SAT cebiri: doğrusal denklemler, fonksiyonlar ve sistemler

Bu derste öğreneceklerin

Doğrusal bir denklemin bir, sıfır ya da sonsuz çözümü olduğunu belirlemek
Eğimi ve y-kesişimini bağlam içinde yorumlamak
İki doğrusal denklemli sistemleri hızla çözmek
Problemlerde doğrusal eşitsizlik kurup çözmek

SAT matematiğinde en sık görülen alan Algebra'dır: 44 sorunun yaklaşık 13–15'i. Bu sorular zor değil ama tuzaklıdır: tek bir işaret hatası ya da sorunun başka bir niceliği sorduğunu gözden kaçırmak puan kaybettirir. Bu derste doğrusal denklemleri, doğruları ve sistemleri SAT'ın istediği hızda çözmeyi öğreneceksin.

1
Ne soruluyor?
Sorunun sonunu oku ve hedefi karalamaya yaz: x mi, x + y mi, yoksa çözüm sayısı mı?
2
Yöntemi seç
Cebir, seçenekleri yerine koymak (backsolving) ya da Desmos; hangisi daha hızlıysa.
3
Çöz
Her adımı ayrı bir satıra yaz: işaret hatalarının çoğu “akılda” yapılır.
4
Kontrol et
Cevabı ilk denkleme koy ve sorulan niceliği verdiğinden emin ol.

Tek bilinmeyenli doğrusal denklemler

ax + b = cx + d

burada:

a ≠ ctek çözüm: x = (d − b)/(a − c)
a = c, b ≠ dçözüm yok (no solution)
a = c, b = dsonsuz çözüm (infinitely many solutions)

Parantezleri açıp benzer terimleri topladıktan sonra x'in katsayılarını ve sabit terimleri karşılaştır.

Örnek 1: çözümü olmayan denklem

k'nin hangi değeri için 3(x − 2) + kx = 5x + 4 denkleminin çözümü yoktur?

Çözümü göster

Sol tarafı açarız: 3x − 6 + kx = (3 + k)x − 6.
Denklem: (3 + k)x − 6 = 5x + 4.
Çözüm olmaması için x'in katsayıları eşit, sabitler farklı olmalı: 3 + k = 5 ve −6 ≠ 4.
Yani k = 2. Kontrol: 5x − 6 = 5x + 4 ⇒ −6 = 4 — imkânsız.

Doğru: eğim ve başlangıç değeri

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y = mx + bm = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y = mx + b

burada:

meğim (slope) — x 1 arttığında y'deki değişim: bir hız ya da birim fiyat
by-kesişimi (y-intercept) — x = 0 iken y'nin değeri, yani başlangıç değeri
(x₁, y₁), (x₂, y₂)doğru üzerindeki iki nokta

Paralel doğruların eğimleri eşittir; dik doğrular için m₁ · m₂ = −1.

Örnek 2: modeli yorumlamak

Aysel'in birikimi S = 25w + 120 ile modelleniyor; S manat cinsinden miktar, w hafta sayısı. 25 ve 120 neyi gösterir? Aysel kaç hafta sonra 370 manata sahip olur?

Çözümü göster

25 eğimdir: Aysel her hafta 25 manat ekliyor.
120 başlangıç değeridir: w = 0 iken zaten 120 manatı var.
25w + 120 = 370 ⇒ 25w = 250 ⇒ w = 10 hafta.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Başlangıçta y = x + 1 ve y = −0,5x + 4 doğruları (2, 3) noktasında kesişir; bu, sistemin çözümüdür. m'yi −0,5 yap: doğrular paralel olur ve çözüm kalmaz. Sonra b'yi 4 yap: doğrular çakışır, sonsuz çözüm olur.

İki denklemli sistemler

a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂

burada:

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂a₁/a₂ ≠ b₁/b₂tek çözüm — doğrular kesişir
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂çözüm yok — doğrular paralel
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂sonsuz çözüm — aynı doğru

Örnek 3: yok etme yöntemi

2x + 3y = 12 ve 4x − 3y = 6 sisteminin çözümü (x, y)'dir. x + y kaçtır?

Çözümü göster

y'nin katsayıları zıt işaretli (+3y ve −3y), bu yüzden denklemleri toplarız: 6x = 18 ⇒ x = 3.
Birinci denklemde yerine koyarız: 2 · 3 + 3y = 12 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2.
x + y = 3 + 2 = 5.
Dikkat: soru x'i değil x + y'yi soruyor; 3 cevabı bir tuzaktır.

Doğrusal eşitsizlikler

Örnek 4: “en fazla” (at most)

Murad'ın 50 manatı var. 7 manata bir defter ve tanesi 4 manat olan kalemler alıyor. En fazla kaç kalem alabilir?

Çözümü göster

Kalem sayısı p olsun: 7 + 4p ≤ 50.
4p ≤ 43 ⇒ p ≤ 10,75.
Kalem sayısı 10,75'ten büyük olmayan bir tam sayıdır, yani 10 kalem.
Yukarı değil aşağı yuvarla: 11 kalem 51 manat tutar.

1 / 5

Önemli noktalar

ax + b = cx + d: a = c ve b ≠ d ise çözüm yok; a = c ve b = d ise sonsuz çözüm var.
y = mx + b: m değişim hızı, b başlangıç değeri.
Bir sistemde katsayıların oranları çözüm sayısını gösterir.
Soru bir ifade soruyorsa (x + y, 2x + 3y), denklemleri doğrudan topla ya da çıkar.
Negatif bir sayıyla çarparken veya bölerken eşitsizlik işaretini çevir.

Kendini test et

10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 10

4x − 7 = 2x + 9 ise x kaçtır?