Основы статики: момент силы, рычаг, блоки, наклонная плоскость

В этом уроке ты узнаешь

Находить плечо и момент силы, применять два условия равновесия (ΣF = 0, ΣM = 0)
Решать задачи о рычаге и балке на двух опорах с помощью правила моментов
Находить центр тяжести и различать виды равновесия
Вычислять выигрыш в силе, применять «золотое правило» и находить КПД блоков и наклонной плоскости

Если толкать дверь рядом с петлями, она почти не поддаётся; если за ручку — открывается легко. Сила та же, разница в том, насколько далеко от оси вращения она приложена. На этой идее основаны простые механизмы — рычаг, блок, наклонная плоскость: они позволяют малой силой поднять большой груз. В этом уроке ты узнаешь, при каких условиях тело остаётся в равновесии (это изучает статика) и как простые механизмы дают выигрыш в силе. Задание на рычаг было и на вступительном экзамене 2026 года.

Плечо и момент силы

Твёрдое тело может поворачиваться вокруг закреплённой оси (дверь, гаечный ключ, рычаг). Вращающее действие силы зависит не только от её модуля, но и от плеча силы.

Определение

Плечо силы (d)

кратчайшее расстояние от оси вращения (точки опоры) до линии действия силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из оси на эту линию. Если линия действия проходит через ось, плечо равно нулю и сила тело не поворачивает.

M = F · d

где:

Mмомент силы, Н · м
Fмодуль силы, Н
dплечо силы, м; если сила приложена к концу стержня длиной l под углом α к нему, d = l · sin α

Момент силы, поворачивающей тело против часовой стрелки, считают положительным, по часовой стрелке — отрицательным (это договорённость).

Пример 1: три применения момента силы

1) К гаечному ключу перпендикулярно ему, на расстоянии 25 см от оси гайки, приложена сила 40 Н. Найди момент силы.
2) Чтобы открыть дверь, нужен момент 6 Н · м. Ручка находится в 75 см от петель. Какую силу, перпендикулярную двери, нужно приложить к ручке? А если толкать в 15 см от петель?
3) К концу ключа длиной 0,5 м приложена сила 40 Н под углом 30° к ключу. Найди плечо и момент силы.

Показать решение

1) M = F · d = 40 · 0,25 = 10 Н · м (переведи см в м).
2) F = M / d = 6 / 0,75 = 8 Н; в 15 см: F = 6 / 0,15 = 40 Н — плечо в 5 раз короче, сила должна быть в 5 раз больше.
3) d = l · sin 30° = 0,5 · 0,5 = 0,25 м; M = 40 · 0,25 = 10 Н · м. Перпендикулярная сила дала бы 20 Н · м: наклонная сила теряет половину плеча.

Два условия равновесия и правило моментов

Чтобы твёрдое тело оставалось в равновесии, оно не должно начинать ни поступательного движения, ни вращения. Поэтому одновременно должны выполняться два условия:

ΣF = 0, ΣM = 0

где:

ΣFвекторная сумма (равнодействующая) всех сил, действующих на тело, — первое условие
ΣMалгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси — второе условие

Для тела в равновесии моменты можно записывать относительно любой точки. Удобнее всего — точка приложения неизвестной силы: её плечо равно нулю, и она выпадает из уравнения.

Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Если опора находится между силами, это рычаг первого рода (ножницы, равноплечие весы); если обе силы по одну сторону от опоры — рычаг второго рода (например, тачка). Для невесомого рычага второе условие превращается в правило моментов:

Правило моментов: F₁ · d₁ = F₂ · d₂ — на коротком плече большая сила, на длинном — малая.

F₁ · d₁ = F₂ · d₂, F₁ / F₂ = d₂ / d₁F₁ · d₁ = F₂ · d₂, F₁ / F₂ = d₂ / d₁

где:

F₁, F₂силы, стремящиеся повернуть рычаг в противоположные стороны, Н
d₁, d₂их плечи, м

Правило моментов: рычаг находится в равновесии, если сумма моментов, вращающих его по часовой стрелке, равна сумме моментов против часовой стрелки. Силы обратно пропорциональны плечам. Если дан вес самого рычага, он приложен в центре тяжести (у однородного рычага — в середине).

