Электроёмкость и конденсаторы

В этом уроке ты узнаешь

Давать определение электроёмкости и находить ёмкость, заряд и напряжение по формулам C = q / U и C = ε · ε₀ · S / d
Находить общую ёмкость, заряд и напряжение каждого конденсатора при последовательном, параллельном и смешанном соединении
Вычислять энергию конденсатора и плотность энергии поля
Определять, как меняются C, q, U, E и W при изменении d, S или ε у подключённого (U = const) и отключённого (q = const) конденсатора

Вспышка фотоаппарата светит лишь мгновение, дефибриллятор сильным электрическим импульсом заново запускает остановившееся сердце, а экран смартфона чувствует касание пальца. Во всех этих устройствах есть конденсатор — элемент, который накапливает заряд и энергию электрического поля и отдаёт их в нужный момент. В уроке «Электрический заряд, закон Кулона и электрическое поле» мы изучили заряды и поле; теперь узнаем, как заряд «хранят». В заданиях DİM эта тема часто сводится к одному вопросу: остался ли конденсатор подключённым к источнику или его отключили?

Электроёмкость

Если сообщать проводнику заряд, его потенциал растёт прямо пропорционально заряду: удвоишь заряд — удвоится и напряжение. Значит, отношение q / U для данного проводника (или пары проводников) постоянно. На практике используют две проводящие обкладки, разделённые тонким слоем диэлектрика, — это конденсатор. При подключении к источнику одна обкладка получает заряд +q, другая −q. «Заряд конденсатора» — это модуль заряда одной обкладки, то есть q: суммарный заряд двух обкладок равен нулю.

Определение

Электроёмкость

Физическая величина, равная отношению заряда одной из обкладок конденсатора к напряжению между ними; показывает способность конденсатора накапливать заряд. Единица — фарад (Ф).

C = q / UC = q / U

где:

Cэлектроёмкость, Ф (фарад)
qмодуль заряда одной обкладки, Кл
Uнапряжение (разность потенциалов) между обкладками, В

1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — очень большая единица, поэтому используют мкФ (10⁻⁶ Ф), нФ (10⁻⁹ Ф) и пФ (10⁻¹² Ф). Ёмкость не зависит ни от заряда, ни от напряжения: при росте q во столько же раз растёт U, а отношение не меняется.

Пример 1: три применения формулы C = q / U

1) Конденсатор ёмкостью 20 мкФ подключён к напряжению 50 В. Найдите его заряд.
2) Конденсатор при напряжении 300 В накапливает заряд 6 нКл. Какова его ёмкость?
3) Заряд конденсатора ёмкостью 5 мкФ увеличили с 40 мкКл до 100 мкКл. Как изменились напряжение и ёмкость?

Показать решение

1) q = C · U = 20 · 10⁻⁶ · 50 = 10⁻³ Кл = 1 мКл.
2) C = q / U = 6 · 10⁻⁹ / 300 = 2 · 10⁻¹¹ Ф = 20 пФ.
3) U = q / C выросло с 40 / 5 = 8 В до 100 / 5 = 20 В; ёмкость по-прежнему 5 мкФ — она зависит от устройства конденсатора.

Ёмкость плоского конденсатора

Простейший конденсатор — плоский: две параллельные пластины площадью S на расстоянии d друг от друга. Между пластинами поле однородно, снаружи почти равно нулю. От чего зависит ёмкость, можно понять и без вывода: чем шире пластины, тем больше заряда на них «помещается» (C ~ S); чем ближе пластины, тем сильнее положительные и отрицательные заряды удерживают друг друга (C ~ 1/d).

Если между пластинами поместить диэлектрик, он поляризуется: заряды его молекул ослабляют поле пластин в ε раз. При том же заряде q напряжение уменьшается в ε раз, значит, ёмкость растёт в ε раз. Для вакуума и воздуха ε ≈ 1, для парафина около 2, для слюды около 6, для воды 81.

