Потенциал электростатического поля и разность потенциалов

Воробей садится на провод высоковольтной линии, и с ним ничего не происходит, а человек, стоящий на земле, коснувшись того же провода, рискует жизнью. Разницу объясняет слово «напряжение»: обе лапки птицы находятся практически при одном потенциале, а рука и ноги человека — нет. В уроке «Электрический заряд, закон Кулона и электрическое поле» мы описывали поле через силу — напряжённость. Теперь опишем его через энергию: работа поля, потенциал и разность потенциалов. Это вторая половина главы сборника тестов DİM «Электрический заряд. Электрическое поле»; кроме расчётов здесь часто спрашивают графики φ(r) и E(r), эквипотенциальные поверхности и утверждения I–II–III.

Работа электрического поля

Поместим положительный заряд q в однородное поле между обкладками плоского конденсатора. На него действует постоянная сила F = q · E. Когда заряд смещается вдоль силовой линии на расстояние d, поле совершает работу A = F · d = q · E · d. Если заряд проходит путь s под углом α к силовым линиям, работа равна A = F · s · cos α, а s · cos α — проекция перемещения на направление силовых линий. Значит, в однородном поле учитывается только расстояние, пройденное вдоль силовых линий, — так же как в работе силы тяжести важно только изменение высоты.

Теперь перенесём заряд из точки 1 в точку 2 по прямой, по ломаной или по кривой. Разобьём путь на очень малые ступеньки: на ступеньках, перпендикулярных силовым линиям, работа равна нулю, а ступеньки вдоль линий в сумме всегда дают одну и ту же проекцию d. Поэтому работа поля не зависит от формы траектории — только от положения начальной и конечной точек. Для поля точечного заряда вывод тот же: работа совершается на радиальных ступеньках, а на дугах окружностей вокруг заряда — нет. Отсюда важное следствие: если заряд обошёл замкнутую траекторию и вернулся в начальную точку, полная работа поля равна нулю.

Потенциальная энергия и потенциал

Так как работа поля не зависит от траектории, каждому положению заряда в поле соответствует определённая потенциальная энергия Wp — как энергия m · g · h в поле силы тяжести. Положительная работа поля уменьшает потенциальную энергию: как падающий камень, свободный положительный заряд движется туда, где его потенциальная энергия меньше. Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают условно; для точечных зарядов обычно — бесконечно удалённую точку.

Потенциальная энергия прямо пропорциональна заряду q₀, внесённому в поле: увеличишь заряд в 2 раза — энергия тоже увеличится в 2 раза. Поэтому отношение Wp / q₀ уже не зависит от этого заряда и характеризует только данную точку поля — это потенциал. Напряжённость — силовая характеристика поля, потенциал — энергетическая. Напряжённость — вектор, потенциал — скаляр: у него есть знак, но нет направления.

В поле нескольких зарядов каждый заряд создаёт свой потенциал, а результирующий потенциал равен их алгебраической сумме — складываются числа со знаками, а не векторы. Это намного проще, чем искать напряжённость: направления рисовать не нужно.

Разность потенциалов, электронвольт и эквипотенциальные поверхности

На практике важен не сам потенциал, а разность потенциалов двух точек, потому что именно от неё зависит работа поля: A = Wp₁ − Wp₂ = q · φ₁ − q · φ₂ = q · (φ₁ − φ₂). Разность потенциалов называют также напряжением и обозначают U. В цепи напряжение измеряют вольтметром, а в электростатике — электрометром: его корпус заземляют, стержень соединяют с телом, и отклонение стрелки показывает, насколько потенциал тела отличается от потенциала Земли (его обычно принимают равным нулю).

В физике атома и элементарных частиц энергии очень малы, поэтому вместо джоуля используют электронвольт (эВ): энергию, которую электрон получает от поля, пройдя разность потенциалов 1 В. Для больших энергий берут кэВ (10³ эВ), МэВ (10⁶ эВ) и ГэВ (10⁹ эВ).

Для однородного поля у нас есть два выражения работы: A = q · E · d и A = q · U. Приравняв их, получаем связь напряжённости и напряжения. Она объясняет и вторую единицу напряжённости: 1 Н/Кл = 1 В/м. При движении вдоль силовых линий потенциал на каждом метре уменьшается на E вольт.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называют эквипотенциальной поверхностью. При перемещении заряда по такой поверхности U = 0, значит, поле работы не совершает. Это возможно, только если сила перпендикулярна поверхности: силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

• Эквипотенциальные поверхности точечного заряда — концентрические сферы с зарядом в центре (на рисунке — окружности).
• Эквипотенциальные поверхности однородного поля — параллельные плоскости, перпендикулярные силовым линиям.
• Силовые линии направлены в сторону убывания потенциала; где поверхности, проведённые с равным шагом (например, через 10 В), гуще, там поле сильнее.
• Поверхность (и весь объём) проводника эквипотенциальна.

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле

В проводнике (металле) есть свободные электроны. Когда проводник вносят в поле, электроны смещаются, пока результирующее поле внутри проводника не станет в точности равным нулю (электростатическая индукция; см. урок «Электрический заряд, закон Кулона и электрическое поле»). Если бы внутри осталось поле, электроны продолжали бы двигаться. После установления равновесия:

1. Напряжённость поля внутри проводника равна нулю: E = 0.
2. Весь избыточный заряд находится на внешней поверхности проводника; внутренняя поверхность полого шара остаётся незаряженной.
3. Все точки проводника имеют одинаковый потенциал: это эквипотенциальное тело, силовые линии перпендикулярны его поверхности.
4. Заряд гуще скапливается на выпуклых, заострённых участках поверхности — на этом основано действие острия молниеотвода.

Отсюда идея электростатической защиты: внутри металлической коробки или частой металлической сетки (клетки Фарадея) внешнего электростатического поля нет. Чувствительные приборы закрывают металлическими экранами, а люди внутри автомобиля с металлическим кузовом или самолёта защищены при ударе молнии.

В диэлектрике нет свободных зарядов, но поле поляризует его молекулы: полярные молекулы (например, молекулы воды) поворачиваются вдоль поля, а в неполярных молекулах электронные облака немного смещаются. Связанные заряды на поверхностях диэлектрика создают поле, направленное против внешнего, и ослабляют результирующее поле — не до нуля, как в проводнике, а в ε раз.

Движение заряженных частиц в электрическом поле

Электрическое поле может разогнать заряженную частицу или изменить направление её движения — так работают рентгеновская трубка, электронно-лучевая трубка осциллографа и ускорители частиц. Работа поля равна изменению кинетической энергии частицы (теорема о кинетической энергии). Для электронов и протонов сила тяжести в миллиарды раз меньше электрической силы, поэтому её не учитывают.

Пусть теперь частица влетает параллельно пластинам, то есть перпендикулярно силовым линиям, со скоростью v₀. Вдоль пластин на неё не действует сила — в этом направлении движение равномерное: x = v₀ · t. Перпендикулярно пластинам есть постоянное ускорение a = |q| · E / m. Это то же самое, что движение тела, брошенного горизонтально, только вместо g — a; траектория — парабола. Вылетев из пластин, частица движется по прямой.

Две параллельные пластины с равными по модулю и противоположными по знаку зарядами образуют устройство, накапливающее заряд и энергию поля, — конденсатор. Его ёмкость, соединения и энергия — в следующем уроке «Электроёмкость и конденсаторы».