Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту

В этом уроке ты узнаешь

Раскладывать движение брошенного тела на два независимых движения: равномерное по горизонтали и свободное падение по вертикали.
Находить время полёта, дальность, скорость и угол падения при горизонтальном броске.
Вычислять максимальную высоту, время и дальность полёта при броске под углом, пользоваться правилом 45° и симметрией.
Решать типичные задачи китайских учебников: падение на наклонную плоскость и стробоскопическая фотография.

Баскетбольный мяч, летящий в корзину, струя фонтана, посылка, сброшенная с вертолёта, — все они движутся по одной и той же кривой, параболе. Китайские учебники называют это 抛体运动 (движение брошенного тела), и CSCA спрашивает о нём почти в каждом тесте по физике, потому что оно соединяет два уже знакомых по уроку «Кинематика: перемещение, скорость, ускорение, свободное падение» движения: равномерное и свободное падение. Во всём уроке сопротивлением воздуха пренебрегаем и, если не сказано иное, берём g = 10 м/с². Причины движения — в уроке «Законы Ньютона и их применение», движение по окружности — в уроке «Движение по окружности».

Два независимых движения

Определение

Движение брошенного тела

Движение тела, брошенного с начальной скоростью, когда на него действует только сила тяжести. Его ускорение — постоянное g, направленное вертикально вниз, а траектория — парабола (抛物线).

Главная идея — независимость движений (运动的独立性): горизонтальное и вертикальное движения происходят одновременно, но не влияют друг на друга. По горизонтали сил нет — тело движется равномерно с постоянной vₓ. По вертикали действует только сила тяжести — это равноускоренное движение с a = g. Связывает их лишь общее время t. Классический опыт: два шарика, один из которых отпускают, а другой бросают горизонтально с той же высоты в тот же момент, падают на землю одновременно.

x = vₓt v_y = v₀ᵧ − gt y = v₀ᵧt − gt²/2 v = √(vₓ² + v_y²)x = vₓt v_y = v₀ᵧ − gt y = v₀ᵧt − gt²/2 v = √(vₓ² + v_y²)

где:

vₓгоризонтальная составляющая скорости (постоянна), м/с
v₀ᵧ, v_yвертикальная составляющая скорости в начале и в момент t (вверх — плюс), м/с
x, yгоризонтальное и вертикальное перемещение от точки броска, м
vмодуль полной скорости, м/с

Разложи начальную скорость на составляющие, реши задачу по каждому направлению отдельно и сложи результаты как векторы (по теореме Пифагора) только в конце.

Разобранные примеры: независимость движений

1) Самолёт летит горизонтально на высоте 500 м со скоростью 60 м/с и сбрасывает посылку. Сколько она падает и на каком расстоянии по горизонтали от точки сброса приземляется? Где в этот момент самолёт?
2) Шарик скатывается со стола со скоростью 3 м/с, а в тот же момент с той же высоты отпускают второй шарик. Какой упадёт раньше?
3) В некоторый момент у брошенного тела vₓ = 12 м/с, v_y = 5 м/с (вниз). Какова его скорость?

Показать решение

1) t = √(2h/g) = √100 = 10 с; x = 60 · 10 = 600 м. Посылка сохраняет горизонтальную скорость самолёта, поэтому всё время находится точно под ним, и при приземлении самолёт — прямо над ней.
2) Вертикальные движения одинаковы (v₀ᵧ = 0, a = g), поэтому шарики падают одновременно; скатившийся просто падает дальше.
3) v = √(12² + 5²) = √169 = 13 м/с.

Почему траектория — парабола? При горизонтальном броске x = v₀t и y = gt²/2 (отсчёт вниз). Исключив t, получим y = g x² / (2v₀²): снижение растёт как квадрат горизонтального расстояния, а это и есть парабола (轨迹方程, уравнение траектории). Вдвое дальше — вчетверо ниже: мяч, опустившийся на 5 м через 10 м по горизонтали, через 20 м опустится уже на 20 м.

