Системы счисления: задачи с неизвестным основанием

Мурад видит на доске 13 + 15 = 31 и смеётся: «Ошибка!» А Лейла говорит: «Не спеши, ты не знаешь основания». И правда: если числа записаны в системе с основанием x, равенство принимает вид (x + 3) + (x + 5) = 3x + 1, откуда x = 7. Проверка: 13₇ = 10, 15₇ = 12, 31₇ = 22 и 10 + 12 = 22 ✓. В четырёх вступительных экзаменах ГЭЦ 2025–2026 годов 4 из 8 заданий по системам счисления были именно такими задачами с неизвестным основанием — и закрытые с 5 вариантами, и кодируемые, где ответ пишешь сам. Все они держатся на одной идее — развёрнутой записи числа (урок «Системы счисления: позиционные системы и двоичная система»).

От развёрнутой записи к уравнению

1. 1
   Условие

   Найди наибольшую цифру в равенстве: x должно быть больше неё.

2. 2
   Развёрнутая запись

   Запиши каждое число по степеням x: справа налево 1, x, x², x³, …

3. 3
   Уравнение

   Приведи подобные и реши уравнение: линейное — сразу, квадратное или кубическое — разложением на множители.

4. 4
   Отбор

   Отбрось отрицательные, нулевые, дробные корни и корни, не превосходящие наибольшую цифру.

5. 5
   Проверка и ответ на вопрос

   Переведи числа в десятичную систему с найденным x и проверь равенство. Затем найди именно то, что спрашивают: само x, наибольшее трёхзначное число, его десятичное значение и т. д.

Основание по последней цифре и по количеству цифр

При переводе числа в систему с основанием b первый остаток — его последняя цифра. Значит, если запись N в этой системе оканчивается на r, то N − r делится на b нацело, причём b > r, ведь r — цифра. Если даны два таких условия, основание — общий делитель обеих разностей; из общих делителей выбирают тот, что удовлетворяет условию на цифры.

Количество цифр тоже говорит об основании. Если N записывается в системе с основанием b ровно k цифрами, то оно не меньше наименьшего k-значного числа (bᵏ⁻¹) и меньше наименьшего (k + 1)-значного (bᵏ).

Последовательные цифры, особые наборы цифр и наибольшее число

В системе с основанием n цифры — 0, 1, …, n − 1. Поэтому, если в условии сказано «m и n — последовательные числа», то m = n − 1, то есть m — наибольшая цифра системы. Цифры могут быть заданы и буквами: в наборе {0, 1, 2, p, q, r, s} 7 цифр, значит, основание 7, а буквы по порядку означают p = 3, q = 4, r = 5, s = 6. В обоих случаях у наибольшего k-значного числа все цифры равны наибольшей цифре.

Такие задачи умеет решать и программа: int(s, x) читает строку s как число в системе с основанием x (2 ≤ x ≤ 36), остаётся перебрать основания в цикле. Программа ниже сначала находит основания, в которых 29 оканчивается на 5, затем основание равенства 352ₓ + 544ₓ = 1006ₓ и десятичное значение наибольшего трёхзначного числа этой системы:

print([b for b in range(6, 30) if 29 % b == 5])
for x in range(7, 37):
    if int('352', x) + int('544', x) == int('1006', x):
        print(x, x**3 - 1)

[6, 8, 12, 24]
9 728

for x in range(6, 17):
    # int('154', x) reads '154' as a base-x number
    pass

7

Нули и единицы в двоичной записи: сложные случаи

На уроке «Системы счисления: позиционные системы и двоичная система» мы раскладывали число на различные степени двойки: каждая степень даёт одну единицу, старшая определяет длину записи. В заданиях ГЭЦ число часто дано как разность, квадрат или в другой системе. Чтобы разобрать его без громоздких вычислений, нужны два правила.

Этот урок завершает раздел о системах счисления. Короткое напоминание: если основание известно, считай способами из урока «Арифметические действия в различных системах счисления»; если неизвестно — составь уравнение по развёрнутой записи и проверь условие на цифры.