C = ε · ε₀ · S / dC = ε · ε₀ · S / d

где:

εдиэлектрическая проницаемость среды между обкладками (безразмерная; для вакуума и воздуха 1)
ε₀электрическая постоянная, 8,85 · 10⁻¹² Ф/м
Sплощадь одной обкладки, м²
dрасстояние между обкладками, м

Ёмкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади обкладок и обратно пропорциональна расстоянию между ними; она зависит только от геометрии и диэлектрика.

Пример 2: пластины, зазор и диэлектрик

1) Площадь каждой обкладки плоского воздушного конденсатора 200 см², расстояние между ними 1 мм. Найдите ёмкость.
2) Зазор полностью заполняют слюдой (ε = 6). Какой станет ёмкость?
3) Как изменится ёмкость, если площадь пластин увеличить в 2 раза, а расстояние между ними — в 3 раза?

Показать решение

1) Переводим в СИ: S = 200 · 10⁻⁴ = 0,02 м², d = 10⁻³ м.
C = ε₀ · S / d = 8,85 · 10⁻¹² · 0,02 / 10⁻³ = 1,77 · 10⁻¹⁰ Ф = 177 пФ.
2) C′ = ε · C = 6 · 177 = 1062 пФ ≈ 1,06 нФ.
3) C′ / C = 2 / 3: ёмкость уменьшится в 1,5 раза (площадь увеличивает её в 2 раза, расстояние уменьшает в 3 раза).

Пример 3 (закрытое задание): два изменения сразу

Расстояние между обкладками плоского воздушного конденсатора уменьшили в 2 раза и полностью заполнили зазор веществом с диэлектрической проницаемостью 3. Как изменится электроёмкость?
A) увеличится в 6 раз B) увеличится в 1,5 раза C) уменьшится в 6 раз D) уменьшится в 1,5 раза E) не изменится

Показать решение

C = ε · ε₀ · S / d: ε увеличилась в 3 раза → C увеличилась в 3 раза; d уменьшилось в 2 раза → C выросла ещё в 2 раза.
Итог: 3 · 2 = 6, ёмкость увеличится в 6 раз (A).
Вариант B (1,5) получается делением 3 на 2 — но d стоит в знаменателе, и его уменьшение увеличивает C.

Параллельное и последовательное соединение конденсаторов

Чтобы получить нужную ёмкость, конденсаторы соединяют. При параллельном соединении все конденсаторы подключены к одним и тем же двум точкам: напряжение на всех одинаково, а заряды складываются — будто растёт площадь обкладок. При последовательном соединении конденсаторы образуют цепочку: источник заряжает только крайние обкладки, а внутренние получают тот же заряд q через электростатическую индукцию. Поэтому заряд у всех одинаков, а напряжения складываются — будто растёт расстояние между обкладками.

Величина	Параллельно	Последовательно
Напряжение	U = U₁ = U₂	U = U₁ + U₂
Заряд	q = q₁ + q₂	q = q₁ = q₂
Общая ёмкость	C = C₁ + C₂	1/C = 1/C₁ + 1/C₂
n одинаковых конденсаторов (C₀)	C = n · C₀	C = C₀ / n
Общая ёмкость	больше наибольшей	меньше наименьшей
Кому достаётся больше?	большей ёмкости — больший заряд	меньшей ёмкости — большее напряжение

Формулы для конденсаторов «обратны» формулам для резисторов: ёмкости параллельных конденсаторов складываются, как сопротивления последовательных резисторов.

C_пар = C₁ + C₂ + …, 1 / C_посл = 1 / C₁ + 1 / C₂ + …C_пар = C₁ + C₂ + …, 1 / C_посл = 1 / C₁ + 1 / C₂ + …

где:

C_паробщая ёмкость при параллельном соединении: напряжение одно, заряды складываются
C_послобщая ёмкость при последовательном соединении: заряд один, напряжения складываются

Для двух последовательных конденсаторов C = C₁ · C₂ / (C₁ + C₂) — «произведение на сумму».

