Единицы физических величин: связь между разделами

В этом уроке ты узнаешь

Выводить единицу любой величины из её определяющей формулы и выражать через основные единицы СИ
Узнавать равносильные записи единиц (Вб = В · с = Гн · А = Тл · м²) и величину, которую определяет выражение
Проверять формулу по единицам и находить показатели степеней методом размерностей
Решать короткие задачи, объединяющие два раздела (электричество + механика, ток + теплота)

В одном из заданий по физике на вступительном экзамене 2026 года спрашивалось, какие из данных выражений являются единицами магнитного потока. Такие вопросы решаются не памятью, а формулами: любую единицу можно за минуту вывести из одной-двух формул. В сборнике тестов DİM эта тема называется «Bölmələr arasında genetik əlaqə» (генетическая связь между разделами): единицы связывают механику, электричество и магнетизм. В уроке «Что такое физика? Измерения и единицы СИ» ты познакомился с семью основными единицами; здесь ты построишь из них остальные, научишься проверять формулы по единицам и решать задачи, объединяющие два раздела.

Основные и производные единицы

В СИ семь основных единиц: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), ампер (А), кельвин (К), моль и кандела (кд). Остальные единицы — производные: их получают из формулы, определяющей величину. Запись [X] означает «единица величины X»: например, [F] = Н.

1
Выбери формулу
Возьми формулу, связывающую величину с величинами, единицы которых уже известны, — обычно определяющую формулу (например, B = F / (I · l)).
2
Подставь единицы
Замени каждую величину её единицей; числовые множители (½, 2, π) отбрось — у них нет единиц.
3
Упрости
При необходимости раскрой единицы вроде Н, Дж, В и упрости до основных единиц.
4
Проверь
Другая формула должна дать ту же единицу: например, Вб и из Φ = B · S, и из ε = ΔΦ / Δt.

Единицы механики

1 Н = 1 кг · м/с², 1 Дж = 1 Н · м = 1 кг · м²/с², 1 Вт = 1 Дж/с = 1 кг · м²/с³, 1 Па = 1 Н/м² = 1 кг/(м · с²)1 Н = 1 кг · м/с², 1 Дж = 1 Н · м = 1 кг · м²/с², 1 Вт = 1 Дж/с = 1 кг · м²/с³, 1 Па = 1 Н/м² = 1 кг/(м · с²)

где:

Нньютон — из F = m · a
Джджоуль (работа и энергия) — из A = F · s
Втватт (мощность) — из N = A / t
Папаскаль (давление) — из p = F / S

Эти четыре единицы — основа остальных: электрические единицы начинаются с джоуля и ватта.

Пример 1: раскрываем механические единицы

1) Вырази единицу жёсткости пружины через основные единицы СИ.
2) Покажи, что единица импульса равна Н · с.
3) Сколько джоулей в 1 кВт · ч?

Показать решение

1) k = F / Δl → Н/м = (кг · м/с²) / м = кг/с².
2) p = m · v → кг · м/с; Н · с = (кг · м/с²) · с = кг · м/с — одно и то же (это соответствует F · Δt = Δp).
3) 1 кВт · ч = 1000 Вт · 3600 с = 3,6 · 10⁶ Дж — в этих единицах считает электросчётчик.

Пример 2 (закрытое задание): что равно джоулю

Какие выражения равны джоулю?
I. Н · м II. Вт/с III. Па · м³
A) только I B) I и II C) I и III D) II и III E) I, II, III

Показать решение

I — A = F · s: Н · м = Дж ✓.
II — Вт/с = (Дж/с)/с = Дж/с² ✗ (джоуль — это Вт · с, а не Вт/с).
III — Па · м³ = (Н/м²) · м³ = Н · м = Дж ✓ (работа газа A = p · ΔV).
Ответ: C (I и III).

Единицы электричества и магнетизма

Электрические единицы строятся цепочкой, которая начинается с ампера (основной единицы), джоуля и ватта. На каждом шаге используется одна определяющая формула: q = I · t, U = A / q, R = U / I, C = q / U.

1 Кл = 1 А · с, 1 В = 1 Дж/Кл = 1 Вт/А, 1 Ом = 1 В/А, 1 Ф = 1 Кл/В1 Кл = 1 А · с, 1 В = 1 Дж/Кл = 1 Вт/А, 1 Ом = 1 В/А, 1 Ф = 1 Кл/В

где:

Клкулон (электрический заряд) — q = I · t
Ввольт (напряжение, потенциал, ЭДС) — U = A / q или U = P / I
Омом (сопротивление) — R = U / I
Ффарад (электроёмкость) — C = q / U

Вольт получается двумя путями — джоуль на кулон или ватт на ампер — с одним результатом.

