Электромагнитные колебания и волны

В этом уроке ты узнаешь

Объяснять превращения энергии в колебательном контуре, находить энергии и ток по графику W_M(W_E) и закону сохранения энергии
Вычислять период и частоту по формуле Томсона, находить параметры колебаний по уравнению q(t)
Знать свойства и шкалу электромагнитных волн, применять формулу c = λν
Решать задачи на резонанс, радиосвязь, радиолокацию и интенсивность излучения

Поворачивая ручку настройки радиоприёмника, ты из сотен станций слышишь только одну. Мобильный телефон, Wi-Fi, СВЧ-печь и рентгеновский аппарат используют явления одной природы — электромагнитные волны. Их источник — колебания электрических зарядов. Простейший «генератор колебаний» — колебательный контур из конденсатора и катушки: в нём магнитная энергия из урока «Самоиндукция. Индуктивность. Энергия магнитного поля» поочерёдно сменяется электрической энергией конденсатора. В 2026 году в экзаменах DİM обеих групп (I и IV) было кодируемое задание на график W_M(W_E) колебательного контура.

Колебательный контур и свободные электромагнитные колебания

Определение

Колебательный контур

Замкнутая цепь из конденсатора (C) и катушки индуктивности (L). После зарядки конденсатора заряд, ток и напряжение в контуре периодически меняются — возникают свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур: конденсатор разряжается через катушку

В момент t = 0 заряд конденсатора максимален (q_m), тока нет, вся энергия — в электрическом поле. Конденсатор начинает разряжаться через катушку, но самоиндукция не даёт току возрасти скачком — он растёт постепенно. В момент t = T/4 конденсатор полностью разряжен (q = 0), ток максимален (I_m), вся энергия — в магнитном поле катушки. Ток не прекращается сразу: самоиндукция поддерживает его, и конденсатор перезаряжается с противоположным знаком. В момент t = T/2 q = −q_m, i = 0. Затем процесс повторяется в обратном направлении, и при t = T контур возвращается в начальное состояние. Это точная копия пружинного маятника: катушка играет роль «массы» (инертности), конденсатор — «пружины».

t	q	\|i\|	W_E	W_M
0	q_m	0	W	0
T/4	0	I_m	0	W
T/2	−q_m	0	W	0
3T/4	0	I_m	0	W
T	q_m	0	W	0

W — полная энергия контура. Энергии повторяются каждые полпериода: период их изменения равен T/2.

W = q² / (2C) + L · i² / 2 = q_m² / (2C) = L · I_m² / 2W = q² / (2C) + L · i² / 2 = q_m² / (2C) = L · I_m² / 2

где:

Wполная энергия контура, Дж
q, iмгновенные значения заряда и тока
q_m, I_mамплитуды заряда и тока
C, Lёмкость конденсатора (Ф) и индуктивность катушки (Гн)

В идеальном контуре (без сопротивления) полная энергия сохраняется. Поэтому график W_M(W_E) — прямая W_M = W − W_E: она отсекает на обеих осях одинаковые отрезки W. Так как q_m = C · U_m, можно писать и W = C · U_m² / 2.

Пример 1: сохранение энергии

Конденсатор ёмкостью 2 мкФ заряжен до U_m = 100 В и подключён к катушке индуктивностью 0,02 Гн.
1) Найди полную энергию контура.
2) Найди амплитуду тока.
3) Какова сила тока в момент, когда напряжение на конденсаторе равно 50 В?

Показать решение

1) W = C · U_m² / 2 = 2 · 10⁻⁶ · 100² / 2 = 0,01 Дж = 10 мДж.
2) L · I_m² / 2 = W → I_m = √(2W / L) = √(0,02 / 0,02) = 1 А.
3) U = U_m / 2 → W_E = W / 4 = 2,5 мДж (энергия пропорциональна квадрату напряжения). W_M = 10 − 2,5 = 7,5 мДж → i = √(2 · 0,0075 / 0,02) = √0,75 ≈ 0,87 А (= I_m · √3 / 2).

Пример 2 (кодируемое задание): график W_M(W_E)

В идеальном колебательном контуре график зависимости энергии магнитного поля от энергии электрического поля — прямая, пересекающая обе оси в точках 80 мДж. В момент, соответствующий точке K графика, напряжение на конденсаторе в 2 раза меньше максимального. Вычислите энергию магнитного поля в этот момент (ответ выразите в мДж).

Показать решение

По графику: W = W_E + W_M = 80 мДж (прямая пересекает обе оси при этом значении).
W_E ~ U²: U = U_m / 2 → W_E = W / 4 = 20 мДж.
W_M = W − W_E = 80 − 20 = 60 мДж.
Ответ: 60. Типичная ошибка — написать 40 («напряжение в 2 раза меньше → энергия в 2 раза меньше»): энергия меняется как квадрат.

