Операции над числами: цифры, делители и простые числа

Правильно ли набран номер банковской карты? Алгоритм проверки разбирает номер по цифрам, складывает их и смотрит на остаток. В каждом варианте ГЭЦ по информатике 3–4 задания относятся к теме «Оператор цикла. Операции над числами», а в трёх вариантах из четырёх (2025–2026) одна из письменных программ тоже была по этой теме. Хорошая новость: почти все такие задания собираются из нескольких готовых шаблонов — цикла по цифрам, цикла по делителям и алгоритма Евклида. Этот урок продолжает урок «Операторы цикла: for, while, шаг цикла, break, continue и вложенные циклы».

Выделение цифр: n % 10 и n // 10

В десятичной системе последняя цифра числа — это остаток от деления на 10, а целочисленное деление на 10 отбрасывает эту цифру: 5682 % 10 = 2, 5682 // 10 = 568. Если повторять эти два действия в цикле, цифры будут появляться по одной справа налево; когда число станет равно 0, цифры закончатся.

1. 1
   Сохрани копию

   В цикле n изменится и станет 0. Если исходное число понадобится потом, сначала запиши m = n.

2. 2
   Начальные значения

   сумма s = 0, произведение p = 1, количество c = 0, перевёрнутое число r = 0.

3. 3
   Условие цикла

   while n > 0: — пока остаются цифры.

4. 4
   Возьми цифру и обработай её

   d = n % 10, затем s = s + d, p = p * d, c = c + 1, r = r * 10 + d или условие, например if d % 2 == 0:.

5. 5
   Отбрось цифру

   n = n // 10. Если забыть эту строку, цикл станет бесконечным.

n = 5682
s = 0
p = 1
c = 0
r = 0
while n > 0:
    d = n % 10
    s = s + d
    p = p * d
    c = c + 1
    r = r * 10 + d
    n = n // 10
print(s, p, c, r)

21 480 4 2865

x = 3704
k = 0
m = x
while x > 0:
    if x % 10 % 2 == 0:
        k = k + 1
    x = x // 10
print(m * 10 + k)

37042

Перевёрнутое число, палиндромы и «все цифры нечётные»

Чтобы построить перевёрнутое число, на каждом шаге умножаем прежний результат на 10 и прибавляем новую цифру: прежние цифры сдвигаются на один разряд влево. Число, равное своему перевёрнутому, — палиндром: 121, 4554, 7.

На вопрос «все ли цифры нечётные?» можно ответить двумя способами: посчитать нечётные цифры и сравнить с общим количеством цифр или взять флаг: сначала t = 1 («пока все нечётные»), а при первой же чётной цифре t = 0. В программе ниже внешний цикл перебирает числа, а внутренний — их цифры.

for n in [357, 48, 1991, 7, 5031]:
    m = n
    t = 1
    while m > 0:
        if m % 10 % 2 == 0:
            t = 0
        m = m // 10
    if t == 1:
        print(n)

357
1991
7

Делители, простые числа и полные квадраты

n = 60
c = 0
s = 0
t = 0
for i in range(1, n + 1):
    if n % i == 0:
        print(i, end=' ')
        c = c + 1
        s = s + i
        if i % 2 == 1:
            t = t + i
print()
print(c, s, t)

1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 
12 168 24

Вложенные циклы: проверяем все числа отрезка

Если задание касается не одного числа, а каждого числа отрезка [a; b], цикл по делителям (или по цифрам) помещают внутрь другого цикла: внешний перебирает числа, внутренний — делители. Счётчик (c = 0) нужно обнулять для каждого нового числа, поэтому он пишется внутри внешнего цикла.

a = 20
b = 40
k = 0
for n in range(a, b + 1):
    c = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if n % i == 0:
            c = c + 1
    if c == 2:
        print(n, end=' ')
        k = k + 1
print()
print('count =', k)

23 29 31 37 
count = 4

НОД, НОК и суммы

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел можно найти, не перебирая все делители, — алгоритмом Евклида. Он основан на факте: остаток от деления a на b тоже делится на НОД(a; b). Значит, пару (a; b) можно заменить парой (b; a % b), и числа быстро уменьшаются.

a = 84
b = 36
p = a * b
while b != 0:
    r = a % b
    a = b
    b = r
print(a, p // a)

12 252

Суммы и произведения последовательностей считаются по той же схеме: накопитель (s = 0) или множитель (p = 1) и по одному члену на каждом шаге цикла. Для дробей используется /, результат — дробное число.

n = 4
s = 0
p = 1
for i in range(1, n + 1):
    s = s + 1 / i
    p = p * i
print(round(s, 4), p)

2.0833 24

n = 90517
s = 0
r = 0
# digit loop here

print(s, r)

22 71509

for n in range(1, 101):
    c = 0
    # count the divisors of n here

    if c == 3:
        print(n)

4
9
25
49