Пример 3: электрические единицы через основные

1) Вырази вольт через основные единицы СИ.
2) Вырази ом через основные единицы.
3) Какова единица произведения Ом · Ф? Какой величиной является R · C?

Показать решение

1) В = Вт/А = (кг · м²/с³) / А = кг · м²/(А · с³).
2) Ом = В/А = кг · м²/(А² · с³).
3) Ом · Ф = (В/А) · (Кл/В) = Кл/А = (А · с)/А = с: R · C — это время, оно характеризует быстроту разрядки конденсатора.

1 Тл = 1 Н/(А · м), 1 Вб = 1 Тл · м² = 1 В · с, 1 Гн = 1 Вб/А = 1 Ом · с1 Тл = 1 Н/(А · м), 1 Вб = 1 Тл · м² = 1 В · с, 1 Гн = 1 Вб/А = 1 Ом · с

где:

Тлтесла (магнитная индукция) — из силы Ампера, B = F / (I · l)
Вбвебер (магнитный поток) — Φ = B · S; из ε = ΔΦ / Δt следует Вб = В · с
Гнгенри (индуктивность) — L = Φ / I; из ε = L · ΔI / Δt следует Гн = В · с/А = Ом · с

Все магнитные единицы следуют из силы Ампера и закона электромагнитной индукции: зная вебер, легко получить теслу и генри.

Пример 4: магнитные единицы

1) Вырази теслу через основные единицы СИ.
2) Покажи двумя формулами, что Вб = В · с.
3) Какова единица выражения L / R?

Показать решение

1) Тл = Н/(А · м) = (кг · м/с²) / (А · м) = кг/(А · с²).
2) Φ = B · S: Тл · м² = Н · м/А = Дж/А = (В · Кл)/А = В · А · с / А = В · с. Другой путь: ε = ΔΦ / Δt → Φ = ε · Δt → В · с ✓.
3) Гн/Ом = (Ом · с)/Ом = с — L / R тоже время (быстрота нарастания тока в катушке).

Величина	Формула	Единица	Равносильные выражения	Через основные единицы СИ
Электрический заряд	q = I · t	Кл	А · с = Ф · В	А · с
Напряжение	U = A / q	В	Дж/Кл = Вт/А = Ом · А	кг · м²/(А · с³)
Сопротивление	R = U / I	Ом	В/А = Вт/А² = В²/Вт	кг · м²/(А² · с³)
Электроёмкость	C = q / U	Ф	Кл/В = с/Ом	А² · с⁴/(кг · м²)
Магнитная индукция	B = F / (I · l)	Тл	Н/(А · м) = Вб/м² = В · с/м²	кг/(А · с²)
Магнитный поток	Φ = B · S	Вб	Тл · м² = В · с = Гн · А	кг · м²/(А · с²)
Индуктивность	L = Φ / I	Гн	Вб/А = Ом · с = Дж/А²	кг · м²/(А² · с²)

Одну и ту же единицу можно записать по-разному — именно это проверяет DİM. Следи за степенями: Вб/м², А², с³.

Пример 5 (закрытое задание): какую величину определяет выражение?

Какая физическая величина определяется выражением q² / (2W) (q — заряд конденсатора, W — энергия его электрического поля)?
A) напряжение B) электроёмкость C) напряжённость поля D) индуктивность E) сопротивление

Показать решение

Энергия конденсатора W = q² / (2C) → C = q² / (2W): это электроёмкость (B).
Проверка по единицам: Кл²/Дж = Кл²/(В · Кл) = Кл/В = Ф ✓.
Так же: U²/R → В²/Ом = В · А = Вт — мощность; √(L · C) → √(Ом · с · с/Ом) = с — время (формула Томсона).

Пример 6 (кодируемое задание): соответствие

Установите соответствие между единицей и равносильным ей выражением.
1. Вб 2. Тл 3. Гн
a) В · с/А b) В · с c) Н/(А · м) d) В/м e) Кл/В

Показать решение

1. Вб = В · с → b.
2. Тл = Н/(А · м) → c.
3. Гн = Вб/А = В · с/А → a.
d) В/м — единица напряжённости поля, e) Кл/В — электроёмкости (лишние варианты).
В бланк ответов записывается: 1-b; 2-c; 3-a.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Проверь каждое выражение формулой: например, В · А = Вт, потому что P = U · I.

