Advanced Math II: функции, многочлены, корни и дроби

В этом уроке ты узнаешь

Вычислять выражения вида f(g(x)) и узнавать преобразования графиков
Использовать связь между корнями многочлена и его множителями
Решать иррациональные и дробные уравнения и отбрасывать посторонние корни

Вторая половина Advanced Math — вопросы, которые выглядят пугающе, но подчиняются нескольким правилам: f(g(x)), x³ − 4x² + x + 6, x^(3/2), √(x + 7) = x − 5. Большинство решается в 3–4 строки — если знаешь правило. После каждой темы покажем и быстрый способ проверки.

1
Перепиши данные
Выпиши f(x), g(x) или многочлен на черновик, чтобы они были перед глазами.
2
Отметь ограничения
Знаменатель не может быть нулём, подкоренное выражение не может быть отрицательным — запиши это до решения.
3
Изнутри наружу
В композиции и преобразованиях сначала вычисляй то, что в скобках.
4
Проверь
Проверяй каждый корень в исходном уравнении; для тождественности подставляй число.

Обозначение функций и преобразования

f(3) означает «подставь 3 вместо x». f(g(x)) вычисляется изнутри: сначала g, потом f. Например, если f(x) = 2x + 1 и g(x) = x², то f(g(2)) = f(4) = 9, а g(f(2)) = g(5) = 25. Порядок важен!

y = a · f(x − h) + k

где:

hграфик сдвигается на h единиц вправо (влево, если h < 0)
kграфик сдвигается на k единиц вверх (вниз, если k < 0)
aрастяжение по вертикали; при a < 0 график отражается относительно оси x

f(−x) отражает график относительно оси y.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Первый график — y = |x|, второй — его преобразование. При h = 3 и k = 1 вершина переходит из (0; 0) в (3; 1). Сделай a отрицательным и посмотри, как график «переворачивается».

Пример 1: сдвинь точку

График y = f(x) проходит через точку (2; 5). Какая точка лежит на графике y = f(x − 3) + 1?

Показать решение

x − 3 → на 3 единицы вправо: 2 + 3 = 5.
+1 → на 1 единицу вверх: 5 + 1 = 6.
Ответ: (5; 6).
Проверка: при x = 5 f(5 − 3) + 1 = f(2) + 1 = 5 + 1 = 6.

Многочлены: корни, множители и остатки

p(a) = 0 ⇔ (x − a) — множитель p(x) p(x) ÷ (x − a) ⇒ остаток = p(a)

где:

p(x)многочлен (polynomial)
aкорень многочлена (zero): график пересекает ось x в точке x = a

Теорема о остатке: при делении p(x) на (x − a) остаток равен p(a).

Пример 2: от одного корня ко всем

p(x) = x³ − 4x² + x + 6. Найди p(2) и все корни многочлена.

Показать решение

p(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0 ⇒ (x − 2) — множитель.
Делим: x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3).
x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Значит, p(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1), корни: −1, 2, 3.
Проверка (Виет): сумма корней 4 — это коэффициент при x² с противоположным знаком.

Дробные степени, иррациональные и дробные уравнения

x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ x⁻ⁿ = 1/xⁿx^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ x⁻ⁿ = 1/xⁿ

где:

nпоказатель корня (знаменатель)
mстепень (числитель)

Например: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Пример 3: посторонние корни

а) Реши уравнение √(x + 7) = x − 5.
б) Реши уравнение x/(x − 2) = 2/(x − 2) + 3.

Показать решение

а) Возводим в квадрат: x + 7 = x² − 10x + 25 ⇒ x² − 11x + 18 = 0 ⇒ (x − 9)(x − 2) = 0.
Проверка: x = 9: √16 = 4 = 9 − 5 ✓; x = 2: √9 = 3, но 2 − 5 = −3 ✗.
Ответ: только x = 9 (x = 2 — посторонний корень).
б) Умножаем обе части на (x − 2): x = 2 + 3(x − 2) ⇒ x = 3x − 4 ⇒ x = 2.
Но при x = 2 знаменатель равен нулю! Значит, решений нет.

1 / 5

Главное

f(g(x)) вычисляется изнутри; f(g(x)) и g(f(x)) обычно различны.
f(x − h) + k: на h вправо, на k вверх.
p(a) = 0 ⇔ (x − a) — множитель; остаток от деления на (x − a) равен p(a).
x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ).
В иррациональных и дробных уравнениях проверяй каждый корень в исходном уравнении.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Если f(x) = 3x − 2 и g(x) = x² + 1, чему равно f(g(2))?