- Формулировать условие возникновения индукционного тока и вычислять ЭДС по E = nΔΦ/Δt и E = BLv.
- Находить направление индукционного тока по правилу Ленца и правилу правой руки.
- Решать задачи о стержне на рельсах: ток, сила Ампера, установившаяся скорость и теплота.
- Качественно объяснять самоиндукцию и применять Eₘ = nBSω и U₁/U₂ = n₁/n₂ к генераторам и трансформаторам.
Потряси фонарик с магнитом внутри — и он светит без батареек; положи телефон на беспроводную зарядку — и аккумулятор заряжается без кабеля. Оба основаны на открытии Майкла Фарадея 1831 года: изменяющееся магнитное поле порождает электрический ток. В уроке «Магнитное поле: сила Ампера и сила Лоренца» на ток в поле действовала сила; здесь, наоборот, движение и меняющееся поле создают ток. Почти каждое задание CSCA по этой теме спрашивает о двух вещах: как быстро меняется поток (величина ЭДС) и в какую сторону (направление тока).
Условие индукции и закон Фарадея
Вспомним магнитный поток из предыдущего урока: Φ = BS cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру; 1 Вб (вебер) = 1 Тл · м². Грубо говоря, Φ считает линии индукции, пронизывающие контур. В китайских учебниках ЭДС обозначают E, во многих английских — ε; это одна и та же величина.
Возникновение ЭДС в контуре при изменении магнитного потока через него. Если контур замкнут, ЭДС создаёт индукционный ток. Условие: замкнутый контур и изменяющийся поток; сильное, но постоянное поле тока не создаёт.
- Меняется B: магнит приближают к катушке или удаляют; в соседней катушке включают или выключают ток.
- Меняется S: стержень скользит по рельсам, и контур растёт или уменьшается; контур входит в область поля или выходит из неё.
- Меняется θ: катушка вращается в поле — так работает генератор.
Тока нет: контур движется целиком внутри однородного поля без поворота (Φ не меняется, хотя провода «пересекают» линии индукции); контур вращается вокруг оси, параллельной B; цепь разомкнута — ЭДС есть, а тока нет.
Замкнутая прямоугольная проволочная рамка находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном её плоскости. В каком случае в рамке возникает ток?
A) Рамка движется вправо, не выходя из поля.
B) Рамка движется вдоль линий индукции, перпендикулярно своей плоскости.
C) Рамку поворачивают вокруг одной из её сторон.
D) Рамка покоится, поле не меняется.
Показать решениеСкрыть решение
- EЭДС индукции (среднее значение за Δt), В
- nчисло витков
- ΔΦ = Φ₂ − Φ₁изменение потока через один виток, Вб
- Δtвремя изменения, с
Закон Фарадея (法拉第电磁感应定律): ЭДС пропорциональна скорости изменения потока, а не самому потоку (1 Вб/с = 1 В). На графике Φ(t) ЭДС равна наклону графика.
1) Катушка из 100 витков площадью 0,02 м² перпендикулярна полю, индукция которого равномерно растёт от 0,1 Тл до 0,5 Тл за 0,2 с. Найдите ЭДС.
2) Квадратная катушка из 20 витков со стороной 0,1 м перпендикулярна полю 0,6 Тл; за 0,05 с её поворачивают на 90°, и её плоскость становится параллельной B. Найдите среднюю ЭДС.
3) Поток через один виток равномерно растёт от 0 до 0,03 Вб за первые 0,3 с, а затем не меняется. Найдите ЭДС на обоих интервалах.
Показать решениеСкрыть решение
2) Φ₁ = BS = 0,6 · 0,01 = 6 · 10⁻³ Вб, Φ₂ = 0; E = 20 · 6 · 10⁻³/0,05 = 2,4 В.
3) ЭДС — наклон графика Φ(t): 0,03/0,3 = 0,1 В на интервале 0–0,3 с и 0 после, когда Φ велик, но постоянен.
Направление: правило Ленца, правило правой руки и E = BLv
Индукционный ток всегда направлен так, что его собственное магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, которое его вызвало. Он тормозит (阻碍) изменение, но не может его остановить.
Правило Ленца — это закон сохранения энергии: если бы индукционный ток помогал изменению, вдвигаемый в катушку магнит втягивался бы всё быстрее и энергия бралась бы из ничего. Поэтому приближающийся магнит отталкивается, удаляющийся притягивается (удерживается), а совершённая тобой работа превращается в электрическую энергию.
