- Правильно считать изменения в процентах и переводить единицы
- Объяснять, как выброс влияет на среднее и медиану
- Находить вероятность и условную вероятность по таблице сопряжённости
- Понимать, какие выводы допускают выборка и эксперимент
Скидки, скорость, опросы, спортивная статистика — Problem-Solving and Data Analysis — это повседневное лицо математики. На эту область приходится около 15 процентов вопросов (5–7), но ловушек здесь много: например, «выросло на 25%, потом упало на 20% — значит, выросло на 5%». В этом уроке разберём их по очереди.
- 1Прочитай заголовки и единицы
В таблице или графике сначала смотри на заголовки, оси и единицы: тысячи, проценты, манаты?
- 2Найди базу
Для процентов спроси «от чего?», для вероятности — «какая группа в условии?»: это задаёт знаменатель.
- 3Вычисли
Записывай проценты множителями (1,25; 0,8) и сокращай единицы как дроби.
- 4Проверь здравым смыслом
Реалистичен ли ответ? Вероятность не больше 1, скорость не отрицательна.
Проценты, отношения и единицы
- r₁, r₂изменения в виде десятичных дробей: +25% → 0,25, −20% → −0,20
а) Цену обуви в 80 манатов подняли на 25%, затем новую цену снизили на 20%. Какова итоговая цена?
б) Автомобиль едет со скоростью 72 км/ч. Сколько это метров в секунду?
Показать решениеСкрыть решение
б) 72 км/ч = 72 · 1000 м / 3600 с = 20 м/с. Записывай единицы дробью, чтобы лишние сократились: км → м (×1000), часы → секунды (×3600).
Статистика: центр и разброс
- Среднее (mean) — сумма всех значений, делённая на их количество. Выбросы (outlier) тянут его к себе.
- Медиана — среднее по положению значение упорядоченных данных; устойчива к выбросам.
- Стандартное отклонение (standard deviation) показывает, насколько значения разбросаны вокруг среднего. SAT не просит его вычислять, только сравнивать: чем больше разброс, тем оно больше.
- Если прибавить одно и то же число ко всем значениям, среднее и медиана сдвинутся, а разброс (размах, SD) не изменится.
Данные: 3, 5, 5, 6, 8, 9, 12. Найди среднее и медиану. Что изменится, если заменить 12 на 40?
Показать решениеСкрыть решение
12 → 40: сумма = 76 ⇒ среднее = 76/7 ≈ 10,86 — выросло на 4.
Медиана по-прежнему 4-е значение: 6 — не изменилась.
Разброс (и стандартное отклонение) увеличился, потому что одно значение сильно удалилось от остальных.
Вероятность и таблицы сопряжённости
| Класс | Занимается спортом | Не занимается | Всего |
|---|---|---|---|
| 10-й класс | 48 | 52 | 100 |
| 11-й класс | 36 | 64 | 100 |
| Всего | 84 | 116 | 200 |
- n(…)число исходов (людей) в соответствующей группе
- P(A | B)вероятность A при условии B — в знаменателе только группа B
По таблице найди: а) вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается спортом; б) вероятность того, что ученик из 11-го класса, если известно, что он спортсмен; в) вероятность того, что ученик 11-го класса занимается спортом.
Показать решениеСкрыть решение
б) Условие: занимается спортом ⇒ знаменатель 84: 36/84 = 3/7 ≈ 0,43.
в) Условие: 11-й класс ⇒ знаменатель 100: 36/100 = 0,36.
В б) и в) числитель одинаковый (36), а знаменатели разные — именно это и проверяет SAT.
Диаграммы рассеяния, выборки и погрешность
На диаграмме рассеяния линия наилучшего приближения (line of best fit) даёт прогноз: её угловой коэффициент означает «при увеличении x на 1 y меняется примерно на столько». Результаты опросов даются с погрешностью (margin of error): 62% ± 4% означает, что истинная доля, вероятно, от 58% до 66%. Чем больше выборка, тем обычно меньше погрешность.
Главное
- Последовательные изменения в процентах перемножаются, а не складываются: (1 + r₁)(1 + r₂).
- Выброс сдвигает среднее, но почти не влияет на медиану.
- Стандартное отклонение — мера разброса, а не центра.
- В условной вероятности знаменатель — только группа из условия.
- Случайная выборка — обобщение, случайное распределение — причинность.
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.