Пример 2: задачи на рычаг

1) К короткому плечу рычага длиной 0,2 м подвешен груз 600 Н, длинное плечо 1,2 м. Какую вертикальную силу нужно приложить к концу длинного плеча для равновесия?
2) Однородный рычаг массой 2 кг и длиной 1 м лежит на опоре в 25 см от левого конца. Груз какой массы нужно подвесить к левому концу, чтобы рычаг был горизонтален?

Показать решение

1) F · 1,2 = 600 · 0,2 → F = 600 · 0,2 / 1,2 = 100 Н: выигрыш в силе в 6 раз.
2) Вес рычага 20 Н приложен к его середине — на 50 − 25 = 25 см правее опоры. Плечо груза тоже 25 см: m · 10 · 0,25 = 20 · 0,25 → m = 2 кг.

Пример 3 (закрытое задание): куда повернётся рычаг?

Невесомый рычаг может вращаться вокруг точки опоры O. В 2 м левее опоры на рычаг действует вертикально вниз сила 6 Н, в 3 м правее — вертикально вниз сила 5 Н. Рычаг:
A) поворачивается по часовой стрелке B) поворачивается против часовой стрелки C) остаётся в равновесии D) скользит по опоре влево E) скользит по опоре вправо

Показать решение

Сравни моменты, а не силы: левая сила поворачивает рычаг против часовой стрелки, M₁ = 6 · 2 = 12 Н · м; правая — по часовой стрелке, M₂ = 5 · 3 = 15 Н · м.
15 > 12 → рычаг поворачивается по часовой стрелке (A).
Вариант B выбирают те, кто сравнивает силы (6 Н > 5 Н).

Пример 4 (закрытое задание): балка на двух опорах

Однородная балка длиной 2 м и массой 10 кг лежит горизонтально концами на двух опорах. На расстоянии 0,5 м от левого конца балки положен груз массой 20 кг. Найдите силы, с которыми левая и правая опоры действуют на балку (g = 10 м/с²).
A) 150 Н; 150 Н B) 200 Н; 100 Н C) 100 Н; 200 Н D) 150 Н; 50 Н E) 250 Н; 50 Н

Показать решение

На балку действуют четыре силы: её вес 100 Н (в середине), вес груза 200 Н и силы реакции опор F_лев и F_прав.
Моменты относительно правой опоры (F_прав выпадает): F_лев · 2 = 100 · 1 + 200 · 1,5 = 400 → F_лев = 200 Н.
Первое условие: F_лев + F_прав = 300 Н → F_прав = 100 Н. Ответ: B.
Проверка относительно левой опоры: F_прав · 2 = 100 · 1 + 200 · 0,5 = 200 → 100 Н ✓. Вариант D получается, если забыть вес балки, вариант C — если перепутать опоры.

Пример 5 (кодируемое задание): где точка опоры?

К концам невесомого рычага длиной 1,2 м приложены вертикально вниз силы 10 Н и 50 Н, рычаг в равновесии. Вычислите в сантиметрах расстояние от точки опоры до точки приложения силы 10 Н.

Показать решение

Пусть расстояние x: 10 · x = 50 · (1,2 − x) → 60x = 60 → x = 1 м.
Проверка: 10 · 1 = 50 · 0,2 = 10 Н · м ✓.
В бланк ответов записывается: 100.

Центр тяжести и виды равновесия

Равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела, приложена в одной точке — центре тяжести. У однородного стержня он в середине, у однородного шара и диска — в центре, у прямоугольной пластины — на пересечении диагоналей. Центр тяжести может лежать и вне тела (кольцо, бумеранг). Для системы из двух тел:

x_c = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)x_c = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)

где:

x_cкоордината центра тяжести
m₁, m₂массы тел
x₁, x₂координаты тел (их центров тяжести)

Это и есть правило моментов: относительно центра тяжести сумма моментов сил тяжести равна нулю, поэтому система, подпёртая в этой точке, остаётся в равновесии.

Пример 6: где центр тяжести?

1) На концах невесомого стержня длиной 60 см закреплены шарики массой 1 кг и 2 кг. На каком расстоянии от шарика 1 кг находится центр тяжести системы?
2) К одному концу однородного стержня массой 3 кг и длиной 1 м прикреплён груз 1 кг. На каком расстоянии от груза центр тяжести?

Показать решение

1) x_c = (1 · 0 + 2 · 60) / (1 + 2) = 40 см — ближе к тяжёлому шарику.
2) Массу стержня считаем сосредоточенной в его середине (0,5 м): x_c = (1 · 0 + 3 · 0,5) / (1 + 3) = 0,375 м.

Устойчивое равновесие: если немного вывести тело из равновесия, оно возвращается; центр тяжести занимает самое низкое возможное положение (подвешенное тело, шарик на дне чаши).
Неустойчивое равновесие: после малого отклонения тело уходит ещё дальше; центр тяжести в самом высоком положении (шарик на вершине выпуклой поверхности, карандаш на острие).
Безразличное равновесие: тело остаётся в равновесии в любом новом положении; высота центра тяжести не меняется (шар на горизонтальном столе, колесо на оси, проходящей через центр тяжести).

Тело, стоящее на опоре (ящик, автобус, Пизанская башня), не опрокидывается, пока вертикаль, проходящая через центр тяжести, проходит внутри площади опоры. Чем шире опора и чем ниже центр тяжести, тем устойчивее тело.

Блоки

Блок — колесо с жёлобом, вращающееся вокруг оси; по жёлобу проходит верёвка. Ось неподвижного блока закреплена: он подобен равноплечему рычагу (оба плеча равны радиусу), поэтому выигрыша в силе не даёт, а лишь меняет её направление (F = P). Подвижный блок поднимается вместе с грузом: его опора — у одной из ветвей верёвки, это рычаг второго рода с плечами r и 2r — он даёт выигрыш в силе в 2 раза, но конец верёвки проходит вдвое больший путь.

Неподвижный блок меняет направление силы, подвижный — её модуль.

F = P / n, s = n · hF = P / n, s = n · h

где:

Fсила, приложенная к свободному концу верёвки, Н
Pвес груза (вместе с подвижными блоками), Н
nчисло ветвей верёвки, на которых висит груз: у неподвижного блока n = 1, у одного подвижного n = 2
s, hперемещения конца верёвки и груза, м

Трение и вес верёвки не учитываются. Система блоков (полиспаст) даёт выигрыш в силе в n раз, но конец верёвки проходит в n раз больший путь.

Пример 7: подъём грузов блоками

1) Груз весом 400 Н равномерно поднимают подвижным блоком. Какую силу прикладывают к верёвке? Сколько верёвки нужно вытянуть, чтобы поднять груз на 3 м?
2) Масса подвижного блока 2 кг, груза — 18 кг. Какая сила нужна?
3) В полиспасте груз висит на 4 ветвях верёвки (n = 4). Найди силу для подъёма груза 1200 Н и путь конца верёвки при подъёме груза на 0,5 м.

Показать решение

1) F = 400 / 2 = 200 Н; s = 2 · 3 = 6 м.
2) Блок поднимается вместе с грузом: F = (180 + 20) / 2 = 100 Н (а не 90 Н).
3) F = 1200 / 4 = 300 Н; s = 4 · 0,5 = 2 м. В каждом случае F · s = P · h: выигрыша в работе нет.

Наклонная плоскость, «золотое правило» механики и КПД

Вместо того чтобы поднимать груз вертикально на высоту h, его можно втащить по наклонной плоскости длиной l. У всех простых механизмов общий закон: ни один не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии — это «золотое правило» механики.

F · l = P · h, F = P · h / l = P · sin αF · l = P · h, F = P · h / l = P · sin α

где:

Fсила, равномерно втаскивающая груз вдоль плоскости (без трения), Н
l, hдлина и высота наклонной плоскости, м
Pвес груза, P = mg, Н
αугол наклона плоскости к горизонту, sin α = h / l

«Золотое правило» для идеальной (без трения) наклонной плоскости: работа F · l равна работе P · h, нужной для прямого подъёма груза. Чем длиннее (положе) плоскость, тем меньше сила.

