Ускорение и равноускоренное движение

В этом уроке ты узнаешь

Вычислять ускорение и по знакам определять, разгоняется тело или тормозит
Записывать уравнения скорости и координаты и читать x₀, v₀ₓ, aₓ из уравнения
Применять формулу без времени и правило 1 : 3 : 5
Решать задачи на торможение, встречу и погоню

На светофоре загорается зелёный. Автомобиль трогается, и через 5 секунд спидометр уже показывает 36 км/ч. У следующего светофора машина тормозит и останавливается. Такие изменения скорости описывает ускорение. В этом уроке ты изучишь все формулы равноускоренного движения — скорость, координату, формулу без времени, правило 1 : 3 : 5 — и применишь их в задачах на торможение и погоню.

Что такое ускорение?

Определение

Ускорение

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который оно произошло. Ускорение — векторная величина; оно показывает, на сколько меняется скорость за каждую секунду. Единица — м/с². Если ускорение постоянно, движение называют равноускоренным. Ускорение измеряет акселерометр — такой датчик есть в каждом смартфоне.

aₓ = (vₓ − v₀ₓ) / taₓ = (vₓ − v₀ₓ) / t

где:

aₓпроекция ускорения, м/с²
v₀ₓ, vₓпроекции начальной и конечной скорости, м/с
tвремя изменения скорости, с

Если vₓ и aₓ одного знака, модуль скорости растёт; если знаки разные — тело тормозит. Значит, «отрицательное ускорение» не всегда означает торможение!

Пример 1: разгон, торможение и знаки

а) Автомобиль из состояния покоя за 8 с разгоняется до 20 м/с. б) Автобус, ехавший со скоростью 15 м/с, тормозит и останавливается через 5 с. в) У тела v₀ₓ = −10 м/с, aₓ = +2 м/с². Оно разгоняется или тормозит? Чему равна vₓ через 8 с?

Показать решение

а) a = (20 − 0) / 8 = 2,5 м/с².
б) a = (0 − 15) / 5 = −3 м/с² — скорость каждую секунду уменьшается на 3 м/с.
в) Знаки разные → тело тормозит; vₓ = −10 + 2t, при t = 5 с оно останавливается, а затем разгоняется по оси: vₓ(8) = −10 + 16 = 6 м/с.

Уравнения скорости и координаты

vₓ = v₀ₓ + aₓ · t

где:

vₓпроекция скорости в момент t

Скорость линейно зависит от времени.

x = x₀ + v₀ₓ · t + aₓ · t² / 2x = x₀ + v₀ₓ · t + aₓ · t² / 2

где:

x₀начальная координата, м
xкоордината в момент t, м

Уравнение координаты равноускоренного движения. Перемещение sₓ = x − x₀ = v₀ₓt + aₓt²/2; если тело не поворачивает назад, это и путь.

sₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2 · tsₓ = (v₀ₓ + vₓ) / 2 · t

где:

(v₀ₓ + vₓ) / 2(v₀ₓ + vₓ) / 2средняя скорость при равноускоренном движении

Средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей — только при равноускоренном движении!

Смысл этих формул виден на графике v–t: скорость растёт линейно, поэтому под графиком — трапеция, а её площадь равна средней скорости, умноженной на время. Подставив vₓ = v₀ₓ + aₓt, получим (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓt)/2 · t = v₀ₓt + aₓt²/2 — именно перемещение из уравнения координаты.

Пример 2: читаем уравнение

Координата тела меняется по закону x = 5 − 4t + 2t² (СИ). Найди x₀, v₀ₓ и aₓ, запиши уравнение скорости. Когда и где тело останавливается? Каковы перемещение и путь за 3 с?

Показать решение

Сравниваем: x₀ = 5 м, v₀ₓ = −4 м/с, aₓ / 2 = 2 → aₓ = 4 м/с².
vₓ = −4 + 4t; vₓ = 0 → t = 1 с, x(1) = 5 − 4 + 2 = 3 м.
x(3) = 5 − 12 + 18 = 11 м → перемещение 11 − 5 = 6 м.
Путь: сначала от 5 м до 3 м (2 м), затем от 3 м до 11 м (8 м) → 10 м.

