Анализ программы: от результата к входным данным

В обычном задании даны программа и ввод, а результат находишь ты. ГЭЦ же часто спрашивает наоборот: «Если напечатано 77, каково наименьшее значение m?», «Сколько натуральных чисел можно ввести, чтобы каждый раз печаталось 9?». В каждом из четырёх вариантов 2025–2026 годов было хотя бы одно такое «обратное» задание, причём три из них были заданиями с кодируемым ответом, который записываешь сам. В этом уроке ты сначала освоишь трассировочную таблицу, а затем четырёхшаговый способ рассуждать от результата к вводу. Правила циклов — в уроках «Операторы цикла: for, while, шаг цикла, break, continue и вложенные циклы» и «Операции над числами: цифры, делители и простые числа».

Трассировочная таблица: что напечатает программа?

В цикле while условие проверяется до тела: как только оно ложно, цикл заканчивается и программа переходит к строке после цикла. Поэтому после цикла переменные сохраняют значения последней итерации.

1. 1
   Подготовь столбцы

   все переменные, которые меняются в цикле, и столбец «да/нет» для условия.

2. 2
   Запиши начальные значения

   присваивания до цикла записываются в первую строку.

3. 3
   Проверь условие

   «да» — выполни тело построчно сверху вниз и начни новую строку; «нет» — остановись.

4. 4
   Посмотри на print

   печатаемое выражение может не совпадать с переменной (n + k, m * 10 + k); print(a, b) выводит два значения через пробел.

s = 0
k = 1
while s < 40:
    if k % 2 == 0:
        s = s + k * k
    else:
        s = s + k
    k = k + 1
print(k, s)

7 65

Сколько раз выполнился цикл? От результата к числу итераций

Первый шаг обратной задачи всегда одинаков. Если печатаемая переменная на каждой итерации меняется по одному правилу (прибавляется одно и то же число или она умножается на одно и то же число), по её итоговому значению находим число итераций k. Ввод на этом шаге ещё не нужен.

От условия к неравенствам: наименьший и наибольший ввод

Если цикл выполнился ровно k раз, верны два факта: после (k − 1)-й итерации условие ещё было истинным (иначе k-я итерация не началась бы), а после k-й стало ложным (цикл остановился). Эти два предложения дают два неравенства для ввода.

1. 1
   Найди k

   число итераций по напечатанному значению.

2. 2
   Вырази переменную через ввод

   например, после k шагов s = 25 + k · m.

3. 3
   Составь два неравенства

   после k шагов условие ложно, после k − 1 шагов — истинно.

4. 4
   Выбери целые решения

   наименьшее или наибольшее натуральное значение; количество всех подходящих вводов — R − L + 1.

m = int(input())
n = 2
s = 25
while s <= 900:
    s = s + m
    n = n + 5
print(n)

a = int(input())
n = 1
while a > 5:
    a = a // 3
    n = n * 2
print(n)

Сколько вводов дают один и тот же результат?

Здесь находим и наименьший (L), и наибольший (R) ввод. Если подходят все целые числа между ними, ответ — R − L + 1 (оба конца считаются). Если прибавляемое в теле число меняется (s = s + k * 4), сумму за k шагов считаем как сумму арифметической прогрессии.

s = int(input())
k = 1
while s < 300:
    s = s + k * 4
    k = k + 1
print(k)

for m in range(1, 101):
    n = 2
    s = 25
    while s <= 900:
        s = s + m
        n = n + 5
    if n == 77:
        print(m)

59
60
61
62

Цифры, формулы и функции

Если программа разбирает число на цифры, результат сообщает две вещи: сколько цифр и один факт о них (сумма, произведение…). Чтобы построить наибольшее число, крупные цифры ставим слева; в наименьшем числе первая цифра не меньше 1, а остаток суммы набираем справа девятками.

y = int(input())
m = 0
n = 0
while y > 0:
    m = m + 3
    n = n + y % 10
    y = y // 10
print(m, n)

В вопросе «Какое выражение вычисляет программа?» записываем в трассировочную таблицу первые 2–3 итерации и замечаем закономерность членов. Затем проверяем варианты при n = 1 и n = 2.

n = int(input())
s = 0
p = 1
for i in range(1, n + 1):
    p = p * 2
    s = s + i / p
print(s)

В условии цикла может стоять функция (см. «Функция: def, параметры и return»). Сначала выпиши, какое выражение возвращает функция, а затем решай условие как обычное неравенство.

def f(x):
    return x * x

def g(x):
    return 5 * x + 6

k = abs(int(input()))
i = 1
while f(i) <= g(k):
    i = i + 1
print(i)

lo = 0
hi = 0
c = 0
for x in range(1, 401):
    s = x
    k = 1
    # the loop of Example 6 here

    # if k == 9, update lo, hi and c

print(lo, hi, c)

156 187 32

best = 0
for x in range(1000, 10000):
    y = x
    m = 0
    n = 0
    # the loop of Example 7 here

    # remember x if the program would print 12 21

print(best)

9930