Формула Томсона

Сравним колебательный контур с пружинным маятником: заряд играет роль смещения (x), ток — скорости (v), индуктивность — массы (m), а 1/C — жёсткости пружины (k). Так как период пружинного маятника T = 2π√(m/k), замена m → L и k → 1/C даёт период контура. Большая L (большая «инертность») и большая C («мягкая пружина») замедляют колебания.

Пружинный маятник	Колебательный контур
смещение x	заряд q
скорость v	сила тока i
масса m	индуктивность L
жёсткость k	1 / C
E_p = k · x² / 2	W_E = q² / (2C)
E_k = m · v² / 2	W_M = L · i² / 2
T = 2π · √(m / k)	T = 2π · √(L · C)

T = 2π · √(L · C), ν = 1 / (2π · √(L · C)), ω = 1 / √(L · C)T = 2π · √(L · C), ν = 1 / (2π · √(L · C)), ω = 1 / √(L · C)

где:

Tпериод собственных колебаний контура, с
νсобственная частота, Гц
ωциклическая частота, рад/с
L, Cиндуктивность (Гн) и ёмкость (Ф)

Формула Томсона: период определяется только L и C и не зависит от амплитуды заряда. Заряд меняется по закону q = q_m · cos ωt, ток — по закону i = −I_m · sin ωt; I_m = ω · q_m, U_m = q_m / C. Ток достигает максимума на четверть периода позже заряда.

Пример 3: формула Томсона

1) Найди период и частоту колебаний контура с L = 0,1 Гн и C = 10 мкФ.
2) Как изменится период, если C увеличить в 4 раза? Если L увеличить в 2 раза, а C — в 8 раз?
3) Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы с катушкой 25 мкГн получить колебания частотой 1 МГц (π² ≈ 10)?

Показать решение

1) LC = 0,1 · 10⁻⁵ = 10⁻⁶ с², √(LC) = 10⁻³ с → T = 2π · 10⁻³ с ≈ 6,28 мс; ν = 1 / T ≈ 159 Гц.
2) T ~ √C → увеличится в 2 раза; T ~ √(LC) → √(2 · 8) = увеличится в 4 раза (частота уменьшится в 4 раза).
3) ν = 1 / (2π√(LC)) → C = 1 / (4π²ν²L) = 1 / (40 · 10¹² · 25 · 10⁻⁶) = 10⁻⁹ Ф = 1 нФ.

Пример 4: читаем уравнение q(t)

Заряд конденсатора в контуре меняется по закону q = 2 · 10⁻⁴ · cos(500πt) (Кл), C = 4 мкФ. Найди амплитуду заряда, частоту, период, амплитуды напряжения и тока, индуктивность катушки (π² ≈ 10).

Показать решение

q_m = 2 · 10⁻⁴ Кл; ω = 500π рад/с → ν = ω / 2π = 250 Гц, T = 1 / ν = 4 мс.
U_m = q_m / C = 2 · 10⁻⁴ / (4 · 10⁻⁶) = 50 В.
I_m = ω · q_m = 500π · 2 · 10⁻⁴ = 0,1π ≈ 0,31 А.
ω² = 1 / (LC) → L = 1 / (ω²C) = 1 / (250 000 · π² · 4 · 10⁻⁶) ≈ 1 / (250 000 · 10 · 4 · 10⁻⁶) = 0,1 Гн.

Интерактив

Загрузка симуляции…

x — время (мс), L задаётся в генри, C — в микрофарадах. Кривая 1 — q / q_m, кривая 2 — W_E / W, кривая 3 — W_M / W. При L = 1 Гн и C = 16 мкФ T = 2π√(LC) ≈ 25 мс. Кривые энергии меняются вдвое быстрее — с периодом T/2, а их сумма всегда равна 1. Увеличь C в 4 раза: период увеличится в 2 раза.

Пример 5 (закрытое задание): период энергии

Период колебаний заряда в контуре 8 мс, в момент t = 0 заряд конденсатора максимален. Какие утверждения верны?
I. Энергия электрического поля меняется с периодом 4 мс.
II. В момент t = 2 мс сила тока максимальна.
III. В момент t = 1 мс W_E = W_M.
A) только I B) I и II C) II и III D) I, II, III E) только III

Показать решение

I. W_E ~ q² = q_m² · cos² ωt; период функции cos² равен T/2 = 4 мс — верно.
II. В момент t = T/4 = 2 мс q = 0, ток максимален — верно.
III. W_E = W_M = W/2 при q = q_m / √2, то есть cos ωt = 1/√2 → ωt = π/4 → t = T/8 = 1 мс — верно.
Ответ: D.