Горизонтальный бросок (平抛运动)

Тело бросают горизонтально со скоростью v₀ с высоты h. По вертикали это просто свободное падение, поэтому время полёта зависит только от высоты. По горизонтали за это время тело движется со скоростью v₀.

t = √(2h/g) x = v₀t = v₀√(2h/g) v_y = gt = √(2gh) v = √(v₀² + 2gh) tg θ = gt / v₀t = √(2h/g) x = v₀t = v₀√(2h/g) v_y = gt = √(2gh) v = √(v₀² + 2gh) tg θ = gt / v₀

где:

hвысота броска, м
v₀горизонтальная начальная скорость, м/с
xдальность полёта по горизонтали, м
θугол между скоростью и горизонтом

Время полёта не зависит от v₀; дальность растёт пропорционально v₀ и √h.

Разобранные примеры: горизонтальный бросок

1) Камень бросают горизонтально со скоростью 15 м/с с высоты 20 м. Найди время полёта, дальность, скорость при падении и её угол с горизонтом.
2) Мяч, брошенный горизонтально с высоты 5 м, падает в 10 м от точки под местом броска. Чему равна v₀?
3) Как изменятся время и дальность в задаче 2), если v₀ увеличить вдвое или высоту увеличить в 4 раза?

Показать решение

1) t = √(40/10) = 2 с; x = 15 · 2 = 30 м; v_y = 20 м/с, v = √(15² + 20²) = 25 м/с; tg θ = 20/15 = 4/3, то есть θ = 53° ниже горизонта.
2) t = √(10/10) = 1 с, v₀ = 10/1 = 10 м/с.
3) v₀ × 2: время не меняется (1 с), дальность × 2 (20 м). h × 4: время × 2 (2 с), дальность × 2 (20 м), так как t ∝ √h.

CSCA любит путать два разных угла: угол θ скорости с горизонтом и угол α перемещения (прямой от точки броска до тела) с горизонтом. Их связывает простое соотношение.

tg θ = gt / v₀ tg α = y / x = gt / (2v₀) tg θ = 2 tg αtg θ = gt / v₀ tg α = y / x = gt / (2v₀) tg θ = 2 tg α

где:

θугол скорости с горизонтом
αугол перемещения с горизонтом
x, yгоризонтальное и вертикальное (вниз) расстояние от точки броска, м

Следствие: продолжение вектора скорости назад проходит через середину горизонтального перемещения.

Разобранные примеры: два угла

1) В примере выше (15 м/с, 2 с) tg θ = 4/3. Найди угол перемещения.
2) Когда скорость тела, брошенного горизонтально со скоростью v₀, составляет с горизонтом 45°? А когда перемещение?

Показать решение

1) x = 30 м, y = 20 м: tg α = 20/30 = 2/3 — ровно половина tg θ.
2) Скорость: tg θ = 1 ⇒ gt = v₀, t = v₀/g. Перемещение: tg α = 1 ⇒ gt/(2v₀) = 1, t = 2v₀/g — вдвое позже. Например, при v₀ = 10 м/с — 1 с и 2 с.

Задача в стиле CSCA

Мяч бросают горизонтально со скоростью 10 м/с с высоты 5 м (g = 10 м/с², сопротивлением воздуха пренебречь). С какой скоростью и под каким углом к горизонту он ударяется о землю?
A) 20 м/с, 45° B) 10√2 м/с, 45° C) 10√2 м/с, tg θ = 1/2 D) 10 м/с, 45°

Показать решение

v_y = √(2gh) = √100 = 10 м/с = v₀, поэтому v = √(10² + 10²) = 10√2 м/с, tg θ = 10/10 = 1, θ = 45° — ответ B.
A складывает составляющие как числа (10 + 10), а не как векторы. C берёт угол перемещения, 5/10 = 1/2, вместо угла скорости. D считает скоростью только вертикальную составляющую.

