Циклические алгоритмы и таблица трассировки

Учителю нужно сложить баллы 30 учеников. Вместо того чтобы 30 раз писать «прибавь следующий балл к сумме», достаточно написать это один раз и сказать «повтори 30 раз». Алгоритм с повторяющимися шагами — циклический. На вступительных экзаменах 2025–2026 годов циклы были самой частой темой: задания по Python с пометкой «Оператор цикла», а также задания с блок-схемами на число повторений, два цикла подряд и обратные вопросы вида «какое значение нужно ввести, чтобы…». В этом уроке вы научитесь читать циклы в блок-схемах и безошибочно выполнять их с помощью таблицы трассировки.

Цикл и его виды

• Цикл со счётчиком (с параметром) — число повторений известно заранее: переменная цикла меняется от начального значения до конечного с заданным шагом. В Python: for i in range(1, 11).
• Цикл с предусловием — условие проверяется перед телом, и тело повторяется, пока условие истинно. Если условие ложно с самого начала, тело не выполнится ни разу. В Python: while.
• Цикл с постусловием — сначала выполняется тело, затем проверяется условие, поэтому тело выполнится хотя бы один раз. В Python отдельного оператора нет; его записывают через while True: и break.

для i от 1 до 5
    S = S + i
всё

пока a < b
    a = a + 5
всё

повторять
    x = x − 3
пока x > 0

В блок-схемах ГЦЭ цикл со счётчиком тоже рисуют ромбом: сначала i = 1, затем ромб i ≤ n, а в теле обязательно i = i + 1. Как только видите стрелку, идущую вверх, — перед вами цикл; посмотрите, какой выход ромба возвращается назад: это и есть условие продолжения цикла.

Таблица трассировки и типичные задачи на циклы

В таблице трассировки цикла каждая строка — одна проверка условия: записываем ответ на условие, затем новые значения переменных после тела. В последней строке условие даёт «Нет», и цикл заканчивается. Внимание: условие всегда проверяется на один раз больше, чем число повторений.

n = 4072
s = 0
k = 0
while n > 0:
    s = s + n % 10
    k = k + 1
    n = n // 10
print(s, k)

a = [12, 7, 25, 3, 18]
m = a[0]
for x in a:
    if x > m:
        m = x
print(m)

13 4
25

Задания ГЦЭ: число повторений и два цикла подряд

В заданиях ГЦЭ цикл часто повторяется десятки раз — выписывать каждый шаг долго и рискованно. Поэтому нужно найти закономерность: если переменная на каждом шаге меняется на одно и то же число, её значение после k шагов записывается формулой. Тогда условие остановки цикла превращается в неравенство.

1. 1
   Найдите переменные

   Какие переменные входят в условие цикла и на сколько они меняются за один шаг тела?

2. 2
   Запишите после k шагов

   Например, a = a₀ + p·k, b = b₀ − q·k; если изменение непостоянно, выпишите первые 4–5 шагов в таблицу и ищите закономерность.

3. 3
   Решите условие остановки

   Запишите отрицание условия цикла (например, a ≥ b) как неравенство и найдите наименьшее натуральное k, которое ему удовлетворяет.

4. 4
   Проверьте границу

   Вычислите значения для k − 1 и k: после k − 1 шагов условие ещё должно быть истинным, после k — ложным.

Обратные задачи: вход по выводу

Вложенные и бесконечные циклы

В теле цикла может находиться другой цикл — это вложенный цикл. На каждом шаге внешнего цикла внутренний выполняется полностью, от начала до конца. Если границы внутреннего цикла не зависят от внешней переменной, общее число повторений — произведение: 4 · 3 = 12. Если зависят (например, j от 1 до i), повторения складывают построчно.

Вы научились читать циклы; следующий шаг — строить их самим. В письменной части экзамена требуется полная блок-схема, которая вводит n чисел и работает с циклом со счётчиком, — это тема урока «Построение блок-схем: письменные задания». Запись тех же циклов на Python изучается в разделе программирования.

a = 3
b = 90
k = 0
# loop here
print(k)

11