Advanced Math I: kvadrat və üstlü funksiyalar

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Kvadrat funksiyanın yazılış formasından kökləri, təpəni və y oxu ilə kəsişməni oxumaq
Diskriminantla həllərin sayını müəyyən etmək
Faizlə artım və azalmanı üstlü funksiya ilə yazmaq

Advanced Math sahəsi də riyaziyyat suallarının təxminən 35 faizini (13–15 sual) təşkil edir. Onun mərkəzində iki qəhrəman dayanır: parabola (atılmış top, gəlirin maksimumu) və üstlü funksiya (bank əmanəti, əhalinin artımı, dərmanın orqanizmdən çıxması). Bu dərsdə onları SAT-da necə tanımağı və tez həll etməyi öyrənəcəyik.

1
Köklər lazımdır
Vuruqlara ayır və ya kvadrat tənlik düsturunu işlət; yalnız cəm və ya hasil lazımdırsa, −b/a və c/a-dan istifadə et.
2
Ən böyük və ya ən kiçik qiymət
Təpəni tap: x = −b/(2a), sonra f(x)-i hesabla və ya təpə formasından (h; k) oxu.
3
Həllərin sayı
Diskriminantı hesabla: b² − 4ac və onun işarəsinə bax.
4
Faizlə dəyişmə
Model a · bᵗ şəklindədir: b = 1 + r (artım) və ya 1 − r (azalma).

Kvadrat funksiyanın üç forması

y = ax² + bx + c y = a(x − r₁)(x − r₂) y = a(x − h)² + k

burada:

cstandart formada y oxu ilə kəsişmə: (0; c)
r₁, r₂vuruqlara ayrılmış formada köklər (x oxu ilə kəsişmələr)
(h, k)təpə formasında parabolanın təpəsi; k — ən kiçik (a > 0) və ya ən böyük (a < 0) qiymət
aa > 0 — qollar yuxarı, a < 0 — aşağı

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

y = a(x − h)² + k: h parabolanı sağa-sola, k yuxarı-aşağı sürüşdürür, a isə onun genişliyini və istiqamətini dəyişir. Diqqət: h = 2 olanda düsturda (x − 2) yazılır.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a h = −b/(2a)x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a h = −b/(2a)

burada:

b² − 4acdiskriminant: > 0 — iki həqiqi həll, = 0 — bir həll, < 0 — həqiqi həll yoxdur
htəpənin absisi (x koordinatı)

Kvadrat tənlik düsturu SAT-ın düstur vərəqində yoxdur — onu əzbər bilməlisən.

Nümunə 1: yalnız bir həll

c-nin hansı qiymətində x² − 6x + c = 0 tənliyinin yalnız bir həqiqi həlli var?

Həllini göstər

Bir həll ⇔ diskriminant sıfırdır.
b² − 4ac = (−6)² − 4 · 1 · c = 36 − 4c = 0 ⇒ c = 9.
Yoxlama: x² − 6x + 9 = (x − 3)² = 0 ⇒ yalnız x = 3.

Nümunə 2: ən kiçik qiymət

f(x) = 2x² − 12x + 11 funksiyasının ən kiçik qiyməti neçədir?

Həllini göstər

a = 2 > 0, qollar yuxarı yönəlib, deməli, təpə ən aşağı nöqtədir.
x təpə = −b/(2a) = 12/4 = 3.
f(3) = 2 · 9 − 12 · 3 + 11 = 18 − 36 + 11 = −7.
Təpə formasında: f(x) = 2(x − 3)² − 7. Diqqət: cavab x = 3 yox, qiymət −7-dir.

Üstlü funksiyalar: faizlə artım və azalma

f(t) = a · bᵗ a(1 + r)ᵗ a(1 − r)ᵗ

burada:

abaşlanğıc qiymət (t = 0)
bhər dövrdə vurulan ədəd: b > 1 — artım, 0 < b < 1 — azalma
a(1 + r)ᵗ / a(1 − r)ᵗa(1 + r)ᵗ / a(1 − r)ᵗhər dövrdə r faiz artım / r faiz azalma
rfaiz onluq kəsr kimi: 3% → 0,03

Xətti funksiyada hər addımda eyni ədəd əlavə olunur, üstlü funksiyada isə eyni ədədə vurulur. SAT-da ingiliscə: growth — artım, decay — azalma.

x	0	1	2	3
Xətti: y = 5 + 3x	5	8	11	14
Üstlü: y = 5 · 2ˣ	5	10	20	40

Birinci sətirdə fərqlər sabitdir (+3), ikincidə isə nisbətlər (×2).

Nümunə 3: artım və azalma

a) Şəhərin əhalisi 80 000 nəfərdir və hər il 3% artır. 2 ildən sonra əhali neçə olar?
b) 20 000 manatlıq avtomobil hər il dəyərinin 15%-ini itirir. 3 ildən sonra onun dəyəri nə qədər olar?
c) Bakteriyaların sayı 500-dür və hər 4 saatdan bir ikiqat artır. 12 saatdan sonra neçə bakteriya olar?

Həllini göstər

a) P = 80 000 · (1,03)² = 80 000 · 1,0609 = 84 872 nəfər.
b) Hər il dəyərin 85%-i qalır: V = 20 000 · (0,85)³ = 20 000 · 0,614125 = 12 282,5 manat.
c) 12 saatda 12/4 = 3 dəfə ikiqat artım olur: N = 500 · 2^(12/4) = 500 · 2³ = 4000.

Əsas fikirlər

Standart forma y kəsişməsini, vuruqlu forma kökləri, təpə forması təpəni göstərir.
Diskriminant b² − 4ac həllərin sayını verir; yalnız bir həll üçün o, sıfırdır.
Köklərin cəmi −b/a, hasili c/a; təpənin absisi −b/(2a).
Üstlü model: a(1 ± r)ᵗ; hər dövrdə eyni ədədə vurulur.

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

c-nin hansı qiymətində x² + 10x + c = 0 tənliyinin yalnız bir həqiqi həlli var?