- 1Исходное поле
Куда направлено исходное поле B сквозь контур, и растёт поток или убывает?
- 2Поле индукционного тока
Поток растёт → поле индукционного тока направлено против B; поток убывает → так же, как B.
- 3Ток
Правило буравчика (обхвата правой рукой, 安培定则): большой палец — вдоль поля индукционного тока внутри контура, согнутые пальцы показывают ток.
- 4Проверка
Приближающийся магнит → отталкивание; удаляющийся → притяжение. Если по твоему ответу магнит разгоняется, где-то ошибка в направлении.
Северный полюс полосового магнита быстро приближают к лёгкому алюминиевому кольцу, висящему на нити; магнит движется вдоль оси кольца. Какое утверждение верно, если смотреть со стороны магнита?
A) Индукционный ток идёт по часовой стрелке, кольцо притягивается.
B) Индукционный ток идёт против часовой стрелки, кольцо отталкивается.
C) Индукционный ток идёт по часовой стрелке, кольцо отталкивается.
D) Ток не возникает, потому что алюминий не магнитный.
Показать решениеСкрыть решение
增反减同 поле индукционного тока направлено к магниту: ближняя сторона кольца становится северным полюсом, и кольцо отталкивается (来拒). Поле, направленное к наблюдателю, создаёт ток против часовой стрелки → B. A забывает об отталкивании; C применяет правило буравчика наоборот; D заманчив, но индукционный ток возникает в любом проводнике — магнитные свойства металла не важны.Когда прямой проводник движется поперёк поля, сила Лоренца гонит его свободные заряды вдоль проводника, и сам проводник становится источником ЭДС. Для стержня длиной L, движущегося со скоростью v, когда B, L и v взаимно перпендикулярны:
- Bмагнитная индукция, Тл
- Lдлина стержня в поле (перпендикулярно v), м
- vскорость стержня, м/с
- αугол между v и B: важна только составляющая v, перпендикулярная B
Направление — по правилу правой руки (右手定则): линии индукции входят в ладонь, большой палец — по v, четыре пальца показывают ток в стержне. Стержень — источник, поэтому пальцы указывают на его конец с более высоким потенциалом (внутри источника ток идёт от − к +).
1) Стержень длиной 0,4 м движется со скоростью 5 м/с перпендикулярно полю 0,5 Тл. Найдите ЭДС.
2) Тот же стержень движется со скоростью 5 м/с под углом 30° к линиям индукции. Найдите ЭДС.
3) Самолёт с размахом крыльев 40 м летит горизонтально со скоростью 250 м/с там, где вертикальная составляющая поля Земли 5 · 10⁻⁵ Тл. Найдите ЭДС между концами крыльев.
Показать решениеСкрыть решение
2) Важна только составляющая скорости, перпендикулярная B: E = BLv sin 30° = 1 · 0,5 = 0,5 В.
3) Горизонтальные крылья в горизонтальном полёте пересекают только вертикальную составляющую: E = 5 · 10⁻⁵ · 40 · 250 = 0,5 В. Тока в крыле нет (цепь не замкнута), но потенциалы концов крыльев различны.
Стержень на рельсах: сила, установившаяся скорость и теплота
Любимая схема CSCA: два гладких параллельных рельса на расстоянии L соединены резистором R; поперёк них лежит стержень сопротивлением r; однородное поле B перпендикулярно плоскости рельсов. Движущийся стержень — источник. На ток в нём действует сила Ампера (см. урок «Магнитное поле: сила Ампера и сила Лоренца»), и по правилу Ленца она всегда тормозит стержень.
- R, rвнешнее сопротивление и сопротивление стержня, Ом
- FAсила Ампера (安培力), действующая на стержень, направлена против v, Н
- Fпостоянная тянущая сила (на вертикальных рельсах F = mg, на наклонных F = mg sin θ), Н
- vmaxустановившаяся (максимальная) скорость, при которой F = FA, м/с
Тормозящая сила растёт со скоростью, поэтому ускорение стержня уменьшается, пока силы не уравновесятся; дальше стержень движется равномерно со скоростью vmax.
Энергия: работа против силы Ампера переходит в электрическую энергию, а затем в теплоту. При установившейся скорости тянущая сила даёт ровно электрическую мощность: Fvmax = I²(R + r). Если стержень сам скользит до остановки, вся его кинетическая энергия переходит в теплоту и делится между R и r в отношении R : r (ток одинаковый, цепь последовательная).
Расстояние между рельсами L = 0,5 м, B = 0,4 Тл, R = 0,3 Ом, сопротивление стержня r = 0,1 Ом, трения нет.
1) Стержень движется со скоростью 4 м/с. Найдите силу тока, силу Ампера и напряжение между рельсами.
2) Постоянная сила 0,2 Н тянет стержень из состояния покоя. Найдите установившуюся скорость.
3) При скорости 4 м/с тянущую силу убирают, и стержень (масса 0,1 кг) скользит до остановки. Сколько теплоты выделится в R?
Показать решениеСкрыть решение
2) vmax = F(R + r)/(B²L²) = 0,2 · 0,4/(0,16 · 0,25) = 2 м/с. Проверка: при 2 м/с I = 1 А и FA = 0,2 Н = F.
3) Вся энергия ½mv² = ½ · 0,1 · 16 = 0,8 Дж переходит в теплоту; на R приходится доля R/(R + r) = 3/4: 0,6 Дж.
Горизонтальный стержень массой 0,02 кг и длиной 0,5 м без трения скользит вниз по двум длинным вертикальным рельсам, соединённым сверху резистором 2 Ом; остальными сопротивлениями пренебречь. Однородное горизонтальное поле 0,4 Тл перпендикулярно плоскости рельсов (g = 10 м/с²). Какова максимальная скорость стержня?
A) 2 м/с B) 2,5 м/с C) 5 м/с D) 10 м/с
Показать решениеСкрыть решение
Самоиндукция, генератор переменного тока и трансформатор
Когда ток в катушке меняется, меняется и её собственный магнитный поток, и в той же катушке возникает ЭДС, препятствующая изменению тока. При замыкании лампа, включённая последовательно с катушкой, загорается постепенно; при размыкании катушка стремится поддержать ток, поэтому лампа, включённая параллельно ей, может вспыхнуть перед тем, как погаснуть, а в ключе может проскочить искра. Эффект сильнее при большом числе витков и стальном сердечнике (больше индуктивность L, единица — генри, Гн).
Катушка из n витков площадью S, вращающаяся с угловой скоростью ω в однородном поле B, даёт переменную ЭДС. Отсчитаем время от нейтральной плоскости (中性面), где катушка перпендикулярна B: поток здесь максимален, но меняется медленнее всего, поэтому ЭДС равна нулю. Через четверть оборота плоскость катушки параллельна B: поток равен нулю, но меняется быстрее всего, и ЭДС максимальна.
- eмгновенное значение ЭДС, В
- Eₘмаксимальное (амплитудное) значение ЭДС, В
- ω = 2πfугловая скорость катушки, рад/с (f — частота, Гц)
- Eдействующее значение (有效值), В
Время отсчитывается от нейтральной плоскости. В китайской бытовой сети 220 В, 50 Гц: 220 В — действующее значение, а амплитуда равна 220√2 ≈ 311 В.
Катушка из 100 витков площадью 0,02 м² вращается с ω = 50 рад/с в поле 0,2 Тл; при t = 0 она в нейтральной плоскости.
1) Найдите максимальную ЭДС и запишите e(t).
2) Скорость вращения увеличили вдвое. Как изменятся максимальная ЭДС и частота?
3) Найдите действующее значение ЭДС из пункта 1).
Показать решениеСкрыть решение
2) Eₘ ∝ ω и f = ω/2π: обе величины удваиваются (амплитуда 40 В).
3) E = Eₘ/√2 = 20/√2 = 10√2 В ≈ 14 В.
Трансформатор — это две катушки на одном стальном сердечнике. Переменный ток в первичной обмотке создаёт переменный магнитный поток, который пронизывает и вторичную обмотку и наводит в ней ЭДС. На каждый виток обеих обмоток приходится одно и то же ΔΦ/Δt, поэтому напряжения относятся как числа витков. При постоянном токе поток не меняется, и на вторичной обмотке напряжения нет вовсе.
- U₁, n₁напряжение и число витков первичной обмотки (原线圈)
- U₂, n₂то же для вторичной обмотки (副线圈)
- I₁, I₂силы тока в первичной и вторичной обмотках
Идеальный трансформатор (без потерь): входная мощность = выходной, поэтому повышение напряжения означает уменьшение тока. Всё решает нагрузка: ток первичной обмотки определяется тем, что подключено ко вторичной.
