Формулы и лайфхаки

Астрономия · 47

Все формулы этого курса и простые способы их запомнить — на одной странице.

1. Солнце и планеты 2. Луна и малые тела 3. Звёзды, галактики и освоение космоса 4. Астрофизика (университетский уровень)

1Солнце и планетыНачальный

Что такое астрономия? Краткая история

К уроку

Солнце — ближайшая к нам звезда

К уроку

t = s / ct = s / c

где:

tвремя движения света, в секундах (с)
sрасстояние, в км
cскорость света ≈ 300 000 км/с

E = m · c²

где:

Eвыделившаяся энергия, в джоулях (Дж)
mмасса, превратившаяся в энергию, в кг
cскорость света, 3 · 10⁸ м/с

Так как c² — огромное число, даже малая масса даёт колоссальную энергию.

Планеты Солнечной системы

К уроку

2Луна и малые телаСредний

Луна: фазы, приливы и затмения

К уроку

Карликовые планеты, астероиды, кометы и метеоры

К уроку

3Звёзды, галактики и освоение космосаПродвинутый

Звёзды: блеск, цвет и жизненный путь

К уроку

t = T − 273

где:

tтемпература в градусах Цельсия (°C)
Tабсолютная температура, в кельвинах (К)

Галактики и Вселенная

К уроку

1 св. г. = c · t

где:

cскорость света ≈ 300 000 км/с
t1 год в секундах ≈ 31 557 600 с (365,25 сут.)

св. г. — световой год

Освоение космоса

К уроку

4Астрофизика (университетский уровень)Университет

Небесная механика: законы Кеплера и космические скорости

К уроку

r(θ) = a(1 − e²) / (1 + e · cos θ)r(θ) = a(1 − e²) / (1 + e · cos θ)

где:

rрасстояние от планеты до Солнца (фокуса), м
aбольшая полуось, м (или а. е.)
eэксцентриситет, 0 ≤ e < 1 (безразмерный)
θистинная аномалия — угол, отсчитанный от перигелия

rₚ = a(1 − e), rₐ = a(1 + e)

где:

rₚрасстояние в перигелии (ближайшая к Солнцу точка), θ = 0°
rₐрасстояние в афелии (самая далёкая точка), θ = 180°

Для Земли a ≈ 149,6 млн км, e ≈ 0,0167: rₚ ≈ 147,1 млн км (начало января), rₐ ≈ 152,1 млн км (начало июля).

dA/dt = L / (2m) = const ⇒ vₚ · rₚ = vₐ · rₐdA/dt = L / (2m) = const ⇒ vₚ · rₚ = vₐ · rₐ

где:

dA/dtdA/dtсекториальная скорость, м²/с
Lмомент импульса, кг·м²/с
vₚ, vₐскорости в перигелии и афелии, м/с

T² = 4π² a³ / (G (M + m))T² = 4π² a³ / (G (M + m))

где:

Tпериод обращения, с
aбольшая полуось, м
Gгравитационная постоянная, 6,674 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг²
M, mмассы центрального тела и спутника, кг (обычно m ≪ M)

F = G · m₁ · m₂ / r²F = G · m₁ · m₂ / r²

где:

Fсила тяготения, Н
m₁, m₂массы тел, кг
rрасстояние между центрами тел, м

E = ½ m v² − G M m / rE = ½ m v² − G M m / r

где:

Eполная механическая энергия, Дж; E < 0 — замкнутая орбита, E ≥ 0 — тело улетает

v₁ = √(GM / r), v₂ = √(2GM / r) = √2 · v₁v₁ = √(GM / r), v₂ = √(2GM / r) = √2 · v₁

где:

v₁круговая орбитальная (первая космическая) скорость, м/с
v₂вторая космическая скорость (скорость убегания), м/с
GMдля Земли 3,986 · 10¹⁴ м³/с²

v² = GM (2/r − 1/a)v² = GM (2/r − 1/a)

где:

vскорость на расстоянии r на орбите, м/с
aбольшая полуось орбиты, м (для окружности a = r)

Уравнение vis-viva: при a = r получаем v₁, при a → ∞ — v₂.

Телескопы и спектроскопия

К уроку

P₁ / P₂ = (D₁ / D₂)²P₁ / P₂ = (D₁ / D₂)²

где:

Pколичество собранного света (светособирающая способность)
Dдиаметр объектива (зеркала), м

Собранный свет пропорционален площади объектива, то есть D².

θ ≈ 1,22 · λ / Dθ ≈ 1,22 · λ / D

где:

θпредел разрешения, радианы (1 рад = 206 265″)
λдлина волны, м
Dдиаметр объектива, м

M = F / fM = F / f

где:

Mувеличение (угловое)
Fфокусное расстояние объектива, мм
fфокусное расстояние окуляра, мм

Например, F = 1000 мм, f = 25 мм → M = 40×.

