Sayı sistemleri: tabanı bilinmeyen problemler

Murad tahtada 13 + 15 = 31 yazıldığını görünce gülüyor: “Yanlış!” Leyla ise diyor ki: “Acele etme, tabanı bilmiyorsun.” Gerçekten de sayılar x tabanında yazılmışsa eşitlik (x + 3) + (x + 5) = 3x + 1 olur, buradan x = 7. Sağlama: 13₇ = 10, 15₇ = 12, 31₇ = 22 ve 10 + 12 = 22 ✓. 2025–2026 yıllarının dört DİM giriş sınavında sayı sistemleriyle ilgili 8 sorunun 4’ü tam olarak böyle “tabanı bilinmeyen” problemlerdi; hem 5 seçenekli çoktan seçmeli hem de cevabı kendin yazdığın kodlanan sorular. Hepsi tek bir fikre dayanır: sayının çözümlenmesine (“Sayı sistemleri: konumsal sistemler ve ikilik sistem” dersi).

Çözümlemeden denkleme

1. 1
   Koşul

   Eşitlikteki en büyük rakamı bul: x ondan büyük olmalıdır.

2. 2
   Çözümleme

   Her sayıyı x’in kuvvetleriyle yaz: sağdan sola 1, x, x², x³, …

3. 3
   Denklem

   Benzer terimleri topla ve denklemi çöz: doğrusal denklemi doğrudan, ikinci ya da üçüncü dereceden denklemi çarpanlara ayırarak.

4. 4
   Seçim

   Negatif, sıfır, kesirli kökleri ve en büyük rakamdan büyük olmayan kökleri at.

5. 5
   Sağlama ve sorunun cevabı

   Bulduğun x ile sayıları onluğa çevirip eşitliği kontrol et. Sonra tam olarak sorulanı bul: x’in kendisini, en büyük üç basamaklı sayıyı, onun onluk değerini vb.

Tabanı son rakamdan ve basamak sayısından bulmak

Bir sayıyı b tabanına çevirirken ilk kalan onun son rakamıdır. Demek ki N’nin b tabanındaki yazılışı r ile bitiyorsa N − r sayısı b’ye tam bölünür; ayrıca b > r’dir, çünkü r bir rakamdır. Böyle iki koşul verilirse taban, iki farkın ortak bölenidir; ortak bölenlerden rakam koşulunu sağlayan seçilir.

Basamak sayısı da taban hakkında bilgi verir. N sayısı b tabanında tam k basamakla yazılıyorsa en küçük k basamaklı sayıdan (bᵏ⁻¹) küçük değildir ve en küçük (k + 1) basamaklı sayıdan (bᵏ) küçüktür.

Ardışık rakamlar, özel rakam kümeleri ve en büyük sayı

n tabanında rakamlar 0, 1, …, n − 1’dir. Bu yüzden soruda “m ve n ardışık sayılardır” deniyorsa m = n − 1’dir, yani m bu sistemin en büyük rakamıdır. Rakamlar harflerle de verilebilir: {0, 1, 2, p, q, r, s} kümesinde 7 rakam vardır, yani taban 7’dir; harfler sırayla p = 3, q = 4, r = 5, s = 6 değerlerini alır. Her iki durumda da en büyük k basamaklı sayının bütün rakamları en büyük rakamdır.

Bu tür problemleri bir program da çözebilir: int(s, x) fonksiyonu s metnini x tabanında bir sayı olarak okur (2 ≤ x ≤ 36); geriye tabanları bir döngüyle denemek kalır. Aşağıdaki program önce 29’un 5 ile bittiği tabanları, sonra 352ₓ + 544ₓ = 1006ₓ eşitliğinin tabanını ve bu tabandaki en büyük üç basamaklı sayının onluk değerini bulur:

print([b for b in range(6, 30) if 29 % b == 5])
for x in range(7, 37):
    if int('352', x) + int('544', x) == int('1006', x):
        print(x, x**3 - 1)

[6, 8, 12, 24]
9 728

for x in range(6, 17):
    # int('154', x) reads '154' as a base-x number
    pass

7

İkilik yazılışta 0 ve 1’ler: zor durumlar

“Sayı sistemleri: konumsal sistemler ve ikilik sistem” dersinde bir sayıyı 2’nin farklı kuvvetlerinin toplamına ayırmayı öğrendik: her kuvvet bir tane 1 verir, en büyük kuvvet uzunluğu belirler. DİM sorularında sayı çoğu zaman fark, kare ya da başka bir tabanda verilir. Onu uzun hesap yapmadan açmak için iki kural gerekir.

Bu ders sayı sistemleri bölümünü tamamlıyor. Kısa bir hatırlatma: taban biliniyorsa “Farklı sayı sistemlerinde aritmetik işlemler” dersindeki yöntemlerle hesapla; bilinmiyorsa çözümlemeyle denklem kur ve rakam koşulunu kontrol et.