Уравнения Максвелла и электромагнитные волны

В этом уроке ты узнаешь

Записывать четыре уравнения Максвелла в интегральной форме и объяснять их смысл
Рассчитывать симметричные поля с помощью законов Гаусса и Ампера
Понимать роль тока смещения
Вычислять скорость и поля электромагнитной волны

В 1860-х годах Джеймс Клерк Максвелл объединил все известные законы электричества и магнетизма в четыре уравнения и сделал из них поразительный вывод: должны существовать электромагнитные волны, распространяющиеся в пустоте со скоростью света. Значит, сам свет — электромагнитная волна. В конце 1880-х годов Генрих Герц получил такие волны на опыте. Радио, Wi-Fi, мобильная связь и рентгеновские лучи — всё это решения уравнений Максвелла.

Поток и циркуляция

Уравнения Максвелла записываются с помощью двух видов интегралов. Поток через замкнутую поверхность S, ∮ E · dA, — это «число» силовых линий, выходящих из поверхности (dA направлен по внешней нормали). Циркуляция по замкнутому контуру C, ∮ E · dl, показывает, насколько поле «закручено» вдоль контура; для поля E это работа по перемещению единичного заряда по контуру.

Четыре уравнения

∮ E · dA = Q_внутр / ε₀∮ E · dA = Q_внутр / ε₀

где:

Q_внутрполный заряд внутри замкнутой поверхности, в Кл
ε₀электрическая постоянная, 8,85 · 10⁻¹² Ф/м
Eнапряжённость электрического поля (вектор), в В/м
dAэлемент поверхности — модуль равен площади, направлен по внешней нормали, в м²

I. Теорема Гаусса: заряды — источники электрического поля.

∮ B · dA = 0

где:

Bмагнитная индукция (вектор), в Тл
∮ … dAинтеграл по любой замкнутой поверхности

II. Теорема Гаусса для магнитного поля: магнитных зарядов (монополей) нет, линии B замкнуты.

∮ E · dl = −dΦ_B / dt∮ E · dl = −dΦ_B / dt

где:

Φ_Bмагнитный поток через поверхность, натянутую на контур, в Вб
dlэлемент замкнутого контура (вектор), в м; левая часть — ЭДС в контуре, в В

III. Закон Фарадея: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

∮ B · dl = μ₀ · (I + ε₀ · dΦ_E / dt)∮ B · dl = μ₀ · (I + ε₀ · dΦ_E / dt)

где:

μ₀магнитная постоянная, 4π · 10⁻⁷ Гн/м
Iток проводимости через контур, в А
ε₀ · dΦ_E / dtε₀ · dΦ_E / dtток смещения Максвелла, в А

IV. Закон Ампера — Максвелла: токи и переменное электрическое поле порождают вихревое магнитное поле.

С помощью теорем Стокса и Гаусса — Остроградского уравнения переводят в дифференциальную форму: ∇ · E = ρ/ε₀, ∇ · B = 0, ∇ × E = −∂B/∂t, ∇ × B = μ₀j + μ₀ε₀ ∂E/∂t. Интегральная форма удобна для симметричных задач, дифференциальная — для анализа волн и численных расчётов.

Используем симметрию: Гаусс и Ампер

Пример 1: точечный заряд и заряженная плоскость

а) Выведите из теоремы Гаусса поле точечного заряда. б) Найдите поле бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ = 1 мкКл/м².

Показать решение

а) Возьмём в качестве поверхности Гаусса сферу радиусом r: по симметрии E на ней всюду одинаково и направлено радиально. E · 4πr² = q/ε₀ → E = q / (4πε₀r²) = kq/r² — закон Кулона.
б) Поверхность Гаусса — цилиндр («коробочка»), пересекающий плоскость, с основаниями площадью S. Поток идёт только через два основания: 2ES = σS/ε₀ → E = σ / (2ε₀).
E = 10⁻⁶ / (2 · 8,85 · 10⁻¹²) ≈ 5,6 · 10⁴ В/м — не зависит от расстояния!

Пример 2: магнитное поле прямого провода

По длинному прямому проводу идёт ток 10 А. Найдите магнитную индукцию на расстоянии 5 см от провода.