E = h · f = h · c / λE = h · f = h · c / λ

где:

Eэнергия фотона, Дж (1 эВ = 1,602 · 10⁻¹⁹ Дж)
hпостоянная Планка, 6,626 · 10⁻³⁴ Дж·с
fчастота, Гц
cскорость света, 3,00 · 10⁸ м/с

1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)

где:

Rпостоянная Ридберга, ≈ 1,097 · 10⁷ м⁻¹
n₁, n₂нижний и верхний уровни атома водорода (n₂ > n₁); n₁ = 2 — видимая серия Бальмера

Δλ / λ₀ = vᵣ / c (vᵣ ≪ c)Δλ / λ₀ = vᵣ / c (vᵣ ≪ c)

где:

Δλсмещение: λ(набл.) − λ₀, нм
λ₀лабораторная длина волны (в покое), нм
vᵣлучевая скорость, км/с; vᵣ > 0 — удаляется

Физика звёзд: светимость, звёздные величины и диаграмма Герцшпрунга — Рассела

К уроку

λₘₐₓ = b / Tλₘₐₓ = b / T

где:

λₘₐₓдлина волны максимума излучения, м
bпостоянная Вина, 2,898 · 10⁻³ м·К
Tтемпература поверхности, К

L = 4π R² σ T⁴

где:

Lсветимость — мощность излучения всей звезды, Вт (Солнце: L☉ = 3,828 · 10²⁶ Вт)
Rрадиус звезды, м (Солнце: R☉ = 6,957 · 10⁸ м)
σпостоянная Стефана — Больцмана, 5,670 · 10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴)
Tэффективная температура поверхности, К (Солнце: 5772 К)

σT⁴ — мощность с 1 м² поверхности; 4πR² — площадь поверхности шара.

F = L / (4π d²)F = L / (4π d²)

где:

Fпоток излучения у наблюдателя, Вт/м²
dрасстояние до звезды, м

Закон обратных квадратов: при удвоении расстояния поток уменьшается в 4 раза.

m₁ − m₂ = −2,5 · lg(F₁ / F₂)m₁ − m₂ = −2,5 · lg(F₁ / F₂)

где:

mвидимая звёздная величина (меньше число — ярче звезда)
Fнаблюдаемый поток, Вт/м²

Формула Погсона: 5 звёздных величин = 100 раз, 1 звёздная величина = 100^(1/5) ≈ 2,512 раза.

d(пк) = 1 / p(″), 1 пк ≈ 3,26 св. г. ≈ 3,086 · 10¹⁶ мd(пк) = 1 / p(″), 1 пк ≈ 3,26 св. г. ≈ 3,086 · 10¹⁶ м

где:

pгодичный параллакс, угловые секунды (″)
dрасстояние, парсеки

m − M = 5 · lg(d / 10 пк)m − M = 5 · lg(d / 10 пк)

где:

m − Mмодуль расстояния (без учёта межзвёздного поглощения)
Mабсолютная звёздная величина

Обратно: d = 10^((m − M + 5) / 5) пк.

L / L☉ ≈ (M / M☉)^3,5 ⇒ t ≈ 10¹⁰ лет · (M / M☉)^(−2,5)L / L☉ ≈ (M / M☉)^3,5 ⇒ t ≈ 10¹⁰ лет · (M / M☉)^(−2,5)

где:

Mмасса звезды (M☉ = 1,989 · 10³⁰ кг)
tвремя жизни на главной последовательности (≈ 10 млрд лет для Солнца)

Приближённая закономерность; показатель степени несколько меняется в зависимости от диапазона масс.

Космология: красное смещение, закон Хаббла, тёмная материя и тёмная энергия

К уроку

z = (λ(набл.) − λ(изл.)) / λ(изл.)z = (λ(набл.) − λ(изл.)) / λ(изл.)

где:

zкрасное смещение (безразмерное)
λдлина волны: наблюдаемая на Земле и излучённая источником, нм

1 + z = λ(набл.) / λ(изл.) = a(сейчас) / a(тогда); при z ≪ 1: v ≈ c · z1 + z = λ(набл.) / λ(изл.) = a(сейчас) / a(тогда); при z ≪ 1: v ≈ c · z

где:

aмасштабный фактор Вселенной (сегодня 1)
cскорость света ≈ 300 000 км/с

v = H₀ · d

где:

vскорость удаления галактики, км/с
H₀постоянная Хаббла ≈ 70 км/с/Мпк
dрасстояние, Мпк (1 Мпк ≈ 3,26 млн св. лет ≈ 3,086 · 10¹⁹ км)

Разные методы дают H₀ ≈ 67–73 км/с/Мпк; это расхождение называют «хаббловским напряжением», и его активно исследуют.

t(H) = 1 / H₀t(H) = 1 / H₀

где:

t(H)хаббловское время, с (затем переводится в годы)

H² = (8πG / 3) · ρ − k·c² / a² + Λ·c² / 3H² = (8πG / 3) · ρ − k·c² / a² + Λ·c² / 3

где:

Hпараметр Хаббла H = ȧ / a, с⁻¹
ρплотность вещества и излучения, кг/м³
kкривизна пространства (+1, 0, −1)
Λкосмологическая постоянная (простейшая модель тёмной энергии), м⁻²

ρ(кр) = 3H² / (8πG)ρ(кр) = 3H² / (8πG)

где:

ρ(кр)критическая плотность, кг/м³ (из случая Λ = 0, k = 0)

T(z) = T₀ · (1 + z)

где:

T₀современная температура реликтового излучения, 2,725 К
T(z)температура в эпоху с красным смещением z, К

M(r) = v² · r / GM(r) = v² · r / G

где:

M(r)масса внутри радиуса r, кг
vскорость вращения на расстоянии r, м/с