Advanced Math I: ikinci dereceden ve üstel fonksiyonlar

Bu derste öğreneceklerin

İkinci dereceden fonksiyonun biçiminden kökleri, tepe noktasını ve y-kesişimini okumak
Diskriminantla çözüm sayısını belirlemek
Yüzdelik artış ve azalışı üstel fonksiyonla yazmak

Advanced Math alanı da matematik sorularının yaklaşık yüzde 35'idir (13–15 soru). Merkezinde iki kahraman durur: parabol (atılan top, en yüksek kâr) ve üstel fonksiyon (banka mevduatı, nüfus artışı, ilacın vücuttan atılması). Bu derste onları SAT'ta tanımayı ve hızla çözmeyi öğreneceksin.

1
Kökler gerekiyor
Çarpanlara ayır ya da kök formülünü kullan; yalnızca toplam veya çarpım gerekiyorsa −b/a ve c/a.
2
En büyük veya en küçük değer
Tepe noktasını bul: x = −b/(2a), sonra f(x)'i hesapla ya da tepe biçiminden (h, k)'yi oku.
3
Çözüm sayısı
Diskriminantı (b² − 4ac) hesapla ve işaretine bak.
4
Yüzdelik değişim
Model a · bᵗ biçimindedir: b = 1 + r (artış) ya da 1 − r (azalış).

İkinci dereceden fonksiyonun üç biçimi

y = ax² + bx + c y = a(x − r₁)(x − r₂) y = a(x − h)² + k

burada:

cstandart biçimde y-kesişimi: (0, c)
r₁, r₂çarpanlarına ayrılmış biçimde kökler (x-kesişimleri)
(h, k)tepe biçiminde tepe noktası; k en küçük (a > 0) ya da en büyük (a < 0) değer
aa > 0 kollar yukarı, a < 0 aşağı

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

y = a(x − h)² + k: h parabolü sağa-sola, k yukarı-aşağı kaydırır, a ise genişliğini ve yönünü değiştirir. Dikkat: h = 2 iken formülde (x − 2) yazılır.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a h = −b/(2a)x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a h = −b/(2a)

burada:

b² − 4acdiskriminant: > 0 iki gerçek çözüm, = 0 tek çözüm, < 0 gerçek çözüm yok
htepe noktasının apsisi (x koordinatı)

İkinci derece denklemin kök formülü SAT formül sayfasında yoktur; ezbere bilmelisin.

Örnek 1: tam olarak bir çözüm

c'nin hangi değeri için x² − 6x + c = 0 denkleminin tam olarak bir gerçek çözümü vardır?

Çözümü göster

Tek çözüm ⇔ diskriminant sıfırdır.
b² − 4ac = (−6)² − 4 · 1 · c = 36 − 4c = 0 ⇒ c = 9.
Kontrol: x² − 6x + 9 = (x − 3)² = 0 ⇒ yalnızca x = 3.

Örnek 2: en küçük değer

f(x) = 2x² − 12x + 11 fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

Çözümü göster

a = 2 > 0, kollar yukarı; yani tepe noktası en alçak noktadır.
Tepe x'i = −b/(2a) = 12/4 = 3.
f(3) = 2 · 9 − 12 · 3 + 11 = 18 − 36 + 11 = −7.
Tepe biçiminde: f(x) = 2(x − 3)² − 7. Dikkat: cevap x = 3 değil, değer olan −7'dir.

Üstel fonksiyonlar: yüzdelik artış ve azalış

f(t) = a · bᵗ a(1 + r)ᵗ a(1 − r)ᵗ

burada:

abaşlangıç değeri (t = 0)
bher dönemdeki çarpan: b > 1 artış, 0 < b < 1 azalış
a(1 + r)ᵗ / a(1 − r)ᵗa(1 + r)ᵗ / a(1 − r)ᵗdönem başına r oranında artış / azalış
rondalık olarak yüzde: %3 → 0,03

Doğrusal fonksiyon her adımda aynı miktarı ekler, üstel fonksiyon ise aynı çarpanla çarpar. SAT'ta İngilizce: growth artış, decay azalış demektir.

x	0	1	2	3
Doğrusal: y = 5 + 3x	5	8	11	14
Üstel: y = 5 · 2ˣ	5	10	20	40

İlk satırda farklar sabit (+3), ikincide oranlar sabit (×2).

Örnek 3: artış ve azalış

a) Bir kasabanın nüfusu 80.000'dir ve her yıl %3 artıyor. 2 yıl sonra nüfus kaç olur?
b) 20.000 manat değerindeki bir araba her yıl değerinin %15'ini kaybediyor. 3 yıl sonra değeri ne olur?
c) 500 bakteriden oluşan bir koloni her 4 saatte bir ikiye katlanıyor. 12 saat sonra kaç bakteri olur?

Çözümü göster

a) P = 80.000 · (1,03)² = 80.000 · 1,0609 = 84.872 kişi.
b) Her yıl değerin %85'i kalır: V = 20.000 · (0,85)³ = 20.000 · 0,614125 = 12.282,5 manat.
c) 12 saatte 12/4 = 3 kez ikiye katlanma olur: N = 500 · 2^(12/4) = 500 · 2³ = 4000.

Önemli noktalar

Standart biçim y-kesişimini, çarpanlı biçim kökleri, tepe biçimi tepe noktasını gösterir.
Diskriminant b² − 4ac çözüm sayısını verir; tek çözüm için sıfırdır.
Köklerin toplamı −b/a, çarpımı c/a; tepe noktası x = −b/(2a)'dadır.
Üstel model: a(1 ± r)ᵗ; her dönemde aynı çarpanla çarpılır.

Kendini test et

10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 10

c'nin hangi değeri için x² + 10x + c = 0 denkleminin tam olarak bir gerçek çözümü vardır?