Бросок под углом к горизонту (斜抛运动)

Теперь тело бросают с земли со скоростью v₀ под углом θ к горизонту. Разложи скорость: горизонтальная часть v₀ cos θ не меняется весь полёт, а вертикальная v₀ sin θ ведёт себя как при броске вертикально вверх: уменьшается, в верхней точке становится нулём и растёт при падении.

v₀ₓ = v₀ cos θ v₀ᵧ = v₀ sin θ T = 2v₀ sin θ / g H = v₀² sin²θ / (2g) R = v₀² sin 2θ / gv₀ₓ = v₀ cos θ v₀ᵧ = v₀ sin θ T = 2v₀ sin θ / g H = v₀² sin²θ / (2g) R = v₀² sin 2θ / g

где:

θугол броска над горизонтом
Tвремя полёта (до возвращения на уровень броска), с
Hмаксимальная высота подъёма, м
Rдальность полёта по ровной земле, м

R = v₀ cos θ · T. Полезные значения: sin 30° = 1/2, sin 37° = 0,6, sin 45° = √2/2, sin 53° = 0,8, sin 60° = √3/2 (cos 37° = 0,8, cos 53° = 0,6).

Разобранные примеры: бросок под углом

1) Футбольный мяч бьют с ровного поля со скоростью 25 м/с под углом 37° к горизонту. Найди время полёта, максимальную высоту и дальность.
2) Каковы скорость и ускорение мяча в верхней точке траектории?
3) Мяч бросают со скоростью 10 м/с под углами 45°, 30° и 60°. Сравни дальности, а для 30° и 60° — высоты.

Показать решение

1) v₀ₓ = 25 · 0,8 = 20 м/с, v₀ᵧ = 25 · 0,6 = 15 м/с. T = 2 · 15/10 = 3 с, H = 15²/20 = 11,25 м, R = 20 · 3 = 60 м.
2) В верхней точке v_y = 0, но vₓ остаётся: v = 20 м/с, горизонтально; ускорение по-прежнему g, вниз.
3) R(45°) = 10²/10 = 10 м (максимум); R(30°) = R(60°) = 100 · (√3/2)/10 = 5√3 ≈ 8,7 м. H(30°) = 100 · (1/4)/20 = 1,25 м, H(60°) = 100 · (3/4)/20 = 3,75 м — в 3 раза выше.

Почему 45°? В R = v₀² sin 2θ / g величина sin 2θ максимальна (равна 1) при 2θ = 90°. Дополнительные углы (θ и 90° − θ) дают одинаковый sin 2θ, поэтому тело падает в одну и ту же точку; при более крутом броске оно поднимается выше и дольше летит.

Если тело брошено под углом с высоты h (с крыши или обрыва), формулы для T и R выше не описывают падение. Сохрани метод: вертикальное уравнение −h = v₀ sin θ · t − gt²/2 даёт время (положительный корень), а x = v₀ cos θ · t — расстояние. Пример: 10 м/с под углом 30° с крыши высотой 10 м: −10 = 5t − 5t², t² − t − 2 = 0, t = 2 с, x = 5√3 · 2 = 10√3 ≈ 17,3 м.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Поставь сначала 30°, потом 60°: дальность одинакова (≈ 34,6 м), а высота и время разные. 45° даёт наибольшую дальность — 40 м, ровно в 4 раза больше максимальной высоты (10 м).

Задача в стиле CSCA

Из одной точки ровной площадки с одинаковой скоростью бросают два мяча: один под углом 30°, другой под углом 60° к горизонту (сопротивлением воздуха пренебречь). Какое утверждение верно?
A) Мяч, брошенный под 60°, падает дальше.
B) Оба падают в одну точку, но мяч, брошенный под 60°, летит дольше.
C) Оба летят одинаковое время.
D) Оба поднимаются на одинаковую максимальную высоту.

Показать решение

sin 60° = sin 120°, поэтому R одинакова; T ∝ sin θ, поэтому мяч, брошенный под 60°, летит в √3 раз дольше — ответ B.
A — интуиция «круче — значит дальше», но после 45° дальность уменьшается. C путает равные дальности с равными временами. D неверно: H ∝ sin²θ, высоты относятся как 1 : 3.

Типичные ошибки

(1) Считать скорость в верхней точке нулевой: там v = v₀ cos θ, нулю равна лишь v_y, а ускорение равно g, а не нулю. (2) Путать угол перемещения с углом скорости (tg θ = 2 tg α). (3) Думать, что при большей v₀ тело при горизонтальном броске летит дольше: время зависит только от h. (4) Искать дальность, умножая полную скорость на время: R = v₀ cos θ · T, а не v₀T. (5) Применять R = v₀² sin 2θ / g, когда тело падает не на уровень броска, например при броске с обрыва.

