SAT cəbri: xətti tənliklər, funksiyalar və sistemlər

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Xətti tənliyin həllərinin sayını (bir, heç biri və ya sonsuz sayda) müəyyən etmək
Bucaq əmsalını və sərbəst həddi kontekstdə şərh etmək
İki xətti tənlik sistemini tez həll etmək
Xətti bərabərsizlikləri məsələlərdə qurmaq və həll etmək

SAT riyaziyyatında ən çox rast gəlinən sahə Algebradır: 44 sualdan təxminən 13–15-i. Bu suallar ağır deyil, amma tələlidir: bir işarə səhvi və ya sualın başqa kəmiyyət soruşduğunu görməmək bal aparır. Bu dərsdə xətti tənlikləri, düz xətləri və sistemləri SAT-ın tələb etdiyi sürətlə həll etməyi öyrənəcəyik.

1
Nə soruşulur?
Sualın sonunu oxu və hədəfi qaralamaya yaz: x, x + y, yoxsa həllərin sayı.
2
Üsulu seç
Cəbr, variantları yerinə qoymaq (backsolving) və ya Desmos — hansı daha sürətlidirsə.
3
Həll et
Hər addımı ayrıca sətirdə yaz: işarə səhvlərinin çoxu «ağılda» hesablayanda buraxılır.
4
Yoxla
Cavabı ilkin tənliyə qoy və soruşulan kəmiyyəti verdiyinə əmin ol.

Bir məchullu xətti tənlik

ax + b = cx + d

burada:

a ≠ cbir həll: x = (d − b)/(a − c)
a = c, b ≠ dhəll yoxdur (no solution)
a = c, b = dsonsuz sayda həll (infinitely many solutions)

Mötərizələri açıb oxşar hədləri birləşdirdikdən sonra x-in əmsallarını və sərbəst hədləri müqayisə et.

Nümunə 1: həlli olmayan tənlik

k-nın hansı qiymətində 3(x − 2) + kx = 5x + 4 tənliyinin həlli yoxdur?

Həllini göstər

Sol tərəfi açırıq: 3x − 6 + kx = (3 + k)x − 6.
Tənlik: (3 + k)x − 6 = 5x + 4.
Həll olmaması üçün x-in əmsalları bərabər, sərbəst hədlər isə fərqli olmalıdır: 3 + k = 5 və −6 ≠ 4.
Deməli, k = 2. Yoxlama: 5x − 6 = 5x + 4 ⇒ −6 = 4 — mümkün deyil.

Düz xətt: bucaq əmsalı və başlanğıc qiymət

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y = mx + bm = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y = mx + b

burada:

mbucaq əmsalı (slope) — x 1 vahid artanda y-in dəyişməsi, yəni sürət və ya vahidə düşən qiymət
by oxu ilə kəsişmə (y-intercept) — x = 0 olanda y, yəni başlanğıc qiymət
(x₁, y₁), (x₂, y₂)xəttin üzərindəki iki nöqtə

Paralel xətlərin bucaq əmsalları bərabərdir; perpendikulyar xətlər üçün m₁ · m₂ = −1.

Nümunə 2: kontekstdə şərh

Ayselin qənaəti S = 25w + 120 düsturu ilə verilir: S — manatla məbləğ, w — həftələrin sayı. 25 və 120 nəyi göstərir? Neçə həftədən sonra Ayselin 370 manatı olacaq?

Həllini göstər

25 — bucaq əmsalıdır: Aysel hər həftə 25 manat əlavə edir.
120 — başlanğıc qiymətdir: w = 0 olanda onun artıq 120 manatı var.
25w + 120 = 370 ⇒ 25w = 250 ⇒ w = 10 həftə.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Başlanğıcda y = x + 1 və y = −0,5x + 4 xətləri (2; 3) nöqtəsində kəsişir — bu, sistemin həllidir. m-i −0,5 et: xətlər paralel olur və sistemin həlli qalmır. Sonra b-ni 4 et: xətlər üst-üstə düşür — sonsuz sayda həll.

İki tənlik sistemi

a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂

burada:

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂a₁/a₂ ≠ b₁/b₂bir həll — xətlər kəsişir
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂həll yoxdur — xətlər paraleldir
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂sonsuz sayda həll — eyni xətt

Nümunə 3: toplama üsulu

2x + 3y = 12 və 4x − 3y = 6 sisteminin həlli (x; y)-dir. x + y neçədir?

Həllini göstər

y-in əmsalları əks işarəlidir (+3y və −3y), ona görə tənlikləri toplayırıq: 6x = 18 ⇒ x = 3.
Birinci tənlikdə yerinə qoyuruq: 2 · 3 + 3y = 12 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2.
x + y = 3 + 2 = 5.
Diqqət: sual x-i yox, x + y-i soruşur — 3 cavabı tələdir.

Xətti bərabərsizliklər

Nümunə 4: «ən çoxu» (at most)

Muradın 50 manatı var. O, 7 manata dəftər və hər biri 4 manat olan qələmlər alır. Ən çoxu neçə qələm ala bilər?

Həllini göstər

Qələmlərin sayı p olsun: 7 + 4p ≤ 50.
4p ≤ 43 ⇒ p ≤ 10,75.
Qələmlərin sayı tam ədəddir və 10,75-dən böyük ola bilməz, ona görə 10 qələm.
Yuvarlaqlaşdırma yuxarı yox, aşağı: 11 qələm 51 manat edir.

1 / 5

Əsas fikirlər

ax + b = cx + d: a = c və b ≠ d olarsa, həll yoxdur; a = c və b = d olarsa, sonsuz sayda həll var.
y = mx + b: m — dəyişmə sürəti, b — başlanğıc qiymət.
Sistemdə əmsalların nisbəti həllərin sayını göstərir.
Sual ifadə soruşursa (x + y, 2x + 3y), tənlikləri birbaşa topla və ya çıx.
Bərabərsizliyi mənfi ədədə vuranda və ya böləndə işarəni dəyiş.

Özünü yoxla

10 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 10

4x − 7 = 2x + 9 olarsa, x neçədir?