ты научишься решать линейные уравнения, задачи о прямых и системы со скоростью, которую требует SAT.

1
Что спрашивают?
Прочитай конец вопроса и запиши цель на черновике: x, x + y или число решений.
2
Выбери способ
Алгебра, подстановка вариантов (backsolving) или Desmos — что быстрее.
3
Реши
Каждый шаг пиши отдельной строкой: ошибки в знаках чаще всего делают «в уме».
4
Проверь
Подставь ответ в исходное уравнение и убедись, что даёшь именно спрашиваемую величину.

Линейные уравнения с одной переменной

ax + b = cx + d

где:

a ≠ cодно решение: x = (d − b)/(a − c)
a = c, b ≠ dрешений нет (no solution)
a = c, b = dбесконечно много решений (infinitely many solutions)

Раскрой скобки, приведи подобные слагаемые и сравни коэффициенты при x и свободные члены.

Пример 1: уравнение без решений

При каком значении k уравнение 3(x − 2) + kx = 5x + 4 не имеет решений?

Показать решение

Раскрываем левую часть: 3x − 6 + kx = (3 + k)x − 6.
Уравнение: (3 + k)x − 6 = 5x + 4.
Чтобы решений не было, коэффициенты при x должны совпадать, а свободные члены — различаться: 3 + k = 5 и −6 ≠ 4.
Значит, k = 2. Проверка: 5x − 6 = 5x + 4 ⇒ −6 = 4 — невозможно.

Прямая: угловой коэффициент и начальное значение

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y = mx + bm = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y = mx + b

где:

mугловой коэффициент (slope) — изменение y при увеличении x на 1: скорость или цена за единицу
bточка пересечения с осью y (y-intercept) — значение y при x = 0, то есть начальное значение
(x₁, y₁), (x₂, y₂)две точки на прямой

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны; для перпендикулярных m₁ · m₂ = −1.

Пример 2: смысл модели

Сбережения Айсель описываются формулой S = 25w + 120, где S — сумма в манатах, w — число недель. Что означают 25 и 120? Через сколько недель у Айсель будет 370 манатов?

Показать решение

25 — угловой коэффициент: Айсель откладывает 25 манатов каждую неделю.
120 — начальное значение: при w = 0 у неё уже 120 манатов.
25w + 120 = 370 ⇒ 25w = 250 ⇒ w = 10 недель.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Сначала прямые y = x + 1 и y = −0,5x + 4 пересекаются в точке (2; 3) — это решение системы. Поставь m = −0,5: прямые станут параллельными, и решений не будет. Затем поставь b = 4: прямые совпадут — решений бесконечно много.

Системы двух уравнений

a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂

где:

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂a₁/a₂ ≠ b₁/b₂одно решение — прямые пересекаются
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂решений нет — прямые параллельны
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂бесконечно много решений — одна и та же прямая

Пример 3: метод сложения

Решение системы 2x + 3y = 12 и 4x − 3y = 6 — пара (x; y). Чему равно x + y?

Показать решение

Коэффициенты при y противоположны (+3y и −3y), поэтому складываем уравнения: 6x = 18 ⇒ x = 3.
Подставляем в первое уравнение: 2 · 3 + 3y = 12 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2.
x + y = 3 + 2 = 5.
Внимание: спрашивают x + y, а не x — ответ 3 будет ловушкой.

Линейные неравенства

Пример 4: «не более» (at most)

У Мурада 50 манатов. Он покупает тетрадь за 7 манатов и ручки по 4 маната. Какое наибольшее число ручек он может купить?

Показать решение

Пусть p — число ручек: 7 + 4p ≤ 50.
4p ≤ 43 ⇒ p ≤ 10,75.
Число ручек — целое и не больше 10,75, значит, 10 ручек.
Округляем вниз, а не вверх: 11 ручек стоили бы 51 манат.

1 / 5

Главное

ax + b = cx + d: при a = c и b ≠ d решений нет, при a = c и b = d их бесконечно много.
y = mx + b: m — скорость изменения, b — начальное значение.
В системе отношения коэффициентов показывают число решений.
Если спрашивают выражение (x + y, 2x + 3y), складывай или вычитай уравнения напрямую.
При умножении или делении неравенства на отрицательное число меняй знак.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Если 4x − 7 = 2x + 9, чему равно x?