Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Средний25 мин19 / 68

Комплексные числа

Комплексные числа для CSCA: мнимая единица i, алгебраическая форма a + bi, действительная и мнимая части, чисто мнимые числа и равенство, комплексная плоскость и четверти, сопряжённое число и модуль, четыре действия и степени i — быстро и без калькулятора.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Определять действительную и мнимую части и находить параметры из условий «действительное», «чисто мнимое» и равенства
  • Складывать, вычитать, умножать и делить в алгебраической форме (деление через сопряжённое)
  • Находить сопряжённое число и модуль, определять положение числа на комплексной плоскости (четверть, ось, расстояние)
  • Упрощать степени i и суммы степеней с помощью цикла из четырёх

У уравнения x² + 1 = 0 нет действительных решений: не существует действительного числа, квадрат которого равен −1. Математики просто добавили число, которое это умеет, — i, для которого i² = −1, — и получили систему чисел, в которой у каждого квадратного уравнения есть корни; инженеры каждый день описывают с её помощью переменный ток и сигналы. В программе CSCA комплексные числа вместе с уроком «Векторы на плоскости» составляют строку «Векторы и комплексные числа», и проверяются только основы: алгебраическая форма, комплексная плоскость и четыре действия. Если знаешь несколько правил из этого урока, типичное задание — две строки алгебры.

Мнимая единица и алгебраическая форма

Определение
Мнимая единица (虚数单位)

Число i, для которого i² = −1. С ним существуют квадратные корни из отрицательных чисел: √(−4) = 2i, а уравнение x² = −9 имеет два корня ±3i. Правила алгебры (раскрытие скобок, подобные слагаемые, формулы сокращённого умножения) работают как прежде — только i² заменяют на −1.

Определение
Комплексное число (复数)

Число z = a + bi, где a и b действительные (алгебраическая форма). a — действительная часть, Re z, b — мнимая часть, Im z: это действительное число, оно пишется без i: Im(3 − 4i) = −4. Все комплексные числа образуют множество C, и каждое действительное число — комплексное с b = 0: R ⊂ C.

z = a + bi (a, b ∈ R): действительное ⇔ b = 0; мнимое ⇔ b ≠ 0; чисто мнимое ⇔ a = 0 и b ≠ 0 a + bi = c + di ⇔ a = c и b = d
где:
  • a = Re zдействительная часть
  • b = Im zмнимая часть — действительное число, пишется без i
  • a = c, b = dодно комплексное равенство даёт два действительных уравнения

В китайских учебниках: 实数 (b = 0), 虚数 (b ≠ 0), 纯虚数 (a = 0, b ≠ 0). Внимание: во многих англоязычных книгах «imaginary number» — только число вида bi, а в китайском смысле 3 + 2i уже 虚数. Комплексные числа могут быть равны или не равны, но, если они не оба действительные, сравнивать их знаками < и > нельзя.

ЧислоRe zIm zВид
550действительное
3 − 4i3−4мнимое (не чисто мнимое)
−2i0−2чисто мнимое
i²−10действительное
000действительное — не чисто мнимое!
У чисто мнимого числа обязательно b ≠ 0: ноль чисто мнимым не является.
Пример 1: действительное, чисто мнимое, равенство

1) z = (m² − 4) + (m + 2)i, m ∈ R. При каком m число z действительное? Чисто мнимое?
2) Найдите действительные x и y, если (x + y) + (x − 2y)i = 5 − i.

Показать решение
1) Действительное: m + 2 = 0 ⇒ m = −2. Чисто мнимое: m² − 4 = 0 и m + 2 ≠ 0. Из m² = 4 получаем m = ±2, но при m = −2 z = 0 ⇒ только m = 2 (z = 4i).
2) Приравняем части: x + y = 5 и x − 2y = −1. Вычтем из первого второе: 3y = 6 ⇒ y = 2, x = 3.
Пример 2 (формат CSCA): чисто мнимое число

Комплексное число z = (a² − a − 2) + (a + 1)i, a ∈ R, чисто мнимое. Чему равно a?
A) −1 B) 2 C) −1 или 2 D) −2

Показать решение
a² − a − 2 = (a − 2)(a + 1) = 0 ⇒ a = 2 или a = −1. Условие a + 1 ≠ 0 исключает a = −1 (тогда z = 0) ⇒ ответ B.
C — классическая ловушка: забыто условие b ≠ 0. A — как раз то значение, при котором z = 0; D — ошибка в знаке при разложении на множители.

Комплексная плоскость, сопряжённое число и модуль

Каждому комплексному числу z = a + bi соответствуют точка Z(a; b) плоскости и вектор OZ⃗ из начала координат. Горизонтальная ось — действительная ось, вертикальная — мнимая ось; все точки мнимой оси, кроме O, — чисто мнимые числа. Сложить комплексные числа — значит сложить их векторы (правило параллелограмма из урока «Векторы на плоскости»), поэтому |z₁ − z₂| — расстояние между двумя точками.

z = a + bi ↔ Z(a; b) ↔ OZ⃗ z̄ = a − bi |z| = |OZ⃗| = √(a² + b²) |z₁ − z₂| = |Z₁Z₂|
где:
  • z̄сопряжённое число (共轭复数): точка, симметричная относительно действительной оси
  • |z|модуль (模): расстояние от O до Z; |z̄| = |z|
  • |z₁ − z₂|расстояние между точками чисел z₁ и z₂

Четверти: I — a > 0, b > 0; II — a < 0, b > 0; III — a < 0, b < 0; IV — a > 0, b < 0. Число на оси не лежит ни в одной четверти.

z = 2 + 3iz̄ = 2 − 3i|z|O23−3действительная осьмнимая осьIIIIIIIV
z и z̄ симметричны относительно действительной оси, и модули у них одинаковые: |z| = |z̄| = √13.
Пример 3: точки, сопряжённые числа и модули

1) В каких четвертях лежат точки чисел z₁ = −3 + 2i, z₂ = 4 − i и z₃ = −5i?
2) z = −6 + 8i. Найдите z̄, |z| и |z̄|.
3) Найдите расстояние между точками чисел z₁ = 1 + 2i и z₂ = 4 − 2i.

Показать решение
1) z₁ ↔ (−3; 2): II четверть; z₂ ↔ (4; −1): IV четверть; z₃ ↔ (0; −5): лежит на мнимой оси, ни в одной четверти.
2) z̄ = −6 − 8i, |z| = √(36 + 64) = 10, |z̄| = 10.
3) |z₁ − z₂| = |−3 + 4i| = √(9 + 16) = 5.
Пример 4: параметр и окружность

1) При каких действительных m точка числа z = (m − 3) + (m + 1)i лежит во II четверти?
2) Какое множество точек задаёт условие |z − 2i| = 3?

Показать решение
1) II четверть: действительная часть < 0, мнимая часть > 0: m − 3 < 0 и m + 1 > 0 ⇒ −1 < m < 3.
2) |z − 2i| — расстояние от точки Z до точки (0; 2), значит, точки удалены от неё на 3: окружность с центром (0; 2) и радиусом 3.

Четыре действия

Сложение и вычитание выполняются по частям, точно как с векторами: z₁ + z₂ — диагональ параллелограмма, построенного на OZ₁⃗ и OZ₂⃗. Умножение — обычное раскрытие скобок плюс одна замена i² = −1. Для деления нужен приём, ведь i не должно оставаться в знаменателе: числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю, потому что (c + di)(c − di) = c² + d² — действительное число.

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (a + bi)(a − bi) = a² + b²
где:
  • ±сложение и вычитание: действительные части отдельно, мнимые отдельно
  • ac − bdумножение: раскрываем скобки, как у двучленов, bi · di = bd · i² = −bd
  • z · z̄ = a² + b²= |z|² — всегда неотрицательное действительное число

Квадраты, которые стоит помнить: (a + bi)² = (a² − b²) + 2abi, (1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i.

