Say sistemləri: naməlum əsas məsələləri

Murad lövhədə 13 + 15 = 31 yazıldığını görüb gülür: «Səhvdir!» Leyla isə deyir: «Tələsmə, əsası bilmirsən». Doğrudan da, ədədlər x əsaslı sistemdə yazılıbsa, bərabərlik (x + 3) + (x + 5) = 3x + 1 şəklinə düşür, buradan x = 7. Yoxlama: 13₇ = 10, 15₇ = 12, 31₇ = 22 və 10 + 12 = 22 ✓. 2025–2026-cı illərin dörd DİM qəbul imtahanında say sistemlərinə aid 8 tapşırığın 4-ü məhz belə «naməlum əsas» məsələsi olub — həm 5 variantlı qapalı, həm də cavabı özün yazdığın kodlaşdırılan tapşırıqlar. Hamısı bir fikrə əsaslanır: ədədin açıq yazılışına («Say sistemləri: mövqeli sistemlər və ikilik say sistemi» dərsi).

Açıq yazılışdan tənliyə

1. 1
   Şərt

   Bərabərlikdəki ən böyük rəqəmi tap: x ondan böyük olmalıdır.

2. 2
   Açıq yazılış

   Hər ədədi x-in qüvvətləri ilə yaz: sağdan sola 1, x, x², x³, …

3. 3
   Tənlik

   Oxşar hədləri topla və tənliyi həll et: xətti tənliyi birbaşa, kvadrat və kub tənliyi vuruqlara ayırmaqla.

4. 4
   Seçim

   Mənfi, sıfır, kəsr və ən böyük rəqəmdən böyük olmayan kökləri at.

5. 5
   Yoxlama və sualın cavabı

   Tapılan x ilə ədədləri onluğa çevirib bərabərliyi yoxla. Sonra məhz soruşulanı tap: x-in özünü, ən böyük üçrəqəmli ədədi, onun onluq qiymətini və s.

Əsası son rəqəmə və rəqəmlərin sayına görə tapmaq

Ədədi b əsaslı sistemə çevirəndə birinci qalıq onun son rəqəmidir. Deməli, N-in b-lik yazılışı r ilə bitirsə, N − r ədədi b-yə qalıqsız bölünür, üstəlik b > r, çünki r rəqəmdir. İki belə şərt verilərsə, əsas hər iki fərqin ortaq bölənidir; ortaq bölənlərdən rəqəm şərtini ödəyəni seçilir.

Rəqəmlərin sayı da əsas haqqında məlumat verir. N ədədi b əsaslı sistemdə düz k rəqəmlə yazılırsa, o, ən kiçik k-rəqəmli ədəddən (bᵏ⁻¹) kiçik deyil və ən kiçik (k + 1)-rəqəmli ədəddən (bᵏ) kiçikdir.

Ardıcıl rəqəmlər, xüsusi rəqəm çoxluqları və ən böyük ədəd

Əsası n olan sistemdə rəqəmlər 0, 1, …, n − 1-dir. Ona görə şərtdə «m və n ardıcıl ədədlərdir» deyilirsə, m = n − 1 olur, yəni m bu sistemin ən böyük rəqəmidir. Rəqəmlər adi yox, hərflərlə də verilə bilər: {0, 1, 2, p, q, r, s} çoxluğunda 7 rəqəm var, deməli, əsas 7-dir, hərflər isə sıra ilə p = 3, q = 4, r = 5, s = 6 qiymətlərini alır. Hər iki halda ən böyük k-rəqəmli ədəd bütün rəqəmləri ən böyük rəqəm olan ədəddir.

Belə məsələləri proqram da həll edə bilər: int(s, x) funksiyası s sətrini x əsaslı ədəd kimi oxuyur (2 ≤ x ≤ 36), qalan iş əsasları dövrlə yoxlamaqdır. Aşağıdakı proqram əvvəlcə 29-un 5 ilə bitdiyi əsasları, sonra 352ₓ + 544ₓ = 1006ₓ bərabərliyinin əsasını və bu sistemdə ən böyük üçrəqəmli ədədin onluq qiymətini tapır:

print([b for b in range(6, 30) if 29 % b == 5])
for x in range(7, 37):
    if int('352', x) + int('544', x) == int('1006', x):
        print(x, x**3 - 1)

[6, 8, 12, 24]
9 728

for x in range(6, 17):
    # int('154', x) reads '154' as a base-x number
    pass

7

İkilik yazılışda 0 və 1-lər: çətin hallar

«Say sistemləri: mövqeli sistemlər və ikilik say sistemi» dərsində ədədi ikinin müxtəlif qüvvətlərinin cəminə ayırmağı öyrəndik: hər qüvvət bir 1 verir, ən böyük qüvvət uzunluğu müəyyən edir. DİM-də ədəd çox vaxt fərq, kvadrat və ya başqa əsasda verilir. Onu hesablamadan açmaq üçün iki qayda lazımdır.

Bu dərs say sistemləri bölməsini tamamlayır. Qısa xatırlatma: tapşırıqda əsas məlumdursa, «Müxtəlif say sistemlərində hesab əməlləri» dərsindəki üsullarla hesabla; əsas naməlumdursa, açıq yazılışla tənlik qur və rəqəm şərtini yoxla.