Пример 4: параллельно и последовательно

Конденсаторы ёмкостью C₁ = 2 мкФ и C₂ = 3 мкФ подключают к источнику 100 В а) параллельно, б) последовательно. В каждом случае найдите общую ёмкость, заряд и напряжение каждого конденсатора. в) Какова общая ёмкость трёх конденсаторов по 6 мкФ при последовательном и параллельном соединении?

Показать решение

а) C = 2 + 3 = 5 мкФ. Напряжение на обоих 100 В: q₁ = 2 · 100 = 200 мкКл, q₂ = 3 · 100 = 300 мкКл (всего 500 мкКл = C · U).
б) C = 2 · 3 / (2 + 3) = 1,2 мкФ; заряд у обоих одинаков: q = 1,2 · 100 = 120 мкКл.
U₁ = 120 / 2 = 60 В, U₂ = 120 / 3 = 40 В (проверка: 60 + 40 = 100). На конденсаторе меньшей ёмкости — большее напряжение.
в) Последовательно: C = 6 / 3 = 2 мкФ; параллельно: C = 3 · 6 = 18 мкФ.
Заметка: мкФ · В = мкКл, поэтому можно считать, не записывая 10⁻⁶.

Схема к примеру 5: C₂ и C₃ соединены параллельно, а вместе — последовательно с C₁.

Пример 5 (закрытое задание): смешанное соединение

В схеме конденсатор C₁ = 4 мкФ соединён последовательно с параллельно соединёнными C₂ = 1 мкФ и C₃ = 3 мкФ, напряжение источника 12 В. Чему равен заряд конденсатора C₃?
A) 6 мкКл B) 24 мкКл C) 18 мкКл D) 12 мкКл E) 36 мкКл

Показать решение

1) Параллельная группа: C₂₃ = 1 + 3 = 4 мкФ.
2) C₁ и группа соединены последовательно: C = 4 · 4 / (4 + 4) = 2 мкФ.
3) Общий заряд (заряд C₁ и группы): q = C · U = 2 · 12 = 24 мкКл.
4) Напряжение на группе: U₂₃ = q / C₂₃ = 24 / 4 = 6 В (на C₁ тоже 6 В).
5) q₃ = C₃ · U₂₃ = 3 · 6 = 18 мкКл (C). Проверка: q₂ = 1 · 6 = 6 мкКл, 6 + 18 = 24 мкКл.
B (24) — это общий заряд, E (36) — ошибка «всё напряжение 12 В на C₃».

Энергия конденсатора и плотность энергии поля

Если подключить заряженный конденсатор к лампе, она вспыхнет — значит, в конденсаторе есть энергия. Она появилась за счёт работы источника при зарядке. Во время зарядки напряжение растёт от 0 до U пропорционально заряду, поэтому среднее напряжение, при котором переносится заряд, равно U / 2, и W = q · U / 2 (а не q · U!). Иначе говоря, энергия — это площадь треугольника под графиком U(q).

W = q · U / 2 = C · U² / 2 = q² / (2C)W = q · U / 2 = C · U² / 2 = q² / (2C)

где:

Wэнергия конденсатора (его электрического поля), Дж
qзаряд конденсатора, Кл
Uнапряжение между обкладками, В
Cёмкость, Ф

Три формы — одна и та же формула (подставьте q = C · U). Выбор зависит от того, что постоянно: если U = const, удобна C · U² / 2, если q = const — q² / (2C).

Интерактив

Загрузка симуляции…

График U = q / C: x — заряд (мкКл), y — напряжение (В), c — ёмкость (мкФ). Площадь закрашенного треугольника — энергия (мкДж): ∫ = q² / (2C). При c = 2 и q = 10 U = 5 В, W = 25 мкДж.

Пример 6: три формулы энергии

1) Конденсатор вспышки ёмкостью 100 мкФ заряжают до 300 В. Найдите его заряд и энергию.
2) Заряд конденсатора ёмкостью 40 мкФ равен 2 мКл. Какова его энергия?
3) Ёмкость конденсатора дефибриллятора 100 мкФ. До какого напряжения его нужно зарядить, чтобы накопить 200 Дж?

Показать решение

1) q = C · U = 10⁻⁴ · 300 = 0,03 Кл; W = C · U² / 2 = 10⁻⁴ · 300² / 2 = 4,5 Дж. Эта энергия выделяется в лампе примерно за тысячную долю секунды, поэтому вспышка так ярка.
2) Известны заряд и ёмкость: W = q² / (2C) = (2 · 10⁻³)² / (2 · 40 · 10⁻⁶) = 4 · 10⁻⁶ / (8 · 10⁻⁵) = 0,05 Дж = 50 мДж.
3) W = C · U² / 2 → U = √(2W / C) = √(2 · 200 / 10⁻⁴) = √(4 · 10⁶) = 2000 В = 2 кВ.

Где хранится эта энергия? В электрическом поле между обкладками. В плоском конденсаторе поле однородно, его напряжённость E = U / d. Подставив в W = C · U² / 2 выражения C = ε · ε₀ · S / d и U = E · d, получим W = (ε · ε₀ · E² / 2) · S · d, а S · d — объём, занятый полем. Значит, энергия единицы объёма — плотность энергии — зависит только от напряжённости поля и среды.

E = U / d, w = ε · ε₀ · E² / 2E = U / d, w = ε · ε₀ · E² / 2

где:

Eнапряжённость однородного поля между обкладками, В/м
dрасстояние между обкладками, м
wплотность энергии электрического поля, Дж/м³; энергия конденсатора W = w · S · d

Плотность энергии растёт как квадрат напряжённости: при усилении поля в 2 раза энергия каждого кубометра растёт в 4 раза.

Пример 7: напряжённость поля и плотность энергии

Площадь обкладок плоского воздушного конденсатора 100 см², расстояние между ними 2 мм, напряжение 200 В.
1) Найдите напряжённость поля между обкладками и плотность энергии.
2) Вычислите энергию конденсатора двумя способами: w · S · d и C · U² / 2.

Показать решение

1) E = U / d = 200 / 0,002 = 10⁵ В/м; w = ε₀ · E² / 2 = 8,85 · 10⁻¹² · 10¹⁰ / 2 ≈ 0,044 Дж/м³.
2) Объём S · d = 0,01 · 0,002 = 2 · 10⁻⁵ м³; W = 0,04425 · 2 · 10⁻⁵ ≈ 8,85 · 10⁻⁷ Дж.
C = ε₀ · S / d = 8,85 · 10⁻¹² · 0,01 / 0,002 = 4,425 · 10⁻¹¹ Ф; W = C · U² / 2 = 4,425 · 10⁻¹¹ · 4 · 10⁴ / 2 = 8,85 · 10⁻⁷ Дж — тот же результат.

Пример 8 (кодируемое задание): заряженный и незаряженный конденсаторы

Конденсатор ёмкостью 1 мкФ зарядили до 300 В, отключили от источника и присоединили параллельно к незаряженному конденсатору ёмкостью 2 мкФ. Вычислите установившееся общее напряжение (в В).

Показать решение

Конденсаторы отключены от источника, поэтому общий заряд сохраняется: q = C₁ · U₀ = 1 · 300 = 300 мкКл.
После соединения они параллельны: C = 1 + 2 = 3 мкФ, напряжение общее:
U = q / C = 300 / 3 = 100. Ответ: 100.
А энергия не сохраняется: по формуле C · U² / 2 она падает с 45 мДж до 15 мДж, 30 мДж переходят в теплоту в проводах.

Подключён к источнику или отключён?

Любимый вопрос DİM о конденсаторе: обкладки раздвигают (или сближают), вводят диэлектрик — как меняются C, q, U, E и W? Главное — понять, что остаётся постоянным. Если конденсатор остаётся подключённым к источнику, источник поддерживает напряжение: U = const. Если конденсатор зарядили и отключили, заряду некуда уйти: q = const.

1
Выбери постоянную
Подключён → U = const; отключён → q = const.
2
Найди ёмкость
C = ε · ε₀ · S / d: C растёт, когда d уменьшается, S увеличивается или вводится диэлектрик.
3
Найди вторую величину
При U = const заряд q = C · U меняется вместе с C; при q = const напряжение U = q / C меняется обратно C.
4
Найди поле
E = U / d. При q = const E = q / (ε · ε₀ · S) — от расстояния между обкладками не зависит!
5
Найди энергию
U = const: W = C · U² / 2 меняется как C; q = const: W = q² / (2C) меняется обратно C.

Величина	d уменьшают в n раз, U = const	d уменьшают в n раз, q = const	диэлектрик (ε), U = const	диэлектрик (ε), q = const
C	× n	× n	× ε	× ε
q	× n	не меняется	× ε	не меняется
U	не меняется	÷ n	не меняется	÷ ε
E	× n	не меняется	не меняется	÷ ε
W	× n	÷ n	× ε	÷ ε

«× n» — увеличивается в n раз, «÷ n» — уменьшается в n раз. Если обкладки раздвигают (d растёт), замени n на 1/n.

Пример 9 (закрытое задание): диаграмма Эйлера–Венна

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора заряжены до одного напряжения. Первый остаётся подключённым к источнику постоянного напряжения, второй отключают. Затем зазоры обоих полностью заполняют диэлектриком. На диаграмме Эйлера–Венна I — утверждения, верные только для подключённого, II — только для отключённого, III — для обоих:
1. Электроёмкость увеличивается.
2. Заряд не меняется.
3. Напряжение между обкладками уменьшается.
4. Напряжённость поля между обкладками не меняется.
5. Энергия увеличивается.
A) I – 2, 4; II – 3, 5; III – 1
B) I – 5; II – 2, 3, 4; III – 1
C) I – 1, 4; II – 2, 3; III – 5
D) I – 4, 5; II – 2, 3; III – 1
E) I – 4, 5; II – 3; III – 1, 2

Показать решение

Подключён (U = const): C = ε · ε₀ · S / d растёт в ε раз; q = C · U растёт; U не меняется; E = U / d не меняется; W = C · U² / 2 растёт → верны 1, 4, 5.
Отключён (q = const): C растёт; q не меняется; U = q / C уменьшается; E = U / d уменьшается; W = q² / (2C) уменьшается → верны 1, 2, 3.
Общее утверждение — только 1 (III). Только для подключённого — 4, 5 (I), только для отключённого — 2, 3 (II). Ответ: D.

Пример 10 (письменное и кодируемое задания): раздвигаем обкладки

1) Плоский конденсатор остаётся подключённым к источнику постоянного напряжения, а расстояние между обкладками увеличивают в 3 раза. Как изменятся ёмкость, заряд, напряжённость поля и энергия? Обоснуйте формулами.
2) Заряженный конденсатор отключён от источника, его энергия 6 мДж. Расстояние между обкладками увеличивают в 3 раза. Вычислите новую энергию (в мДж).

Показать решение

1) Источник поддерживает напряжение: U = const.
C = ε · ε₀ · S / d → d растёт в 3 раза, C уменьшается в 3 раза.
q = C · U → уменьшается в 3 раза (часть заряда возвращается к источнику).
E = U / d → уменьшается в 3 раза.
W = C · U² / 2 → уменьшается в 3 раза.
2) q = const, W = q² / (2C). C уменьшилась в 3 раза → W выросла в 3 раза: W = 3 · 6 = 18. Ответ: 18.
Лишняя энергия — это работа внешней силы, раздвигающей притягивающиеся обкладки.

Главное

Электроёмкость C = q / U, единица — фарад (Ф); она не зависит от заряда и напряжения.
Плоский конденсатор: C = ε · ε₀ · S / d; диэлектрик увеличивает ёмкость в ε раз.
Параллельно: U одинаково, C = C₁ + C₂; последовательно: q одинаков, 1/C = 1/C₁ + 1/C₂.
Энергия W = q · U / 2 = C · U² / 2 = q² / (2C); плотность энергии w = ε · ε₀ · E² / 2, в однородном поле E = U / d.
У подключённого конденсатора U = const, у отключённого q = const — остальное следует отсюда.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какова единица электроёмкости в СИ?