- Находить объёмы и площади поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, в том числе по развёртке конуса и для сферы, описанной около параллелепипеда.
- Определять с помощью признаков и свойств, параллельны, перпендикулярны или скрещиваются прямые и плоскости в пространстве.
- Работать в прямоугольной системе координат в пространстве: расстояния, середины отрезков и симметричные точки.
- С помощью векторов находить углы между прямыми и между прямой и плоскостью и доказывать перпендикулярность.
Длина комнаты 12 м, ширина 4 м, высота 3 м. Муха сидит в углу на полу и летит по прямой в противоположный угол потолка. Какое расстояние она пролетит? Не 12 + 4 + 3 = 19 м и не 12 м: ответ √(12² + 4² + 3²) = 13 м. Стереометрия (立体几何) — это планиметрия с ещё одним измерением; программа CSCA относит её к разделу «Геометрия и алгебра» как «прямоугольная система координат в пространстве и свойства простых тел». В этом уроке ты изучишь объёмы и площади поверхностей простых тел, признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, координаты в пространстве и то, как векторы в пространстве превращают задачи на углы в арифметику. Сами векторы на плоскости — в уроке «Векторы на плоскости», расстояния на плоскости — в уроке «Прямые и окружности на координатной плоскости».
Простые тела: объём и площадь поверхности
У призмы (棱柱) два основания — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы; у прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому боковые грани — прямоугольники (прямоугольный параллелепипед и куб — прямые призмы). У пирамиды (棱锥) одно основание-многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. У правильной пирамиды в основании правильный многоугольник, а вершина проектируется в его центр; высота боковой грани называется апофемой.
Это тела вращения. Цилиндр (圆柱) получается вращением прямоугольника вокруг своей стороны, конус (圆锥) — вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, шар (球) — вращением полукруга вокруг диаметра; поверхность шара называется сферой. Каждый отрезок от вершины конуса до окружности основания — образующая (母线) l; высота h, радиус r и l образуют прямоугольный треугольник: l² = r² + h².
Почему объём пирамиды ровно в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой? Куб можно разрезать на три одинаковые пирамиды с общей вершиной в одной вершине куба; их основания — три грани, не содержащие эту вершину. У каждой основание a² и высота a, вместе они заполняют куб, значит, объём каждой равен a³/3 = ⅓ · a² · a. Тот же множитель ⅓ превращает цилиндр в конус.
- Sплощадь основания
- hвысота — расстояние по перпендикуляру между основаниями (призма, цилиндр) или от вершины до основания (пирамида, конус)
- rрадиус основания
- Rрадиус шара
Призма и цилиндр: основание × высота; пирамида и конус: треть от этого. Высота — всегда расстояние по перпендикуляру, а не наклонное ребро.
1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы 10. Найди её объём.
2) У правильной четырёхугольной пирамиды сторона основания 8, апофема 5. Найди высоту и объём.
3) Образующая конуса 13, радиус основания 5. Найди объём.
Показать решениеСкрыть решение
2) Высота, половина стороны основания и апофема образуют прямоугольный треугольник: h = √(5² − 4²) = 3; V = ⅓ · 8² · 3 = 64.
3) h = √(13² − 5²) = 12, V = ⅓ · π · 5² · 12 = 100π.
- r, hрадиус основания и высота
- lобразующая конуса, l² = r² + h²
- Rрадиус сферы
Разверни боковую поверхность: у цилиндра получится прямоугольник 2πr × h, у конуса — сектор радиуса l с дугой длины 2πr, его центральный угол равен 360° · r/l. У призмы и пирамиды просто сложи площади всех граней.
1) Найди площадь полной поверхности цилиндра с r = 2 и h = 5.
2) Найди площади боковой и полной поверхности конуса с r = 3 и h = 4.
3) Боковая поверхность конуса развёртывается в сектор с центральным углом 120° и радиусом 6. Найди радиус основания и площадь боковой поверхности.
4) Площадь сферы равна 36π. Найди объём шара.
Показать решениеСкрыть решение
2) l = √(3² + 4²) = 5; боковая поверхность π · 3 · 5 = 15π, полная 9π + 15π = 24π.
3) Дуга сектора равна длине окружности основания: 2π · 6 · (120°/360°) = 4π = 2πr, значит, r = 2; боковая поверхность πrl = π · 2 · 6 = 12π.
4) 4πR² = 36π ⇒ R = 3; V = 4π · 27/3 = 36π.
