Динамика вращательного движения

В этом уроке ты узнаешь

Вычислять моменты сил и моменты инерции типичных тел
Применять основное уравнение динамики вращения к системам тел
Использовать закон сохранения момента импульса
Находить скорость и ускорение катящихся тел

Почему дверь легко открыть, толкая её за ручку, и трудно — возле петель? Почему фигуристка вращается быстрее, прижимая руки к телу? Почему сплошной шар и обруч, отпущенные с одной наклонной плоскости, скатываются за разное время? На все эти вопросы отвечает динамика вращения твёрдого тела.

Момент силы и момент инерции

M = r × F, |M| = r · F · sin φ = F · d

где:

Mмомент силы (вектор вдоль оси вращения), в Н · м
rрадиус-вектор от оси до точки приложения силы, в м
dплечо силы — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы, в м

Если в поступательном движении мерой инертности служит масса, то во вращательном — момент инерции. Он зависит не только от массы, но и от её распределения относительно оси: I = ∑ mᵢ rᵢ² = ∫ r² dm. Например, для тонкого стержня длиной L относительно оси через середину dm = (m/L) dx и I = ∫ x² (m/L) dx (от −L/2 до L/2) = mL²/12.

Тело (ось)	Момент инерции
Тонкое кольцо, полый цилиндр (ось симметрии)	mR²
Сплошной цилиндр, диск (ось симметрии)	mR²/2
Сплошной шар (ось через центр)	2mR²/5
Тонкостенная сфера (ось через центр)	2mR²/3
Тонкий стержень (через середину)	mL²/12
Тонкий стержень (через конец)	mL²/3

I = I_c + m · a²

где:

I_cмомент инерции относительно параллельной оси через центр масс, в кг · м²
aрасстояние между осями, в м

Теорема Штейнера. Проверка: для стержня mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 — как в таблице.

Основное уравнение динамики вращения

Пусть на точку массой mᵢ на расстоянии rᵢ от оси действует касательная сила Fᵢ. Тогда Fᵢ = mᵢ · aᵢ = mᵢ · rᵢ · ε; умножив обе части на rᵢ, получаем Mᵢ = mᵢ rᵢ² · ε. Суммируя по всем точкам (моменты внутренних сил попарно сокращаются), получаем M = I · ε.

M = I · ε, ε = dω/dtM = I · ε, ε = dω/dt

где:

Iмомент инерции, в кг · м²
εугловое ускорение, в рад/с²
ωугловая скорость, в рад/с

Пример 1: ведро в колодце

Ведро массой 5 кг висит на верёвке, намотанной на сплошной цилиндрический вал массой 10 кг и радиусом 0,2 м. Вал вращается без трения, ведро отпускают. Найдите ускорение ведра, силу натяжения верёвки и угловое ускорение вала (g = 9,8 м/с²).

Показать решение

Для ведра: mg − T = ma.
Для вала: T · R = I · ε = (MR²/2) · (a/R) → T = Ma/2.
Складывая: mg = (m + M/2) · a → a = 5 · 9,8 / (5 + 5) = 4,9 м/с².
T = 10 · 4,9 / 2 = 24,5 Н, ε = a / R = 24,5 рад/с².
Проверка: при M → 0 a → g (свободное падение), при M → ∞ a → 0.

A = ∫ M dφ, N = M · ω, E = I · ω² / 2A = ∫ M dφ, N = M · ω, E = I · ω² / 2

где:

Aработа момента силы при повороте, в Дж
Nмощность, в Вт
Eкинетическая энергия вращения, в Дж

Пример 2: мощность двигателя

Двигатель автомобиля развивает крутящий момент 200 Н · м при 3000 об/мин. Найдите его мощность.

Показать решение

Сначала переводим угловую скорость в рад/с: ω = 2π · 3000 / 60 = 100π ≈ 314 рад/с.
N = M · ω = 200 · 314 ≈ 62,8 кВт.

Момент импульса и его сохранение

L = r × p = I · ω, dL/dt = ML = r × p = I · ω, dL/dt = M

где:

Lмомент импульса, в кг · м²/с

Если момент внешних сил равен нулю, L = const: I₁ω₁ = I₂ω₂.

Пример 3: вращающаяся фигуристка

С разведёнными руками момент инерции фигуристки 3,5 кг · м², она делает 1 оборот в секунду. Прижав руки, она уменьшает момент инерции до 1,0 кг · м². Найдите новую частоту вращения. Как меняется кинетическая энергия?

Показать решение

На льду момент внешних сил относительно оси почти равен нулю, L сохраняется.
ν₂ = ν₁ · I₁ / I₂ = 1 · 3,5 / 1,0 = 3,5 об/с.
ω₁ = 2π рад/с: E₁ = 3,5 · (2π)² / 2 ≈ 69 Дж; ω₂ = 7π рад/с: E₂ = 1,0 · (7π)² / 2 ≈ 242 Дж.
Энергия выросла в 3,5 раза — это работа мышц, притягивающих руки к телу. Момент импульса сохраняется, а кинетическая энергия — нет.

Качение без проскальзывания

При качении без проскальзывания точка касания в каждый момент покоится, поэтому v = ωR. Кинетическая энергия состоит из двух частей: E = mv²/2 + Iω²/2. Записав I = k · mR², получаем E = (1 + k) · mv²/2. Сила трения покоя работы не совершает, так как точка её приложения неподвижна. Для тела, скатывающегося с высоты h, mgh = (1 + k) · mv²/2.

v = √(2gh / (1 + k)), a = g · sin θ / (1 + k)v = √(2gh / (1 + k)), a = g · sin θ / (1 + k)

где:

kI / (mR²): шар 2/5, цилиндр 1/2, обруч 1; 0 для тела, скользящего без трения
θугол наклона плоскости

Ответ не зависит ни от массы, ни от радиуса — только от формы (k).

Пример 4: шар, обруч и кусок льда

Сплошной шар, обруч и кусок льда, скользящий без трения, спускаются с высоты 1,4 м. Найдите скорость каждого внизу.

Показать решение

2gh = 2 · 9,8 · 1,4 = 27,44 м²/с².
Лёд (k = 0): v = √27,44 ≈ 5,24 м/с.
Шар (k = 0,4): v = √(27,44 / 1,4) = √19,6 ≈ 4,43 м/с.
Обруч (k = 1): v = √(27,44 / 2) ≈ 3,70 м/с.
Обруч медленнее всех: половина его энергии уходит во вращение. Гонку выигрывает лёд, за ним — шар.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Зависимость ускорения от угла наклона (в радианах): скольжение без трения (k = 0), сплошной цилиндр (k = 1/2) и обруч (k = 1). При любом угле порядок один и тот же.

Главное

Момент силы M = r × F, модуль F · d (d — плечо силы).
Момент инерции I = ∫ r² dm зависит от оси; теорема Штейнера: I = I_c + ma².
Основное уравнение динамики вращения M = Iε; момент импульса L = Iω, dL/dt = M.
При нулевом моменте внешних сил I₁ω₁ = I₂ω₂.
Качение: v = ωR, E = (1 + k)mv²/2, a = g sin θ / (1 + k).

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

К двери на расстоянии 0,8 м от петель перпендикулярно её плоскости приложена сила 50 Н. Каков момент силы?