Типичные задачи китайских учебников

Китайские задачники (а значит, и CSCA) снова и снова возвращаются к нескольким ситуациям. Чаще всего встречаются падение на наклонную плоскость и стробоскопическая фотография; обе прямо следуют из формул выше.

tg θ = y / x = gt / (2v₀) ⇒ t = 2v₀ tg θ / gtg θ = y / x = gt / (2v₀) ⇒ t = 2v₀ tg θ / g

где:

θугол наклонной плоскости с горизонтом
tвремя полёта тела, брошенного горизонтально с вершины наклонной плоскости, до падения на неё, с

Падение на наклонную плоскость (斜面上的平抛): перемещение направлено вдоль плоскости, поэтому угол перемещения α равен θ. t пропорционально v₀, а расстояние вдоль плоскости — v₀².

Разобранные примеры: наклонная плоскость

1) Мяч бросают горизонтально со скоростью 20 м/с с вершины наклонной плоскости с углом 37° к горизонту, и он падает на плоскость (tg 37° = 3/4). Найди время полёта и расстояние вдоль плоскости.
2) А с плоскости под 45° со скоростью 10 м/с?

Показать решение

1) t = 2 · 20 · (3/4)/10 = 3 с; x = 20 · 3 = 60 м, y = 5 · 3² = 45 м; вдоль плоскости √(60² + 45²) = 75 м (или 60/cos 37° = 60/0,8).
2) t = 2 · 10 · 1/10 = 2 с; x = y = 20 м, расстояние 20√2 м.

Задача в стиле CSCA

Мяч бросают горизонтально с вершины наклонной плоскости, и он падает на плоскость. Во сколько раз увеличатся время полёта и расстояние вдоль плоскости, если начальную скорость увеличить вдвое (мяч всё равно падает на плоскость)?
A) 2 и 2 B) 2 и 4 C) 4 и 4 D) √2 и 2

Показать решение

t = 2v₀ tg θ / g ∝ v₀ — в 2 раза; x = v₀t ∝ v₀², поэтому расстояние — в 4 раза. Ответ B.
A забывает, что x зависит и от v₀, и от t. C считает, что и время пропорционально v₀². D считает время как для ровной земли, через √h.

Стробоскопическая фотография (频闪照片) показывает мяч через равные промежутки времени T, обычно на фоне сетки из квадратов. Горизонтальные шаги одинаковы (равномерное движение), а вертикальные подчиняются правилу Δx = aT² из урока по кинематике. Первое изображение часто не точка броска: если бы движение начиналось из покоя, вертикальные шаги относились бы как 1 : 3 : 5.

Δy = gT² v₀ = Δx / T v_y = (y₁ + y₂) / (2T)Δy = gT² v₀ = Δx / T v_y = (y₁ + y₂) / (2T)

где:

Δyразность двух соседних вертикальных шагов, м
Tвремя между двумя снимками, с
Δxодин горизонтальный шаг, м
y₁, y₂вертикальные шаги до и после среднего изображения, м
v_yвертикальная составляющая скорости в момент среднего снимка, м/с

Сначала найди T по разности вертикальных шагов, затем v₀ по горизонтальному шагу; v_y в момент среднего снимка — средняя скорость на двух соседних шагах.

Разобранные примеры: стробоскопическая фотография

1) На сетке из квадратов со стороной 5 см видны три последовательных изображения мяча, брошенного горизонтально. Горизонтальные шаги — 3 клетки, вертикальные — 3 и 5 клеток. Найди T, v₀ и v_y в момент среднего изображения (g = 10 м/с²).
2) А если клетка 10 см, горизонтальные шаги — 2 клетки, вертикальные — 2 и 3 клетки?

Показать решение

1) Δy = (5 − 3) · 0,05 = 0,1 м = gT² ⇒ T = 0,1 с; v₀ = 3 · 0,05/0,1 = 1,5 м/с; v_y = (0,15 + 0,25)/0,2 = 2 м/с. На первом изображении v_y = 2 − 1 = 1 м/с, значит, оно сделано через 0,1 с после броска.
2) Δy = 0,1 м ⇒ T = 0,1 с; v₀ = 0,2/0,1 = 2 м/с.