Шар вписан в цилиндр: он касается обоих оснований и боковой поверхности. Каково отношение объёма шара к объёму цилиндра?
A) 1 : 3 B) 2 : 3 C) 4 : 3 D) 3 : 2
Показать решениеСкрыть решение
A — отношение конуса к цилиндру с тем же основанием и высотой. C берёт высоту цилиндра равной R, а не 2R. D — обратное отношение (цилиндр : шар).
Прямые и плоскости в пространстве
На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве есть третья возможность, и именно из неё возникает большинство ловушек CSCA по этой теме. Лучшая модель — рёбра куба: в кубе ABCD-A₁B₁C₁D₁ нижняя грань — ABCD, верхняя — A₁B₁C₁D₁, а AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ — вертикальные рёбра.
Скрещивающиеся прямые (异面直线) не пересекаются и не параллельны, поэтому не существует плоскости, содержащей обе; в кубе AB и CC₁ скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми находят, параллельно перенося одну из них до пересечения с другой; он лежит в пределах 0° < θ ≤ 90°.
Прямая перпендикулярна плоскости (线面垂直), если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на плоскость (0° ≤ θ ≤ 90°).
На практике «любую прямую» никто не проверяет. Признаки (判定定理) в таблице сводят каждое отношение к одной-двум прямым, а свойства (性质定理) говорят, чем можно пользоваться, когда отношение уже известно.
| Отношение | Признак (как доказать) | Свойство (что следует) |
|---|---|---|
| Прямая ∥ плоскость | прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости | плоскость, проходящая через прямую, пересекает данную плоскость по прямой, параллельной ей |
| Плоскость ∥ плоскость | две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости | третья плоскость пересекает их по параллельным прямым |
| Прямая ⊥ плоскость | прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости | она перпендикулярна любой прямой плоскости; две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны |
| Плоскость ⊥ плоскость | одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости | прямая одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости |
В кубе ABCD-A₁B₁C₁D₁:
1) Назови рёбра, скрещивающиеся с AB.
2) Докажи, что BD ⊥ AC₁.
3) Параллельна ли прямая A₁B плоскости DCC₁D₁?
Показать решениеСкрыть решение
2) BD ⊥ AC (диагонали квадрата) и BD ⊥ AA₁ (AA₁ перпендикулярно основанию). AC и AA₁ пересекаются, значит, BD ⊥ плоскости ACC₁A₁, поэтому BD перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе AC₁.
3) A₁B ∥ D₁C (A₁BCD₁ — прямоугольник); D₁C лежит в плоскости DCC₁D₁, а A₁B — нет, значит, да, A₁B ∥ плоскости DCC₁D₁.
m и n — две различные прямые, α и β — две различные плоскости. Какое утверждение верно?
A) Если m ∥ α и n ∥ α, то m ∥ n.
B) Если α ⊥ β и m ⊂ α, то m ⊥ β.
C) Если m ⊥ n и n ⊂ α, то m ⊥ α.
D) Если m ⊥ α и n ⊥ α, то m ∥ n.
Показать решениеСкрыть решение
A: в кубе AB и AD обе параллельны верхней грани, но пересекаются. B: плоскости β перпендикулярны лишь те прямые α, которые перпендикулярны линии пересечения; AB лежит в грани ABB₁A₁, перпендикулярной основанию, но AB основанию не перпендикулярна. C: одной прямой мало, признак требует двух пересекающихся.
Прямоугольная система координат в пространстве
Три попарно перпендикулярные числовые оси с общим началом O образуют прямоугольную систему координат в пространстве (空间直角坐标系) Oxyz. Она правая: если пальцы правой руки поворачивают от оси x к оси y, большой палец указывает направление оси z. У точки P три координаты: P(x; y; z). Три координатные плоскости — xOy (z = 0), yOz (x = 0) и xOz (y = 0); проекция точки P(x; y; z) на плоскость xOy — точка (x; y; 0).
- A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂)две точки
- Mсередина отрезка AB
- |OP|расстояние от точки P(x; y; z) до начала координат
Формулы из урока «Прямые и окружности на координатной плоскости» с третьим слагаемым. Расстояние от P(x; y; z) до оси z равно √(x² + y²), до плоскости xOy — |z|.
1) Найди |AB| и середину отрезка AB для A(−1; 2; 0) и B(3; 0; 4).
2) P(2; −3; 6). Найди расстояние от неё до начала координат, до оси z и до плоскости xOy.
3) Найди точку оси x, равноудалённую от A(2; 1; 3) и B(4; 3; −1).
Показать решениеСкрыть решение
2) |OP| = √(4 + 9 + 36) = 7; до оси z √(4 + 9) = √13; до плоскости xOy |z| = 6.
3) Пусть P(x; 0; 0): (x − 2)² + 1 + 9 = (x − 4)² + 9 + 1 ⇒ −4x + 4 = −8x + 16 ⇒ x = 3, значит, P(3; 0; 0); проверка: |PA|² = |PB|² = 11.
- a, b, cрёбра прямоугольного параллелепипеда
- dдиагональ параллелепипеда
- Rрадиус описанной сферы (外接球)
- rрадиус шара, вписанного в куб (内切球)
Помести параллелепипед в координаты так, чтобы одна вершина была в O: противоположная вершина — (a; b; c), значит, d = |OP| — снова формула расстояния. Центр описанной сферы — середина диагонали.
1) Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 6. Найди его диагональ и площадь сферы, проходящей через все его вершины.
2) Площадь сферы, описанной около куба, равна 12π. Найди объём куба.
3) В куб с ребром 2 вписан шар. Найди объём шара и отношение объёмов шара и куба.
Показать решениеСкрыть решение
2) 4πR² = 12π ⇒ R = √3, d = 2√3 = a√3 ⇒ a = 2, V = 8.
3) r = 1, V = 4π/3; отношение (4π/3) : 8 = π : 6.
Точку P(1; −2; 3) отражают относительно координатной плоскости xOz. Каковы координаты полученной точки?
A) (1; 2; 3) B) (−1; 2; −3) C) (1; 2; −3) D) (−1; −2; 3)
Показать решениеСкрыть решение
B — симметрия относительно начала координат, C — относительно оси x, D — относительно плоскости yOz.
Векторы в пространстве: углы и перпендикулярность
Чтобы доказать перпендикулярность по признакам, нужен хороший чертёж, а координатам нужна только арифметика. У вектора в пространстве три координаты: для A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) — из координат конца вычитают координаты начала. Сложение, умножение на число и скалярное произведение работают так же, как в уроке «Векторы на плоскости», только координат на одну больше. В кубе на рисунке A — начало координат, AB, AD и AA₁ идут по осям x, y и z.
- a = (x₁; y₁; z₁), b = (x₂; y₂; z₂)векторы в пространстве (空间向量)
- ⟨a, b⟩угол между векторами, от 0° до 180°
- λчисло
Для двух прямых с направляющими векторами a и b угол θ лежит от 0° до 90°: cos θ = |a · b| / (|a| · |b|). У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
1) a = (1; 2; −2), b = (2; −1; 2). Найди косинус угла между векторами и между прямыми с такими направлениями.
2) При каком k векторы a = (2; −1; 3) и b = (k; 4; 2) перпендикулярны? При каком m вектор (−2; 4; m) коллинеарен (1; −2; 3)?
3) В кубе с ребром 1 (как на рисунке) найди угол между скрещивающимися прямыми A₁B и B₁C.
Показать решениеСкрыть решение
2) 2k − 4 + 6 = 0 ⇒ k = −1. (−2; 4; m) = −2 · (1; −2; 3) ⇒ m = −6.
3) A₁(0; 0; 1), B(1; 0; 0), B₁(1; 0; 1), C(1; 1; 0): A₁B = (1; 0; −1), B₁C = (0; 1; −1). cos θ = 1/(√2 · √2) = 1/2 ⇒ θ = 60°.
- aнаправляющий вектор прямой
- nвектор нормали (法向量) плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости
- θугол между прямой и плоскостью (0° ≤ θ ≤ 90°)
Угол между a и n равен 90° − θ, поэтому в формуле sin, а не cos. У координатных плоскостей простые нормали: n = (0; 0; 1) для xOy, (1; 0; 0) для yOz и (0; 1; 0) для xOz.
1) В кубе с ребром 1 найди угол между диагональю AC₁ и основанием ABCD.
2) Покажи, что AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD.
3) Прямая, проходящая через A(1; 0; 0) и B(3; 2; 1), образует с плоскостью xOy угол θ. Найди sin θ.
Показать решениеСкрыть решение
2) A₁B = (1; 0; −1), A₁D = (0; 1; −1): AC₁ · A₁B = 1 + 0 − 1 = 0 и AC₁ · A₁D = 0 + 1 − 1 = 0. AC₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, значит, AC₁ ⊥ плоскости A₁BD.
3) AB = (2; 2; 1), |AB| = 3, n = (0; 0; 1): sin θ = 1/3.
- 1Выбери оси
Помести начало в вершину, где сходятся три перпендикулярных ребра (угол куба или параллелепипеда, основание ребра пирамиды, перпендикулярного основанию).
- 2Запиши координаты
Прочитай их по длинам рёбер; для середины отрезка возьми среднее координат.
- 3Построй векторы
Направляющие векторы прямых: конец минус начало; для координатной плоскости возьми её нормаль, например (0; 0; 1).
- 4Примени нужную формулу
Две прямые: cos θ = |a · b|/(|a||b|); прямая и плоскость: sin θ = |a · n|/(|a||n|); перпендикулярность: скалярное произведение 0.
- 5Проверь промежуток
Угол между прямыми или между прямой и плоскостью лежит от 0° до 90°; отрицательный косинус означает, что нужно взять модуль.
В прямоугольном параллелепипеде ABCD-A₁B₁C₁D₁ AB = 2, AD = 1, AA₁ = 2. Чему равен косинус угла между прямыми AD₁ и A₁B?
A) −√10/5 B) √15/5 C) √10/5 D) 2√5/5
Показать решениеСкрыть решение
A забывает модуль: угол между прямыми не бывает тупым. B — синус, а не косинус. D берёт |A₁B| = 2 вместо 2√2.
Как CSCA спрашивает эту тему
Вопросы по стереометрии короткие: одно тело, заданное двумя-тремя числами, набор утверждений о прямых и плоскостях или куб, помещённый в систему координат. Выучи основные термины на английском и китайском:
| Термин (по-английски) | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| solid geometry | 立体几何 | lìtǐ jǐhé |
| prism | 棱柱 | léngzhù |
| pyramid | 棱锥 | léngzhuī |
| cylinder | 圆柱 | yuánzhù |
| cone | 圆锥 | yuánzhuī |
| sphere, ball | 球 | qiú |
| cube / rectangular box | 正方体 / 长方体 | zhèngfāngtǐ / chángfāngtǐ |
| surface area | 表面积 | biǎomiànjī |
| volume | 体积 | tǐjī |
| slant height (generatrix) | 母线 | mǔxiàn |
| skew lines | 异面直线 | yìmiàn zhíxiàn |
| line perpendicular to a plane | 线面垂直 | xiànmiàn chuízhí |
| rectangular coordinate system in space | 空间直角坐标系 | kōngjiān zhíjiǎo zuòbiāoxì |
| normal vector | 法向量 | fǎxiàngliàng |
| circumscribed sphere | 外接球 | wàijiēqiú |
Типичные виды вопросов и способы сэкономить время (около 75 с на вопрос):
- Объём и площадь по двум числам: сначала найди недостающую длину по теореме Пифагора (l² = r² + h², высота правильной пирамиды по апофеме или боковому ребру), потом применяй формулу; не забывай ⅓ для «острых» тел.
- Развёртка конуса и переплавка: дуга сектора равна 2πr, его радиус равен l; при переплавке сохраняется объём.
- Сферы и параллелепипеды: 2R = √(a² + b² + c²); для куба 2R = a√3, у вписанного шара r = a/2; длины × k — объём × k³.
- «Какое утверждение верно» о прямых и плоскостях: проверяй каждое утверждение на кубе или на углу комнаты; одного контрпримера достаточно, чтобы его отбросить.
- Координаты и углы: формулы расстояния и середины, симметричные точки (названное остаётся); в задачах на углы помести куб или параллелепипед в координаты: |cos| для двух прямых, sin с вектором нормали для прямой и плоскости, скалярное произведение 0 для перпендикулярности.
Главное
- V = Sh для призмы и цилиндра, V = ⅓Sh для пирамиды и конуса, V = 4πR³/3 и S = 4πR² для шара; боковая поверхность конуса πrl, где l² = r² + h².
- Развёртка конуса — сектор радиуса l с дугой 2πr (центральный угол 360° · r/l); при умножении длин на k площади умножаются на k², объёмы — на k³.
- В пространстве прямые могут скрещиваться; прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
- |AB| = √(Δx² + Δy² + Δz²); диагональ параллелепипеда √(a² + b² + c²) — диаметр сферы, проходящей через его вершины.
- Угол между прямыми: cos θ = |a · b|/(|a||b|); прямая и плоскость: sin θ = |a · n|/(|a||n|); у перпендикулярных векторов a · b = 0.
Проверь себя
Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.
Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин
Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.