Проверка формулы по единицам

Единицы помогают и находить ошибки. Верная формула подчиняется трём правилам:

Обе части равенства должны иметь одну и ту же единицу.
Складывать и вычитать можно только величины с одинаковыми единицами: v₀ + at — это м/с + м/с.
Аргумент sin, cos, показателя степени и логарифма должен быть безразмерным: ωt — число (радианы).

Проверка по единицам не ловит неверный числовой множитель (½, 2π): v = gh её не проходит, а v = √(gh) проходит, хотя множитель неверен (правильно √(2gh)).

Пример 7: проверь формулу и найди показатели

1) Проверь по единицам формулу v = √(2gh).
2) Ученик записал для равноускоренного движения s = v₀t + at/2. Найди ошибку с помощью единиц.
3) Период математического маятника зависит только от l и g: T ~ lᵃ · gᵇ. Найди a и b.

Показать решение

1) √(м/с² · м) = √(м²/с²) = м/с ✓.
2) v₀t → м/с · с = м, а at/2 → м/с² · с = м/с ≠ м: второе слагаемое неверно (должно быть at²/2).
3) с = мᵃ · (м/с²)ᵇ = мᵃ⁺ᵇ · с⁻²ᵇ. Для секунд −2b = 1 → b = −½; для метров a + b = 0 → a = ½. Значит, T ~ √(l/g) — точная формула T = 2π√(l/g), множитель 2π единицы не дают.

Задачи на связь разделов

Иногда DİM объединяет в одном задании два раздела: заряженный шарик, висящий в электрическом поле (механика + электростатика), нагревание воды током (работа тока + количество теплоты). Способ всегда один: запиши формулу каждого раздела отдельно, приравняй общую величину — силу или энергию — и в конце проверь единицу.

q · E = m · g, η · P · t = c · m · Δt

где:

q · E = m · gравновесие заряженного тела в электрическом поле: электрическая сила уравновешивает силу тяжести (E — напряжённость поля, Н/Кл = В/м)
η · P · t = c · m · Δtтепловой баланс нагревателя: доля η энергии, выделенной при мощности P за время t, нагревает воду на Δt

Проверка единиц: Кл · Н/Кл = Н и Вт · с = Дж — обе части совпадают.

Пример 8: заряженный шарик в электрическом поле

Заряженный шарик массой 0,2 г висит в равновесии в однородном электрическом поле напряжённостью 4 · 10⁴ В/м, направленном вертикально вниз. Найди заряд шарика и число избыточных электронов на нём (e = 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл, g = 10 м/с²).

Показать решение

Равновесие: q · E = m · g → q = m · g / E = 2 · 10⁻⁴ · 10 / (4 · 10⁴) = 5 · 10⁻⁸ Кл.
Проверка единиц: [q] = кг · (м/с²) / (В/м) = Н/(Н/Кл) = Кл ✓.
Число избыточных электронов: N = q / e = 5 · 10⁻⁸ / (1,6 · 10⁻¹⁹) ≈ 3,1 · 10¹¹. Шарик заряжен отрицательно, поэтому электрическая сила направлена против поля — вверх.

Пример 9 (кодируемое задание): электрический чайник

Электрический чайник мощностью 2 кВт с КПД 84 % нагревает 1,5 кг воды от 20 °C до 100 °C. Вычислите необходимое время в секундах (c = 4200 Дж/(кг · °C)).

Показать решение

Теплота для воды: Q = c · m · Δt = 4200 · 1,5 · 80 = 504 000 Дж.
η · P · t = Q → t = Q / (η · P) = 504 000 / (0,84 · 2000) = 300 с.
Проверка единиц: Дж / Вт = Дж / (Дж/с) = с ✓.
В бланк ответов записывается: 300.

Впиши единицу

1.1 Вб = 1 В ·
2.1 Тл = 1 Н/(А · )
3.1 Ф = 1 Кл /
4.1 Гн = 1 Ом ·

Главное

Производная единица получается из определяющей формулы величины: [B] = Н/(А · м) = Тл.
Главные равенства: Дж = Н · м = Вт · с = В · Кл; В = Вт/А; Вб = Тл · м² = В · с = Гн · А; Гн = Ом · с.
Чтобы узнать, какую величину определяет выражение, вырази её из известной формулы: q²/(2W) = C, U²/R = P.
Обе части формулы и все слагаемые должны иметь одну единицу; проверка по единицам не выявляет числовых множителей.
В задаче на связь разделов приравнивай общую величину (силу или энергию): qE = mg, ηPt = cmΔt.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какая единица НЕ является основной единицей СИ?