Электромагнитные волны

В 1860-х годах Максвелл показал, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (это электромагнитная индукция), а переменное электрическое поле порождает магнитное. Значит, однажды возникнув, переменные электрическое и магнитное поля порождают друг друга и распространяются в пространстве — это электромагнитная волна. Герц получил такие волны на опыте в 1888 году. Волны излучают заряды, движущиеся с ускорением, например колеблющиеся. Закрытый колебательный контур излучает слабо, а открытый — антенна — хорошо.

Поперечная: векторы E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения и колеблются в одной фазе. Поэтому электромагнитные волны поляризуются.
Распространяется в вакууме со скоростью c ≈ 3 · 10⁸ м/с (c = 1 / √(ε₀μ₀)); в веществе скорость меньше.
Переносит энергию, отражается, преломляется, интерферирует и дифрагирует — ей присущи все волновые свойства света.

c = λ · ν = λ / Tc = λ · ν = λ / T

где:

cскорость света в вакууме, ≈ 3 · 10⁸ м/с
λдлина волны, м
νчастота, Гц
Tпериод, с

При переходе волны в другую среду частота не меняется, меняются скорость и длина волны. Длина волны, которую излучает (или принимает) контур: λ = c · T = 2πc · √(L · C).

Пример 6: c = λν

1) FM-радиостанция вещает на частоте 100 МГц. Какова длина волны?
2) В мобильной связи используются волны частотой 900 МГц. Найди λ.
3) Найди частоту и период радиостанции с длиной волны 300 м.

Показать решение

1) λ = c / ν = 3 · 10⁸ / 10⁸ = 3 м.
2) λ = 3 · 10⁸ / (9 · 10⁸) ≈ 0,33 м = 33 см.
3) ν = c / λ = 3 · 10⁸ / 300 = 10⁶ Гц = 1 МГц; T = 1 / ν = 10⁻⁶ с = 1 мкс.

Излучение	λ (примерно)	Источники и применение
Радиоволны	> 1 мм	радио, телевидение, мобильная связь, Wi-Fi, радиолокация, СВЧ-печи
Инфракрасное	1 мм – 760 нм	нагретые тела; пульты, приборы ночного видения, тепловизоры
Видимый свет	760 – 380 нм	Солнце, лампы; зрение, фотосинтез
Ультрафиолетовое	380 – 10 нм	Солнце, кварцевые лампы; дезинфекция, образование витамина D, загар
Рентгеновское	10 – 0,01 нм	рентгеновская трубка; медицинская диагностика, изучение кристаллов
Гамма-излучение	< 0,01 нм	ядерные процессы; лучевая терапия, стерилизация

Шкала электромагнитных волн: сверху вниз частота растёт, длина волны уменьшается. Границы условны — соседние диапазоны перекрываются. Все они распространяются в вакууме с одной скоростью c.

Пример 7 (закрытое задание): шкала электромагнитных волн

Расположите излучения в порядке возрастания частоты: 1) рентгеновское; 2) радиоволны; 3) ультрафиолетовое; 4) инфракрасное.
A) 2, 4, 3, 1 B) 1, 3, 4, 2 C) 2, 3, 4, 1 D) 4, 2, 3, 1 E) 2, 4, 1, 3

Показать решение

С ростом частоты длина волны уменьшается: радиоволны (самая большая λ) → инфракрасное → ультрафиолетовое → рентгеновское.
Ответ: A. B — порядок возрастания длины волны (обратный), в C перепутаны инфракрасное и ультрафиолетовое.

Резонанс, радиосвязь и радиолокация

В реальном контуре есть сопротивление проводов: энергия постепенно превращается в теплоту, и свободные колебания затухают. Чтобы поддерживать колебания, на контур извне должна действовать периодическая ЭДС (генератор или радиоволна, попавшая на антенну) — тогда в контуре возникают вынужденные электромагнитные колебания с частотой внешней ЭДС. Когда внешняя частота равна собственной частоте контура (ν = 1 / (2π√(LC)), то есть X_L = X_C), амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает — это резонанс. Чем меньше активное сопротивление контура, тем острее и выше резонанс. Вращая ручку настройки приёмника, меняют C конденсатора переменной ёмкости и настраивают контур на частоту одной станции.

1
Звук → электрический сигнал
Микрофон превращает звук в электрические колебания низкой частоты (20 Гц – 20 кГц). Излучать такие колебания напрямую неэффективно.
2
Несущая волна
Генератор создаёт высокочастотные несущие колебания.
3
Модуляция
Амплитуду (амплитудная модуляция) или частоту (частотная модуляция) несущих колебаний меняют в такт звуковому сигналу.
4
Излучение и приём
Антенна излучает модулированную волну. В приёмной антенне возникают вынужденные колебания, контур с помощью резонанса выделяет нужную станцию.
5
Детектирование
Диод отсекает одну половину колебаний, конденсатор сглаживает высокочастотные пульсации — выделяется низкочастотный звуковой сигнал, и динамик снова превращает его в звук.