У трансформатора 1100 витков в первичной обмотке и 50 во вторичной; первичная обмотка подключена к сети переменного тока 220 В.
1) Найдите напряжение на вторичной обмотке.
2) Ко вторичной обмотке подключили резистор 10 Ом. Найдите силу тока во вторичной и в первичной обмотках.
3) Первичную обмотку вместо сети подключили к аккумулятору 12 В. Каково напряжение на вторичной обмотке?
Показать решениеСкрыть решение
2) I₂ = 10/10 = 1 А; P₁ = P₂ = 10 Вт ⇒ I₁ = 10/220 = 1/22 А ≈ 0,045 А (то же, что I₂n₂/n₁).
3) 0 В: аккумулятор даёт постоянный ток, поток в сердечнике не меняется, и ничего не наводится.
Идеальный трансформатор понижает 220 В до 11 В и питает лампу с маркировкой «11 В, 22 Вт», которая горит нормально. Каковы отношение чисел витков n₁ : n₂ и ток в первичной обмотке?
A) 20 : 1 и 0,1 А B) 20 : 1 и 2 А C) 1 : 20 и 0,1 А D) 20 : 1 и 40 А
Показать решениеСкрыть решение
Как CSCA спрашивает об этом
Тест сдают на английском или китайском, поэтому научись узнавать ключевые термины на обоих языках:
| Термин (по-английски) | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| электромагнитная индукция — electromagnetic induction | 电磁感应 | diàncí gǎnyìng |
| магнитный поток — magnetic flux | 磁通量 | cítōngliàng |
| индукционный ток — induced current | 感应电流 | gǎnyìng diànliú |
| ЭДС индукции — induced electromotive force | 感应电动势 | gǎnyìng diàndòngshì |
| закон Фарадея — Faraday's law | 法拉第电磁感应定律 | Fǎlādì diàncí gǎnyìng dìnglǜ |
| правило Ленца — Lenz's law | 楞次定律 | Léngcì dìnglǜ |
| правило правой руки — right-hand rule | 右手定则 | yòushǒu dìngzé |
| сила Ампера — Ampère force | 安培力 | ānpéilì |
| самоиндукция — self-induction | 自感 | zìgǎn |
| переменный ток — alternating current | 交变电流 | jiāobiàn diànliú |
| нейтральная плоскость — neutral plane | 中性面 | zhōngxìngmiàn |
| действующее значение — effective (rms) value | 有效值 | yǒuxiàozhí |
| трансформатор — transformer | 变压器 | biànyāqì |
| первичная / вторичная обмотка — primary / secondary coil | 原线圈 / 副线圈 | yuán xiànquān / fù xiànquān |
- «В каком случае возникает ток?» — проверяй только, меняется ли Φ (B, S или θ); само движение ничего не доказывает.
- Направление (магнит и кольцо или катушка, включение тока в соседнем контуре):
增反减同,来拒去留— около 15 секунд. - График B(t) или Φ(t): ЭДС — это наклон; на горизонтальном участке ЭДС равна нулю, даже если B велико; равные по модулю наклоны разного знака — равные ЭДС противоположного направления.
- Стержень на рельсах: E = BLv, I = E/(R + r), FA = B²L²v/(R + r); установившаяся скорость — из условия «сила = сила Ампера», теплота — из закона сохранения энергии.
- Генератор и трансформатор: Eₘ = nBSω, нейтральная плоскость ↔ нулевая ЭДС; U₁/U₂ = n₁/n₂, P₁ = P₂, от аккумулятора на вторичной обмотке 0 В.
Главное
- Для индукционного тока нужны замкнутый контур и изменяющийся поток Φ = BS cos θ (меняется B, S или θ).
- Фарадей: E = nΔΦ/Δt — ЭДС равна наклону графика Φ(t); прошедший заряд q = nΔΦ/R не зависит от времени.
- Ленц: индукционный ток препятствует изменению (增反减同, 来拒去留); движущийся стержень: E = BLv, направление — по правилу правой руки.
- Стержень на рельсах: FA = B²L²v/(R + r) тормозит его; установившаяся скорость — из F = FA; потерянная кинетическая энергия переходит в теплоту в отношении R : r.
- Самоиндукция препятствует изменению тока; генератор: e = Eₘ sin ωt, Eₘ = nBSω; трансформатор: U₁/U₂ = n₁/n₂, P₁ = P₂, работает только на переменном токе.
Проверь себя
Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.
Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин
Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.