Электрические цепи: ЭДС, мощность и правила Кирхгофа

В этом уроке ты узнаешь

Находить силу тока и напряжение на зажимах по закону Ома для полной цепи
Находить работу, мощность тока и выделяемое тепло
Рассчитывать разветвлённые цепи по правилам Кирхгофа

Когда заводят двигатель автомобиля, фары на мгновение тускнеют. Почему, ведь аккумулятор тот же? Потому что у самого источника тоже есть сопротивление. В этом уроке ты научишься работать с реальными источниками тока и рассчитывать любую сложную цепь.

ЭДС и внутреннее сопротивление

Определение

Электродвижущая сила (ЭДС, ℰ)

Работа сторонних (неэлектростатических) сил внутри источника по перемещению единичного заряда. Единица — вольт. Несмотря на название, ЭДС — не сила, а энергетическая характеристика.

I = ℰ / (R + r), U = ℰ − I · r = I · RI = ℰ / (R + r), U = ℰ − I · r = I · R

где:

ℰЭДС источника, в В
Rсопротивление внешней цепи, в Ом
rвнутреннее сопротивление источника, в Ом
Uнапряжение на зажимах источника, в В

Закон Ома для полной цепи. При R = 0 получается ток короткого замыкания I = ℰ / r.

Пример 1: аккумулятор и лампа

К аккумулятору с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом подключена лампа сопротивлением 5,5 Ом. Найди силу тока, напряжение на зажимах и ток короткого замыкания.

Показать решение

I = 12 / (5,5 + 0,5) = 2 А.
U = I · R = 2 · 5,5 = 11 В (1 В «теряется» внутри источника).
При коротком замыкании: I = 12 / 0,5 = 24 А — провода нагреваются, возникает опасность пожара.

Пример 2: как найти ЭДС и r

При подключении к источнику резистора 4 Ом сила тока 1 А, а резистора 9 Ом — 0,5 А. Найди ЭДС и внутреннее сопротивление источника.

Показать решение

ЭДС в обоих случаях одна и та же, поэтому записываем два уравнения: ℰ = I₁ · (R₁ + r) = I₂ · (R₂ + r).
1 · (4 + r) = 0,5 · (9 + r) → 4 + r = 4,5 + 0,5r → r = 1 Ом.
ℰ = 1 · (4 + 1) = 5 В.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Для реального источника вместо R бери R + r: например, при ℰ = 12 В и R + r = 6 Ом ток равен 2 А. Посмотри, как резко растёт ток при уменьшении сопротивления.

Работа и мощность тока

P = U · I = I² · R = U² / R, Q = I² · R · tP = U · I = I² · R = U² / R, Q = I² · R · t

где:

Pмощность тока, в Вт
Qтеплота, выделяемая в проводнике за время t, в Дж (закон Джоуля — Ленца)

Электросчётчик измеряет энергию в киловатт-часах: 1 кВт · ч = 3,6 · 10⁶ Дж.

Пример 3: электрочайник

Чайник мощностью 2 кВт, рассчитанный на 220 В, работает 5 минут. Найди силу тока, сопротивление нагревателя и израсходованную энергию.

Показать решение

I = P / U = 2000 / 220 ≈ 9,1 А.
R = U² / P = 220² / 2000 = 24,2 Ом.
Израсходованная энергия: E = P · t = 2000 · 300 = 600 000 Дж = 600 кДж ≈ 0,17 кВт · ч.

Мощность, выделяемая во внешней цепи, равна P = ℰ² · R / (R + r)². Она максимальна при R = r и тогда P_max = ℰ² / (4r). Проверь это на графике ниже.

Интерактив

Загрузка симуляции…

x — внешнее сопротивление R (Ом), y — выделяемая в нём мощность (Вт); u — ЭДС, r — внутреннее сопротивление. Максимум всегда при x = r: для ℰ = 12 В и r = 2 Ом P_max = 18 Вт.

Правила Кирхгофа

Правило узлов: сумма токов, входящих в узел, равна сумме выходящих токов (заряд не накапливается). ∑I_вх = ∑I_вых.
Правило контуров: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения (I · R). ∑ℰ = ∑I · R.

Пример 4: цепь с двумя источниками

Точки A и B соединены тремя ветвями: 1) источник ℰ₁ = 10 В и R₁ = 2 Ом; 2) источник ℰ₂ = 4 В и R₂ = 2 Ом; 3) R₃ = 4 Ом. Оба источника обращены «+» к точке A, их внутренним сопротивлением можно пренебречь. Найди токи в ветвях.

Показать решение

Выберем токи от источников к A (I₁, I₂) и через R₃ от A к B (I₃).
Узел A: I₃ = I₁ + I₂.
Контур 1 (ℰ₁, R₁, R₃): 10 = 2I₁ + 4I₃.
Контур 2 (ℰ₂, R₂, R₃): 4 = 2I₂ + 4I₃.
Отсюда I₁ = 5 − 2I₃, I₂ = 2 − 2I₃, I₃ = 7 − 4I₃ → I₃ = 1,4 А, I₁ = 2,2 А, I₂ = −0,8 А.
Знак минус означает, что ток через ℰ₂ течёт в обратную сторону: источник 4 В заряжается.

Главное

Закон Ома для полной цепи: I = ℰ / (R + r); напряжение на зажимах U = ℰ − I · r.
Ток короткого замыкания I = ℰ / r очень велик и опасен.
Мощность P = U · I = I² · R = U² / R; во внешней цепи она максимальна при R = r.
Правила Кирхгофа: в узле ∑I_вх = ∑I_вых, в контуре ∑ℰ = ∑I · R.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

К батарее с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён резистор 8 Ом. Какова сила тока?