Пример 3: велосипедист

Лейла трогается на велосипеде с места с ускорением 0,5 м/с². Какой будет её скорость через 10 с, какой путь она проедет и какова её средняя скорость?

Показать решение

v = a · t = 0,5 · 10 = 5 м/с.
s = a · t² / 2 = 0,5 · 100 / 2 = 25 м.
Средняя скорость: 25 / 10 = 2,5 м/с = (0 + 5) / 2 — формула средней скорости подтверждается.

Формула без времени

Если в задаче время не дано и не спрашивается, подставим t = (v − v₀) / a в формулу средней скорости: s = (v₀ + v) / 2 · (v − v₀) / a. Получается формула без времени.

s = (v² − v₀²) / (2a)s = (v² − v₀²) / (2a)

где:

v₀, vначальная и конечная скорость, м/с
aускорение (при торможении отрицательно), м/с²

Другая запись: v² − v₀² = 2as. Тормозной путь: s = v₀² / (2|a|).

Пример 4: три задачи на формулу без времени

1) Самолёту для взлёта нужна скорость 60 м/с. Какая длина полосы нужна при разгоне из покоя с ускорением 2,5 м/с²?
2) Автомобиль, едущий со скоростью 20 м/с, тормозит с ускорением 5 м/с². Каков тормозной путь?
3) Тело, имевшее скорость 10 м/с, разгоняется с ускорением 3 м/с². Какой будет его скорость через 50 м пути?

Показать решение

1) s = (60² − 0) / (2 · 2,5) = 3600 / 5 = 720 м.
2) s = (0 − 20²) / (2 · (−5)) = 40 м.
3) v² = 10² + 2 · 3 · 50 = 400 → v = 20 м/с.

Какой величины нет в задаче?	Формула
время t	s = (v² − v₀²) / (2a)
ускорение a	s = (v₀ + v) / 2 · t
конечная скорость v	s = v₀ · t + a · t² / 2
путь s	v = v₀ + a · t

Из пяти величин (v₀, v, a, t, s) три даны, одна спрашивается: выбирай формулу по той величине, которой в задаче нет.

Правило 1 : 3 : 5 и путь за n-ю секунду

При равноускоренном движении из покоя пути за время t, 2t, 3t, … относятся как 1 : 4 : 9 : … (как квадраты времени). А пути за последовательные равные промежутки относятся как нечётные числа: 1 : 3 : 5 : 7 : … Это открыл Галилей.

sₙ = a · (2n − 1) / 2sₙ = a · (2n − 1) / 2

где:

sₙпуть за n-ю секунду при движении из покоя, м
nномер секунды

Получается из разности sₙ = s(n) − s(n − 1).

Пример 5: n-я секунда

1) Тело движется из покоя с ускорением 4 м/с². Какой путь оно проходит за 3-ю секунду?
2) Тело, равноускоренно движущееся из покоя, за первую секунду прошло 2 м. Какой путь оно пройдёт за 5-ю секунду и за первые 5 секунд?

Показать решение

1) s₃ = 4 · (2 · 3 − 1) / 2 = 10 м. Проверка: s(3) − s(2) = 18 − 8 = 10 м.
2) По секундам отношение 1 : 3 : 5 : 7 : 9 → за 5-ю секунду 2 · 9 = 18 м. За первые 5 с отношение 1 : 25, то есть 2 · 25 = 50 м.

Пример 6 (закрытое задание)

Тело, равноускоренно движущееся из покоя, за 4-ю секунду проходит 14 м. Вычислите его ускорение.
A) 4 м/с² B) 3,5 м/с² C) 2 м/с² D) 7 м/с² E) 1,75 м/с²

Показать решение

s₄ = a · (2 · 4 − 1) / 2 = 3,5a = 14 → a = 4 м/с² (A).
E (1,75) — ошибка: 14 м приняли за весь путь за 4 с; B (3,5) — просто разделили 14 на 4.