Пример 5: сложение и умножение

Вычислите:
1) (3 − 2i) − (1 − 5i) + (−4 + i)
2) (2 + 3i)(1 − 4i)
3) (3 + 2i)² и (2 − i)(2 + i)

Показать решение
1) Действительные части: 3 − 1 − 4 = −2; мнимые: −2 + 5 + 1 = 4 ⇒ −2 + 4i.
2) 2 − 8i + 3i − 12i² = 2 + 12 − 5i = 14 − 5i.
3) (3 + 2i)² = 9 + 12i + 4i² = 5 + 12i; (2 − i)(2 + i) = 4 − i² = 5 — действительное число, как и всякое z · z̄.
(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / ((c + di)(c − di)) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / ((c + di)(c − di)) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)
где:
  • c − diчисло, сопряжённое знаменателю
  • c² + d²действительный знаменатель: |c + di|²

Умножение на сопряжённое делает знаменатель действительным — как избавление от корня в знаменателе. Модули ведут себя просто: |z₁z₂| = |z₁| · |z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|.

  1. 1
    Запиши сопряжённое

    Запиши число, сопряжённое знаменателю: c + di → c − di.

  2. 2
    Умножь

    Умножь на него и числитель, и знаменатель.

  3. 3
    Знаменатель

    Знаменатель становится c² + d² — положительным действительным числом.

  4. 4
    Числитель

    Раскрой скобки, замени i² на −1, собери действительную и мнимую части.

  5. 5
    Ответь на вопрос

    Раздели обе части на c² + d² и прочитай то, что спрашивают: часть, сопряжённое, модуль или четверть.

Пример 6: деление

1) (5 + i)/(1 + i)
2) 10/(3 − i)
3) z(2 − i) = 5i. Найдите z и z̄.

Показать решение
1) (5 + i)(1 − i)/((1 + i)(1 − i)) = (5 − 5i + i − i²)/2 = (6 − 4i)/2 = 3 − 2i.
2) 10(3 + i)/(9 + 1) = 3 + i.
3) z = 5i/(2 − i) = 5i(2 + i)/5 = 2i + i² = −1 + 2i, z̄ = −1 − 2i. Проверка: (−1 + 2i)(2 − i) = −2 + i + 4i − 2i² = 5i ✓.
Пример 7 (формат CSCA): модуль без деления

z = (3 + i)/(1 − 2i). Чему равен |z|?
A) √2 B) 2 C) √10 D) √50

Показать решение
Быстрый путь: |z| = |3 + i|/|1 − 2i| = √10/√5 = √2 ⇒ ответ A. Делением: z = (3 + i)(1 + 2i)/5 = (1 + 7i)/5, |z| = √50/5 = √2 — то же самое.
B — это |z|², в C забыт модуль знаменателя, D — модуль числителя 1 + 7i до деления на 5.
Пример 8 (формат CSCA): четверть сопряжённого числа

z = 2i/(1 + i). В какой четверти комплексной плоскости лежит точка числа z̄?
A) I B) II C) III D) IV

Показать решение
z = 2i(1 − i)/2 = i − i² = 1 + i, значит, z̄ = 1 − i ↔ (1; −1): IV четверть, ответ D.
A — четверть самого z, а спрашивают про z̄. B и C получаются из-за ошибок в знаке при i² = −1.

Степени i и квадратные уравнения

Так как i⁴ = 1, степени i каждые четыре шага возвращаются на прежнее место, как стрелка часов. Поэтому любую степень можно свести к i⁰, i¹, i² или i³, разделив показатель на 4, — любимое однострочное задание CSCA. Так же считают степени 1 + i и 1 − i: сначала возводят в квадрат, ведь (1 ± i)² = ±2i.

i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 i⁴ᵏ⁺ʳ = iʳ iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0
где:
  • rостаток от деления n на 4 (0, 1, 2, 3); i⁰ = 1
  • kцелое число

Степени идут по кругу i → −1 → −i → 1 с периодом 4, поэтому сумма четырёх последовательных степеней всегда равна 0. Так же с отрицательными показателями: i⁻¹ = −i, i⁻² = −1.

Пример 9: степени i

Вычислите:
1) i³⁷, i⁵⁰ и i⁻³
2) i + i² + i³ + … + i¹⁰
3) (1 + i)⁸ и ((1 − i)/(1 + i))²⁰²⁶

Показать решение
1) 37 = 4 · 9 + 1 ⇒ i³⁷ = i; 50 = 4 · 12 + 2 ⇒ i⁵⁰ = −1; i⁻³ = i⁻³⁺⁴ = i (проверка: i · i³ = i⁴ = 1 ✓).
2) Первые 8 слагаемых — две четвёрки с суммой 0; i⁹ + i¹⁰ = i − 1 ⇒ −1 + i.
3) (1 + i)⁸ = ((1 + i)²)⁴ = (2i)⁴ = 16i⁴ = 16. (1 − i)/(1 + i) = −i, (−i)²⁰²⁶ = i²⁰²⁶ (чётная степень), 2026 = 4 · 506 + 2 ⇒ −1.
ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R), D = b² − 4ac < 0: x₁,₂ = (−b ± i√(−D)) / (2a)ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R), D = b² − 4ac < 0: x₁,₂ = (−b ± i√(−D)) / (2a)
где:
  • Dдискриминант; при D < 0 действительных корней нет, но есть два сопряжённых комплексных корня
  • √(−D)обычный квадратный корень, ведь −D > 0

Теорема Виета по-прежнему верна: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. Если a + bi — корень уравнения с действительными коэффициентами, то и a − bi — его корень.

Пример 10: уравнения с комплексными корнями

1) Решите уравнение x² − 4x + 13 = 0.
2) Число 1 + i — корень уравнения x² + px + q = 0 с действительными p и q. Найдите p и q.

Показать решение
1) D = 16 − 52 = −36, √(−D) = 6: x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i. Проверка по Виету: сумма 4, произведение 4 + 9 = 13 ✓.
2) Второй корень — сопряжённое число 1 − i. Сумма 2 = −p ⇒ p = −2; произведение (1 + i)(1 − i) = 2 = q ⇒ q = 2.

Как CSCA спрашивает эту тему

В тесте CSCA по математике 48 вопросов на 60 минут — около 75 секунд на каждый, а на задание о комплексных числах можно тратить и меньше. Типичные виды:

  • упростить произведение или частное, затем назвать действительную или мнимую часть, сопряжённое, модуль или четверть;
  • параметр: z действительное, чисто мнимое или его точка лежит в данной четверти;
  • уравнения относительно z (z, умноженное на выражение, z вместе с z̄) и равенство двух комплексных чисел;
  • степени i и суммы последовательных степеней;
  • комплексная плоскость: расстояние |z₁ − z₂| и простые множества вида |z − z₀| = r;
  • корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и D < 0 — сопряжённая пара.
Термин (по-английски)中文Pinyin
комплексное число — complex number复数fùshù
мнимая единица — imaginary unit虚数单位xūshù dānwèi
действительная / мнимая часть — real part / imaginary part实部 / 虚部shíbù / xūbù
действительное / мнимое число — real number / imaginary number实数 / 虚数shíshù / xūshù
чисто мнимое число — pure imaginary number纯虚数chún xūshù
алгебраическая форма — algebraic form代数形式dàishù xíngshì
равенство комплексных чисел — equality of complex numbers复数相等fùshù xiāngděng
сопряжённое число — conjugate complex number共轭复数gòng'è fùshù
модуль — modulus模mó
комплексная плоскость — complex plane复平面fù píngmiàn
действительная / мнимая ось — real axis / imaginary axis实轴 / 虚轴shízhóu / xūzhóu
четверть — quadrant象限xiàngxiàn
четыре арифметических действия — four arithmetic operations四则运算sìzé yùnsuàn
Тест сдают на английском или китайском — узнавай термины на обоих языках.

Главное

  • i² = −1; z = a + bi: Re z = a, Im z = b (действительное число, без i).
  • Действительное ⇔ b = 0; чисто мнимое ⇔ a = 0 и b ≠ 0; a + bi = c + di ⇔ a = c и b = d.
  • z ↔ Z(a; b) ↔ OZ⃗; z̄ = a − bi симметрично z относительно действительной оси; |z| = √(a² + b²), |z₁ − z₂| — расстояние.
  • Умножай как двучлены и заменяй i² на −1; при делении умножай числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю; z · z̄ = |z|².
  • iⁿ повторяется с периодом 4 (i, −1, −i, 1); сумма четырёх последовательных степеней равна 0; (1 ± i)² = ±2i.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Чему равна мнимая часть числа z = (2 − 3i)i?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест