- Anüite ödeme formülünü türetmek ve PMT ile hesaplamak
- IPMT ve PPMT ile ödeme planı oluşturmak
- FV ve PV ile paranın zaman değerini hesaplamak
- NPV ve IRR ile bir yatırım projesini değerlendirmek
Murad 20.000 ₼'lik bir taşıt kredisi almak istiyor: yıllık %12, 36 ay. Aylık taksit ne kadar olur? Banka toplamda ne kadar faiz kazanır? Bu arada Aysel ayda 200 ₼ biriktiriyor, Elvin de 10.000 ₼'yi bir projeye yatırmayı düşünüyor. Bu derste bankaların ve finans birimlerinin her gün kullandığı işlevleri, arkalarındaki matematikle birlikte öğreneceksin.
Anüite ödemesi: PMT
Anüite, her dönem aynı tutarda yapılan ödemedir. Banka için kredi tutarı, gelecekteki tüm ödemelerin bugünkü değerine eşittir: P = A/(1 + r) + A/(1 + r)² + … + A/(1 + r)ⁿ. Bu bir geometrik dizidir ve toplamı A · (1 − (1 + r)⁻ⁿ) / r olur. A'yı çekince aşağıdaki formül elde edilir.
- Adönem başına ödeme, ₼ (Excel'de
PMT) - Pkredi tutarı (bugünkü değer), ₼
- rdönem başına faiz oranı: aylık ödemede yıllık %12, %12 / 12 = %1 = 0,01 olur
- ndönem sayısı (ay)
Excel: =PMT(rate, nper, pv, [fv], [type]); ödemeler dönem başında yapılıyorsa type = 1.
P = 20.000 ₼, yıllık %12, 36 aylık anüite. Aylık taksiti, toplam geri ödemeyi ve toplam faizi bul.
Çözümü gösterÇözümü gizle
(1,01)⁻³⁶ ≈ 0,69892, dolayısıyla 1 − 0,69892 = 0,30108.
A = 20.000 · 0,01 / 0,30108 ≈ 664,29 ₼.
Excel:
=PMT(12%/12,36,20000) → −664,29 (negatif, çünkü para cebinden çıkıyor).Toplam geri ödeme: 664,29 · 36 = 23.914,44 ₼; faiz: 23.914,44 − 20.000 = 3.914,44 ₼.
Ödeme planı: IPMT ve PPMT
- Iₖk'ıncı taksitin faiz kısmı, ₼ (
IPMT) - Pₖk'ıncı taksitin anapara kısmı, ₼ (
PPMT) - Bₖk'ıncı ödemeden sonra kalan borç, ₼ (B₀ = P)
Excel: =IPMT(rate, per, nper, pv) ve =PPMT(rate, per, nper, pv); her ay IPMT + PPMT = PMT.
Murad'ın kredisinde 1. ve 36. taksit faiz ile anapara arasında nasıl bölünür?
Çözümü gösterÇözümü gizle
Excel:
=IPMT(1%,1,36,20000) → −200,00; =PPMT(1%,1,36,20000) → −464,29.36. ay:
=IPMT(1%,36,36,20000) → −6,58; =PPMT(1%,36,36,20000) → −657,71.Sonuç: başta taksitin büyük kısmı faize gider, sonda ise neredeyse tamamı borcun kendisini öder. Bu yüzden erken ödeme ilk aylarda daha çok faiz tasarrufu sağlar.
Paranın zaman değeri: FV ve PV
- FVn dönem sonra biriken tutar, ₼
- Aher dönem sonunda yatırılan tutar, ₼
Excel: =FV(rate, nper, pmt, [pv], [type]); tersi, yani gelecekteki akışların bugünkü değeri: =PV(rate, nper, pmt, [fv], [type]).
1) Aysel 5 yıl boyunca her ay sonunda yıllık %6 (aylık bileşik) faizli bir mevduata 200 ₼ yatırıyor. Sonunda ne kadar olur? 2) 10 yıl boyunca yılda 1000 ₼ ödeyen bir sözleşme %8 oranla bugün ne kadar değerlidir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
FV = 200 · 0,34885 / 0,005 ≈ 13.954,01 ₼;
=FV(6%/12,60,-200) → 13.954,01.Kendisi 12.000 ₼ yatırır ve 1.954,01 ₼ faiz kazanır.
2)
=PV(8%,10,-1000) → 6.710,08 ₼: gelecekteki 10.000 ₼ bugün yalnızca 6.710,08 ₼ eder, çünkü bugünkü para faiz kazanabilir.Yatırım kararları: NPV ve IRR
- C₀başlangıç yatırımı (t = 0), ₼
- Cₜt yılı sonundaki nakit akışı, ₼
- riskonto oranı (sermaye maliyeti)
NPV > 0, projenin sermaye maliyetinden fazla kazandırdığı anlamına gelir. IRR, NPV'yi sıfır yapan orandır; IRR > r ise proje kabul edilir.
B1'de bugünkü yatırım −10.000 ₼, B2:B6'da 1–5. yılların geliri: 3000, 3500, 4000, 2500, 2000 ₼. Sermaye maliyeti %10. NPV ve IRR'yi bul. Proje kârlı mı?
Çözümü gösterÇözümü gizle
NPV = 11.574,47 − 10.000 = 1.574,47 ₼.
Excel:
=NPV(10%,B2:B6)+B1 → 1.574,47.IRR:
=IRR(B1:B6) → ≈ %16,38 > %10.İki ölçüt de projeyi destekler.
$ ile sabitleF4Önemli noktalar
- Anüite: A = P · r / (1 − (1 + r)⁻ⁿ); Excel'de
=PMT(rate, nper, pv). - Oran ve dönem aynı birimde olmalı: aylık için
rate/12veyears*12. - İşaret kuralı: ödenen para negatif, alınan para pozitif.
- IPMT + PPMT = PMT; ilk aylarda taksitin çoğu faizdir.
- Net bugünkü değer:
=NPV(r, C₁:Cₙ) + C₀; IRR, NPV'yi sıfırlayan orandır.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.