Задачи на торможение и погоню

Тормозящее тело после остановки назад не едет. Поэтому сначала найди время остановки (t_ост = v₀ / |a|): если заданное время больше, путь равен тормозному пути. В задачах на встречу и погоню для каждого тела пишут уравнение координаты на одной оси и решают условие x₁ = x₂.

Пример 7 (закрытое задание): ловушка торможения

Автомобиль, едущий со скоростью 20 м/с, тормозит с ускорением 4 м/с². Вычислите путь автомобиля за 6 с.
A) 48 м B) 50 м C) 72 м D) 120 м E) 40 м

Показать решение

Время остановки: 20 / 4 = 5 с < 6 с. Последнюю секунду автомобиль стоит.
s = v₀² / (2a) = 400 / 8 = 50 м (B).
A (48 м) — ошибка: подставили t = 6 с в s = v₀t − at²/2, будто машина поехала назад.

Пример 8: последняя секунда торможения

Автомобиль, едущий со скоростью 20 м/с, тормозит с ускорением 4 м/с² до остановки. Найди путь за каждую секунду. Какой путь он проходит за последнюю секунду перед остановкой?

Показать решение

Остановка через 20 / 4 = 5 с. Если «прокрутить» движение назад, это разгон из покоя с ускорением 4 м/с², поэтому, считая с конца, пути относятся как 1 : 3 : 5 : 7 : 9: 2, 6, 10, 14, 18 м.
Значит, по секундам: 18, 14, 10, 6, 2 м; за последнюю секунду путь равен a/2 = 2 м.
Всего 18 + 14 + 10 + 6 + 2 = 50 м — столько же, сколько тормозной путь.

Пример 9: движение навстречу

Из точки A из покоя с ускорением 4 м/с² трогается мотоцикл, а в тот же момент из точки B, находящейся в 100 м, навстречу ему с постоянной скоростью 10 м/с выезжает велосипедист. Когда и на каком расстоянии от A они встретятся?

Показать решение

Ось Ox — от A к B: x₁ = 2t², x₂ = 100 − 10t.
x₁ = x₂ → 2t² + 10t − 100 = 0 → t² + 5t − 50 = 0 → (t + 10)(t − 5) = 0 → t = 5 с.
x = 2 · 25 = 50 м. Скорость мотоцикла в этот момент 4 · 5 = 20 м/с.

Пример 10 (кодируемое задание): погоня

Когда автобус отъезжает от остановки с ускорением 1 м/с², мимо него в том же направлении с постоянной скоростью 5 м/с проезжает велосипедист. Через сколько секунд автобус догонит велосипедиста?

Показать решение

x_а = t² / 2, x_в = 5t → t² / 2 = 5t → t = 10 с (t = 0 — начальный момент).
Ответ: 10. Проверка: скорость автобуса 10 м/с = 2 · 5 м/с, встреча в 50 м от остановки.

Проверь себя

1.36 км/ч = м/с
2.v₀ = 0, a = 3 м/с², t = 4 с → v = м/с
3.Из покоя: s₁ : s₂ : s₃ = 1 : 3 :
4.v₀ = 10 м/с, a = −5 м/с² → тормозной путь м

Интерактив

Загрузка симуляции…

Пример 7: v₀ = 20 м/с, a = −4 м/с². Через 5 с скорость обращается в ноль. Дальше виджет показывает движение назад (так было бы, если бы ускорение сохранялось), а настоящий автомобиль просто стоит — помни об этом в задачах на торможение.

Главное

aₓ = (vₓ − v₀ₓ) / t; если vₓ и aₓ одного знака, тело разгоняется, если разных — тормозит.
vₓ = v₀ₓ + aₓt, x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2, средняя скорость (v₀ + v)/2.
Формула без времени: s = (v² − v₀²) / (2a); тормозной путь пропорционален v₀².
Из покоя: пути за последовательные секунды 1 : 3 : 5 : …, sₙ = a(2n − 1)/2.
При торможении сначала найди момент остановки; для встречи реши x₁ = x₂.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Что показывает ускорение?