Показать решение

Контур — окружность радиусом r вокруг провода; по симметрии B направлено по касательной и постоянно по модулю. При постоянном токе dΦ_E/dt = 0.
B · 2πr = μ₀I → B = μ₀I / (2πr) = 4π · 10⁻⁷ · 10 / (2π · 0,05) = 4 · 10⁻⁵ Тл.
Это сравнимо с магнитным полем Земли — поэтому компас «чувствует» ток в соседнем проводе.

Ток смещения

Представьте заряжающийся конденсатор и контур вокруг провода. Если поверхность, натянутая на контур, пересекает провод, закон Ампера даёт μ₀I; если поверхность с тем же контуром проходит между обкладками, заряд через неё не течёт и результат равен нулю — противоречие! Максвелл показал, что между обкладками меняется поток электрического поля и слагаемое ε₀ · dΦ_E/dt в точности равно I. Этот «ток смещения» — не движение зарядов, но магнитное поле он создаёт так же, как ток проводимости.

Пример 3: внутри конденсатора

Плоский конденсатор с площадью обкладок 0,01 м² заряжается током 2 А. С какой скоростью растёт электрическое поле между обкладками?

Показать решение

E = q / (ε₀A), поэтому Φ_E = E · A = q/ε₀ и ε₀ · dΦ_E/dt = dq/dt = I — ток смещения равен 2 А.
dE/dt = I / (ε₀A) = 2 / (8,85 · 10⁻¹² · 0,01) ≈ 2,3 · 10¹³ В/(м · с).

Электромагнитные волны

В пустоте (ρ = 0, j = 0) рассмотрим плоскую волну, бегущую вдоль x: E = E_y(x, t), B = B_z(x, t). Закон Фарадея для малого прямоугольника в плоскости xy даёт ∂E_y/∂x = −∂B_z/∂t; закон Ампера — Максвелла для прямоугольника в плоскости xz даёт −∂B_z/∂x = μ₀ε₀ ∂E_y/∂t. Продифференцировав первое по x, второе по t и исключив B, получим волновое уравнение.

∂²E/∂x² = μ₀ε₀ · ∂²E/∂t², c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3,0 · 10⁸ м/с, E = c · B∂²E/∂x² = μ₀ε₀ · ∂²E/∂t², c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3,0 · 10⁸ м/с, E = c · B

где:

cскорость электромагнитной волны в вакууме — скорость света
E, Bмгновенные значения полей; E ⊥ B ⊥ направление распространения, колеблются в фазе

Интенсивность волны: I = c · ε₀ · E₀² / 2 (Вт/м²).

Пример 4: скорость света и поле солнечного света

а) Вычислите c по μ₀ и ε₀. б) За пределами атмосферы интенсивность солнечного света около 1360 Вт/м². Найдите амплитуды E₀ и B₀.

Показать решение

а) c = 1 / √(4π · 10⁻⁷ · 8,85 · 10⁻¹²) ≈ 3,0 · 10⁸ м/с — это измеренная скорость света!
б) E₀ = √(2I / (cε₀)) = √(2 · 1360 / (3 · 10⁸ · 8,85 · 10⁻¹²)) ≈ 1,0 · 10³ В/м.
B₀ = E₀ / c ≈ 3,4 · 10⁻⁶ Тл.

Интерактив

Загрузка симуляции…

График показывает поле E волны; поле B колеблется в фазе с ним в перпендикулярной плоскости. В вакууме λ · ν = c при любой частоте.

Главное

∮ E · dA = Q_внутр/ε₀ и ∮ B · dA = 0: источники E — заряды, магнитных монополей нет.
∮ E · dl = −dΦ_B/dt: переменное магнитное поле порождает электрическое.
∮ B · dl = μ₀(I + ε₀ dΦ_E/dt): ток смещения дополняет закон Ампера.
В вакууме поля подчиняются волновому уравнению; c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3 · 10⁸ м/с, E = cB.
Симметричные случаи: точечный заряд E = kq/r², плоскость E = σ/(2ε₀), прямой провод B = μ₀I/(2πr).

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Внутри замкнутой поверхности находятся заряды +3 нКл и −1 нКл. Каков поток электрического поля через неё?