Пример 8: «золотое правило»

1) Какая сила нужна, чтобы равномерно втащить груз весом 1000 Н по гладкой наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1 м?
2) Груз массой 60 кг поднимают по гладкой плоскости с углом наклона 30°. Какова сила?
3) Рычагом поднимают груз 500 Н на 4 см, при этом точка приложения силы опускается на 20 см. Какова сила без учёта трения?

Показать решение

1) F = P · h / l = 1000 · 1 / 5 = 200 Н — выигрыш в 5 раз, но путь в 5 раз длиннее.
2) F = mg · sin 30° = 600 · 0,5 = 300 Н.
3) F · 20 = 500 · 4 → F = 100 Н: плечи рычага знать не нужно, достаточно отношения путей.

В реальном механизме есть трение, а у блока, верёвки, рычага — собственный вес. Поэтому затраченная (полная) работа больше полезной работы, нужной для подъёма груза. Качество механизма характеризует коэффициент полезного действия (КПД):

η = A_п / A_з · 100 % = P · h / (F · s) · 100 %η = A_п / A_з · 100 % = P · h / (F · s) · 100 %

где:

ηкоэффициент полезного действия (КПД)
A_пполезная работа: A_п = P · h = mgh, Дж
A_ззатраченная работа: A_з = F · s; s — путь точки приложения силы (на наклонной плоскости l, у подвижного блока 2h), Дж

Всегда η < 100 %: «золотое правило» выполняется только для идеального механизма. При той же полезной работе чем меньше КПД, тем большая сила нужна.

Пример 9: вычисление КПД

1) Груз массой 100 кг равномерно втаскивают силой 400 Н по наклонной плоскости длиной 4 м и высотой 1 м. Найди КПД.
2) Подвижным блоком поднимают груз массой 40 кг на высоту 3 м, к верёвке прикладывают силу 250 Н. Каков КПД?

Показать решение

1) A_п = mgh = 1000 · 1 = 1000 Дж; A_з = F · l = 400 · 4 = 1600 Дж; η = 1000 / 1600 · 100 % = 62,5 %.
2) A_п = 400 · 3 = 1200 Дж; конец верёвки проходит 2 · 3 = 6 м: A_з = 250 · 6 = 1500 Дж; η = 1200 / 1500 · 100 % = 80 %. Если взять s = h, получится η = 160 % — это невозможно и выдаёт ошибку.

Пример 10 (кодируемое задание): сила по КПД

Груз массой 30 кг поднимают на высоту 1,5 м по наклонной плоскости с КПД 75 %. Длина плоскости 5 м. Вычислите в ньютонах силу, с которой груз равномерно тянут вдоль плоскости (g = 10 м/с²).

Показать решение

A_п = mgh = 300 · 1,5 = 450 Дж.
A_з = A_п / η = 450 / 0,75 = 600 Дж.
F = A_з / l = 600 / 5 = 120 Н.
В бланк ответов записывается: 120.

Проверь себя

1.Момент силы 25 Н с плечом 0,4 м равен Н · м.
2.Плечи рычага 0,3 м и 0,9 м; груз 90 Н на коротком плече уравновешивает сила Н на длинном.
3.Чтобы поднять груз весом 300 Н подвижным блоком, нужна сила Н.
4.Если полезная работа 300 Дж, а затраченная 400 Дж, КПД равен %.

Главное

Момент силы M = F · d; плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.
Условия равновесия: ΣF = 0 и ΣM = 0; для рычага F₁ · d₁ = F₂ · d₂.
В устойчивом равновесии центр тяжести в самом низком положении, в неустойчивом — в самом высоком, в безразличном его высота не меняется.
Неподвижный блок лишь меняет направление силы; подвижный даёт выигрыш в силе в 2 раза, но путь верёвки вдвое больше.
«Золотое правило»: простой механизм не даёт выигрыша в работе (F · s = P · h); КПД η = A_п / A_з · 100 % всегда меньше 100 %.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какова единица момента силы в СИ?