- Вычислять период, угловую скорость и центростремительное ускорение при движении по окружности
- Находить g и орбитальную скорость с помощью закона всемирного тяготения
- Объяснять три закона Кеплера и применять третий закон
Международная космическая станция обращается вокруг Земли со скоростью около 7,7 км/с и совершает один оборот чуть больше чем за полтора часа. Что удерживает её на орбите и почему она не падает? На самом деле станция всё время «падает», но летит вперёд так быстро, что никогда не достигает искривлённой поверхности Земли.
Равномерное движение по окружности
Когда тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, её направление всё время меняется. Значит, у тела есть ускорение, и оно всегда направлено к центру окружности. Его называют центростремительным ускорением. Время одного полного оборота — период (T), число оборотов в единицу времени — частота.
- vлинейная скорость, в м/с
- Rрадиус окружности, в м
- Tпериод обращения, в с
- ωугловая скорость, в рад/с
- νчастота обращения, в Гц (1/с)
- aцентростремительное ускорение, в м/с², направлено к центру
Вызывающая его сила F = m · v² / R — не особый вид силы, а равнодействующая сил трения, натяжения, тяготения и т. п.
Автомобиль массой 1200 кг движется по кольцу радиусом 50 м со скоростью 10 м/с (36 км/ч). Найди его центростремительное ускорение и силу трения, которая его создаёт.
Показать решениеСкрыть решение
F = m · a = 1200 · 2 = 2400 Н.
Если скорость увеличить вдвое, нужная сила вырастет в 4 раза — поэтому входить в поворот на большой скорости опасно.
Закон всемирного тяготения и g
- Gгравитационная постоянная, 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг²
- m₁, m₂массы тел, в кг
- rрасстояние между центрами, в м
Если записать силу тяготения, действующую на тело на высоте h над Землёй, как m · g, получим ускорение свободного падения g = G · M / (R + h)². Здесь M = 5,97 · 10²⁴ кг — масса Земли, R ≈ 6370 км — её радиус. С высотой g уменьшается.
Каково ускорение свободного падения на высоте 400 км над поверхностью Земли?
Показать решениеСкрыть решение
g = 6,67 · 10⁻¹¹ · 5,97 · 10²⁴ / (6,77 · 10⁶)² ≈ 8,7 м/с².
Это около 89% от значения у поверхности. Значит, невесомость на станции — не отсутствие тяготения, а следствие свободного падения.
Орбитальная скорость
На круговой орбите на спутник действует только сила тяготения, и она создаёт центростремительное ускорение: G · M · m / r² = m · v² / r. Масса спутника сокращается, и получается орбитальная скорость. Для орбиты у самой поверхности Земли её называют первой космической скоростью.
- Mмасса планеты, в кг
- rрадиус орбиты (от центра планеты), в м
- v₁первая космическая скорость для Земли
Найди скорость и период станции на круговой орбите высотой 400 км.
Показать решениеСкрыть решение
T = 2πr / v = 2π · 6,77 · 10⁶ / 7670 ≈ 5550 с ≈ 92 мин.
Это примерно 15–16 оборотов в сутки.
Законы Кеплера
- Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
- Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади: вблизи Солнца планета движется быстрее.
- Квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси орбиты: T² ~ a³.
- Tпериод обращения, в с
- rрадиус орбиты (для эллипса — большая полуось), в м
Для круговой орбиты следует из T = 2πr / v и v² = G · M / r.
Марс находится от Солнца в 1,52 раза дальше, чем Земля. Сколько земных лет длится год на Марсе?
Показать решениеСкрыть решение
T = 1,52^(3/2) = √(1,52³) = √3,51 ≈ 1,87 года.
G и M даже не понадобились!
Главное
- При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру: a = v² / R = ω² · R.
- Центростремительная сила — не отдельная сила, а равнодействующая реальных сил.
- На высоте g = G · M / (R + h)²; орбитальная скорость v = √(G · M / r), для Земли v₁ ≈ 7,9 км/с.
- Третий закон Кеплера: T² ~ r³; для одного центрального тела удобно считать через отношения.
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.