Пример 8 (письменное задание): настройка приёмника

В контуре приёмника катушка индуктивностью 10 мкГн и конденсатор переменной ёмкости.
a) На антенну одновременно попадают волны многих станций. Почему приёмник «слышит» только одну из них? Объясните.
b) На какую частоту и длину волны настроен контур при C = 1 нФ?
c) Какой должна быть ёмкость, чтобы настроить приёмник на длину волны 300 м (π² ≈ 10)?

Показать решение

a) Волны всех станций вызывают в антенне вынужденные колебания, но резонанс даёт только волна, частота которой совпадает с собственной частотой контура: её амплитуда наибольшая, остальные остаются слабыми. Меняя C, подстраивают собственную частоту под нужную станцию.
b) √(LC) = √(10⁻⁵ · 10⁻⁹) = 10⁻⁷ с; ν = 1 / (2π · 10⁻⁷) ≈ 1,6 МГц; λ = c / ν = 2πc · √(LC) = 2π · 3 · 10⁸ · 10⁻⁷ ≈ 188 м.
c) λ = 2πc · √(LC) → C = λ² / (4π²c²L) = 9 · 10⁴ / (40 · 9 · 10¹⁶ · 10⁻⁵) = 2,5 · 10⁻⁹ Ф = 2,5 нФ.

R = c · t / 2R = c · t / 2

где:

Rрасстояние до объекта, м
tвремя прохождения импульса до объекта и обратно, с

Радиолокация основана на отражении радиоволн. Локатор посылает короткие импульсы; следующий импульс нужно посылать после возвращения отражённого сигнала.

I = W / (S · Δt) = P / S, I ~ 1 / r², I ~ ν⁴I = W / (S · Δt) = P / S, I ~ 1 / r², I ~ ν⁴

где:

Iинтенсивность излучения (плотность потока электромагнитного излучения), Вт/м²
Wэнергия, прошедшая через площадь S за время Δt, Дж
Pмощность излучения через поверхность, Вт
rрасстояние до точечного источника, м

При удалении от точечного источника энергия распределяется по сфере площадью 4πr²: при увеличении расстояния в 2 раза интенсивность уменьшается в 4 раза. Интенсивность излучения пропорциональна четвёртой степени частоты — поэтому для радиосвязи нужны высокочастотные несущие волны.

Пример 9: радиолокация и интенсивность излучения

1) Импульс радиолокатора, отражённый от самолёта, вернулся через 200 мкс. Найди расстояние до самолёта.
2) Локатор посылает 1000 импульсов в секунду. На каком наибольшем расстоянии он может обнаружить объект?
3) Радиосигнал, отражённый от Луны, возвращается на Землю через 2,56 с. Каково расстояние до Луны?
4) На расстоянии 10 м от точечного источника интенсивность 0,8 Вт/м². Какой она будет на расстоянии 40 м?
5) Частоту колебаний в антенне увеличили в 3 раза (амплитуда не изменилась). Как изменится интенсивность излучения?

Показать решение

1) R = c · t / 2 = 3 · 10⁸ · 2 · 10⁻⁴ / 2 = 3 · 10⁴ м = 30 км.
2) Время между импульсами 1 / 1000 = 10⁻³ с; отражённый сигнал должен вернуться за это время: R_max = 3 · 10⁸ · 10⁻³ / 2 = 150 км.
3) R = 3 · 10⁸ · 2,56 / 2 = 3,84 · 10⁸ м = 384 000 км.
4) I ~ 1 / r²: расстояние увеличилось в 4 раза → интенсивность уменьшилась в 16 раз: 0,8 / 16 = 0,05 Вт/м².
5) I ~ ν⁴: 3⁴ = увеличится в 81 раз.

Главное

В колебательном контуре W = q²/(2C) + Li²/2 = const; график W_M(W_E) — прямая W_M = W − W_E.
Формула Томсона T = 2π√(LC); q = q_m · cos ωt, I_m = ω · q_m, U_m = q_m / C.
Энергии электрического и магнитного полей меняются с периодом T/2; W_E = W_M в момент t = T/8.
Электромагнитная волна поперечна и распространяется в вакууме со скоростью c ≈ 3 · 10⁸ м/с: c = λν. Шкала: радио → инфракрасное → видимое → ультрафиолетовое → рентгеновское → гамма.
При резонансе внешняя частота равна собственной частоте контура — так настраивают приёмник; модуляция и детектирование передают звук с помощью несущей волны.
Радиолокация: R = c · t / 2; интенсивность I = P / S, I ~ 1 / r², I ~ ν⁴.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

У какого излучения наибольшая частота?