Третья любимая ситуация — стена или мишень. Время до стены на расстоянии d равно t = d/v₀, и к этому моменту мяч опустится на gt²/2. Сначала проверь, не упадёт ли он раньше: сравни d/v₀ со временем падения √(2h/g). Мяч, брошенный со скоростью 8 м/с с высоты 3,2 м в стену на расстоянии 4,8 м, долетает до неё за 0,6 с, опустившись на 1,8 м, то есть ударяет в стену на высоте 1,4 м (падение длилось бы 0,8 с, поэтому стена встречается раньше).

1
Выбери оси
x — по горизонтали, y — по вертикали, начало — в точке броска. Разложи скорость на v₀ cos θ и v₀ sin θ.
2
Найди время из вертикального движения
Время дают высота, наклонная плоскость или шаги на фото — горизонтальное движение почти никогда.
3
Используй горизонтальное движение
x = vₓt: дальность, скорость или время до стены.
4
Объедини в конце
v = √(vₓ² + v_y²), углы — через tg; не путай угол скорости и угол перемещения.

Как CSCA спрашивает эту тему

Движение брошенного тела обычно даёт один-два вопроса в тесте, а иногда становится частью задачи на энергию или импульс. Выучи основные термины на английском и китайском:

Термин (по-английски)	中文	Pinyin
движение брошенного тела — projectile motion	抛体运动	pāotǐ yùndòng
горизонтальный бросок — horizontal projection	平抛运动	píngpāo yùndòng
бросок под углом — oblique projection	斜抛运动	xiépāo yùndòng
независимость движений — independence of motions	运动的独立性	yùndòng de dúlìxìng
составляющая скорости — component velocity	分速度	fēnsùdù
результирующая скорость — resultant velocity	合速度	hésùdù
траектория — trajectory	轨迹	guǐjì
парабола — parabola	抛物线	pāowùxiàn
дальность полёта — range	射程	shèchéng
максимальная высота — maximum height	最大高度	zuìdà gāodù
время полёта — time of flight	飞行时间	fēixíng shíjiān
угол броска — launch angle	抛射角	pāoshèjiǎo
наклонная плоскость — inclined plane	斜面	xiémiàn
стробоскопическая фотография — stroboscopic photo	频闪照片	pínshǎn zhàopiàn

Основные термины темы на английском и китайском.

Типичные виды вопросов и способы сэкономить время (около 75 с на вопрос):

Горизонтальный бросок с высоты: время — только из h (5–20–45 м → 1–2–3 с); x = v₀t; скорость падения √(v₀² + 2gh).
Вопросы про углы: угол скорости tg θ = gt/v₀, угол перемещения tg α = gt/(2v₀); tg θ = 2 tg α.
Бросок под углом: разложи v₀, используй значения для 37°/53°; формулы T, H, R; в верхней точке v = v₀ cos θ.
«Какое утверждение верно»: a всегда равно g; время задаёт только вертикальное движение; дополнительные углы — одна дальность, разные высота и время.
Наклонная плоскость, стена, стробоскоп: t = 2v₀ tg θ / g; время до стены x/v₀ (сначала проверь, не упал ли мяч раньше); на фото Δy = gT².

Главное

Брошенное тело по горизонтали движется равномерно (vₓ постоянна), по вертикали — с ускорением g; их связывает только общее время t.
Горизонтальный бросок: t = √(2h/g) (не зависит от v₀), x = v₀t, v = √(v₀² + 2gh).
Угол скорости tg θ = gt/v₀; по тангенсу он вдвое больше угла перемещения: tg θ = 2 tg α.
Бросок под углом: T = 2v₀ sin θ/g, H = v₀² sin²θ/(2g), R = v₀² sin 2θ/g; в верхней точке v = v₀ cos θ, a = g.
45° даёт наибольшую дальность (R = 4H); дополнительные углы дают одну дальность, траектория симметрична.
Падение на наклонную плоскость: t = 2v₀ tg θ/g; стробоскопическая фотография: Δy = gT², v₀ = Δx/T.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Если пренебречь сопротивлением воздуха, ускорение брошенного тела…

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест