Advanced Math II: funksiyalar, çoxhədlilər, köklü və kəsr ifadələr

Bu dərsdə öyrənəcəksən

f(g(x)) kimi ifadələri hesablamaq və qrafik çevrilmələrini tanımaq
Çoxhədlinin kökləri ilə vuruqları arasındakı əlaqədən istifadə etmək
Köklü və kəsr tənlikləri həll edib kənar kökləri atmaq

Advanced Math-in ikinci yarısı «qorxulu» görünən, amma bir neçə qaydaya tabe olan suallardır: f(g(x)), x³ − 4x² + x + 6, x^(3/2), √(x + 7) = x − 5. Bu sualların çoxu 3–4 sətirdə həll olunur — əgər qaydanı bilirsənsə. Hər mövzudan sonra cavabı yoxlamağın sürətli yolunu da göstərəcəyik.

1
Verilənləri yenidən yaz
f(x), g(x) və ya çoxhədlini qaralamaya yaz ki, göz qarşısında olsun.
2
Məhdudiyyətləri qeyd et
Məxrəc sıfır ola bilməz, kvadrat kök altındakı ifadə mənfi ola bilməz — bunu həll etməzdən əvvəl yaz.
3
İçəridən bayıra
Mürəkkəb funksiyada və çevrilmədə əvvəl mötərizənin içini hesabla.
4
Yoxla
Hər kökü ilkin tənlikdə yoxla; ifadələrin ekvivalentliyini sınamaq üçün ədəd qoy.

Funksiya işarələməsi və çevrilmələr

f(3) — «x-in yerinə 3 qoy» deməkdir. f(g(x)) isə içəridən hesablanır: əvvəl g, sonra f. Məsələn, f(x) = 2x + 1 və g(x) = x² olarsa: f(g(2)) = f(4) = 9, amma g(f(2)) = g(5) = 25. Sıra vacibdir!

y = a · f(x − h) + k

burada:

hqrafik h vahid sağa sürüşür (h < 0 olarsa sola)
kqrafik k vahid yuxarı sürüşür (k < 0 olarsa aşağı)
aşaquli dartılma; a < 0 olarsa qrafik x oxuna görə əks olunur

f(−x) qrafiki y oxuna görə əks etdirir.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Birinci qrafik y = |x|, ikincisi onun çevrilməsidir. h = 3, k = 1 olanda təpə (0; 0)-dan (3; 1)-ə keçir. a-nı mənfi et və qrafikin necə «çevrildiyinə» bax.

Nümunə 1: nöqtəni sürüşdür

y = f(x) qrafiki (2; 5) nöqtəsindən keçir. Hansı nöqtə y = f(x − 3) + 1 qrafikinin üzərindədir?

Həllini göstər

x − 3 → 3 vahid sağa: 2 + 3 = 5.
+1 → 1 vahid yuxarı: 5 + 1 = 6.
Deməli, cavab: (5; 6).
Yoxlama: x = 5 olanda f(5 − 3) + 1 = f(2) + 1 = 5 + 1 = 6.

Çoxhədlilər: köklər, vuruqlar və qalıq

p(a) = 0 ⇔ (x − a) p(x)-in vuruğudur p(x) ÷ (x − a) ⇒ qalıq = p(a)

burada:

p(x)çoxhədli (polynomial)
açoxhədlinin kökü (zero): qrafik x oxunu x = a nöqtəsində kəsir

Qalıq teoremi: p(x)-i (x − a)-ya böləndə qalıq p(a)-ya bərabərdir.

Nümunə 2: bir kökdən bütün köklərə

p(x) = x³ − 4x² + x + 6. p(2)-ni hesabla və çoxhədlinin bütün köklərini tap.

Həllini göstər

p(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0 ⇒ (x − 2) vuruqdur.
Bölmə: x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3).
x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Deməli, p(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1), köklər: −1, 2, 3.
Yoxlama (Viyet): köklərin cəmi 4-dür, bu da x²-nın əmsalının əks işarəlisidir.

Kəsr üstlər, köklü və kəsr tənliklər

x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ x⁻ⁿ = 1/xⁿx^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ x⁻ⁿ = 1/xⁿ

burada:

nkökün dərəcəsi (məxrəc)
mqüvvət (surət)

Məsələn: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Nümunə 3: kənar köklər

a) √(x + 7) = x − 5 tənliyini həll et.
b) x/(x − 2) = 2/(x − 2) + 3 tənliyini həll et.

Həllini göstər

a) Kvadrata yüksəldirik: x + 7 = x² − 10x + 25 ⇒ x² − 11x + 18 = 0 ⇒ (x − 9)(x − 2) = 0.
Yoxlama: x = 9: √16 = 4 = 9 − 5 ✓; x = 2: √9 = 3, amma 2 − 5 = −3 ✗.
Cavab: yalnız x = 9 (x = 2 kənar kökdür).
b) Hər iki tərəfi (x − 2)-yə vururuq: x = 2 + 3(x − 2) ⇒ x = 3x − 4 ⇒ x = 2.
Amma x = 2 olanda məxrəc sıfırdır! Deməli, həll yoxdur.

1 / 5

Əsas fikirlər

f(g(x)) içəridən hesablanır; f(g(x)) və g(f(x)) adətən fərqlidir.
f(x − h) + k: h vahid sağa, k vahid yuxarı.
p(a) = 0 ⇔ (x − a) vuruqdur; (x − a)-ya bölmədə qalıq p(a)-dır.
x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ).
Köklü və kəsr tənliklərdə hər kökü ilkin tənlikdə yoxla.

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

f(x) = 3x − 2 və g(x) = x² + 1 olarsa, f(g(2)) neçədir?