- Составлять уравнение гармонических колебаний и проверять его решение
- Рассчитывать убывание амплитуды по коэффициенту затухания
- Анализировать амплитуду вынужденных колебаний и резонанс
- Находить из волнового уравнения скорость волны и гармоники струны
Груз на пружине, маятник часов, гитарная струна, колебательный контур радиоприёмника и даже атомы в молекуле описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. Разобравшись в нём один раз, вы сможете одинаково рассчитывать десятки явлений — от механики до электроники.
Уравнение гармонических колебаний
На тело массой m на пружине действует сила F = −kx (закон Гука). Второй закон Ньютона даёт m · d²x/dt² = −kx, то есть d²x/dt² + ω₀²x = 0, где ω₀² = k/m. Подставим x(t) = A cos(ω₀t + φ₀): дважды продифференцировав, получим −ω₀²A cos(ω₀t + φ₀), и уравнение выполняется. A и φ₀ находят из начальных условий.
- ω₀собственная циклическая частота, в рад/с
- Aамплитуда, в м
- φ₀начальная фаза, в рад
- kжёсткость пружины, в Н/м
Скорость v = −Aω₀ sin(ω₀t + φ₀), ускорение a = −ω₀²x; полная энергия E = kA²/2 постоянна.
Груз массой 0,5 кг подвешен на пружине жёсткостью 200 Н/м. Его оттягивают на 4 см от положения равновесия и отпускают. Найдите ω₀, T, максимальные скорость и ускорение и полную энергию.
Показать решениеСкрыть решение
vmax = Aω₀ = 0,04 · 20 = 0,8 м/с, amax = ω₀²A = 400 · 0,04 = 16 м/с².
E = kA² / 2 = 200 · 0,04² / 2 = 0,16 Дж.
Проверка: mvmax² / 2 = 0,5 · 0,64 / 2 = 0,16 Дж — энергии совпадают.
Для математического маятника вдоль касательной m · l · d²θ/dt² = −mg sin θ. При малых углах sin θ ≈ θ (в радианах), поэтому d²θ/dt² + (g/l)θ = 0 — снова то же уравнение, ω₀ = √(g/l) и T = 2π√(l/g).
Затухающие колебания
В реальных системах есть сила сопротивления, при малых скоростях F = −b · v. Уравнение принимает вид d²x/dt² + 2β · dx/dt + ω₀²x = 0, где β = b / (2m). При слабом затухании (β < ω₀) решение — косинусоида с экспоненциально убывающей амплитудой. При β = ω₀ наступает критическое затухание: система быстрее всего возвращается в равновесие, не совершая колебаний, — так примерно рассчитывают автомобильные амортизаторы.
- βкоэффициент затухания, в с⁻¹
- ωциклическая частота затухающих колебаний, в рад/с (чуть меньше ω₀)
- Qдобротность: чем она больше, тем слабее затухание
Коэффициент затухания маятника β = 0,1 с⁻¹. Через сколько секунд амплитуда уменьшится вдвое? А энергия?
Показать решениеСкрыть решение
Энергия пропорциональна квадрату амплитуды: E ~ e^(−2βt), поэтому t = ln 2 / (2β) ≈ 3,5 с.
Вынужденные колебания и резонанс
Если на систему действует периодическая сила F₀ cos ωt, то через некоторое время переходный процесс затухает и система колеблется с частотой внешней силы. Подставив x = A cos(ωt − δ) в уравнение d²x/dt² + 2β dx/dt + ω₀²x = (F₀/m) cos ωt и приравняв коэффициенты при cos и sin, получим амплитуду.
- F₀амплитуда внешней силы, в Н
- ωциклическая частота внешней силы, в рад/с
Максимум — при ωрез = √(ω₀² − 2β²) ≈ ω₀; при слабом затухании Amax ≈ F₀ / (2mβω₀), что в Q раз больше статического смещения.
ω₀ = 10 рад/с, β = 0,5 с⁻¹, F₀/m = 2 Н/кг. Найдите амплитуду при ω = ω₀ и при очень медленном воздействии (ω → 0).
Показать решениеСкрыть решение
ω → 0: A = (F₀/m) / ω₀² = 2 / 100 = 0,02 м.
Усиление в 10 раз совпадает с добротностью Q = ω₀ / (2β) = 10.
Волновое уравнение и стоячие волны
Рассмотрим малый участок dx струны с линейной плотностью μ, натянутой силой F. Разность вертикальных составляющих сил натяжения на его концах равна F · (∂²y/∂x²) dx, а масса участка — μ dx. Второй закон Ньютона даёт волновое уравнение. Ему удовлетворяет любая функция f(x − vt) — волна, бегущая со скоростью v без изменения формы.
- Fсила натяжения струны, в Н
- μлинейная плотность (масса единицы длины), в кг/м
- kволновое число, k = 2π/λ, в рад/м
Две одинаковые волны, бегущие навстречу, в сумме дают стоячую волну: y = 2A sin kx · cos ωt. У струны, закреплённой на обоих концах, на концах должны быть узлы, поэтому на длине укладывается целое число полуволн: λₙ = 2L/n и fₙ = n · v / (2L), n = 1, 2, 3, …
Струна длиной 0,65 м натянута силой 70 Н, её линейная плотность 1,0 г/м. Найдите скорость волны, частоту основного тона и второй гармоники.
Показать решениеСкрыть решение
v = √(70 / 10⁻³) ≈ 265 м/с.
f₁ = v / (2L) = 264,6 / 1,3 ≈ 204 Гц, f₂ = 2f₁ ≈ 407 Гц.
Если увеличить натяжение в 4 раза, все частоты вырастут вдвое (на октаву).
Главное
- Гармонические колебания: d²x/dt² + ω₀²x = 0, x = A cos(ω₀t + φ₀); для пружины ω₀ = √(k/m), для маятника √(g/l).
- При затухании амплитуда убывает как e^(−βt) и уменьшается вдвое за ln 2 / β.
- При резонансе амплитуда примерно в Q = ω₀/(2β) раз больше статического смещения.
- Волновое уравнение ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x²; в струне v = √(F/μ), гармоники fₙ = n · v / (2L).
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.