Движение по окружности — CSCA (Китай)

В этом уроке ты узнаешь

Переходить между v, ω, T и ν и применять правило «на ремне одинаковая v, на общей оси одинаковая ω».
Находить центростремительное ускорение и называть реальную силу, которая играет роль центростремительной.
Решать задачи о движении по горизонтальной окружности: плоский поворот, вираж, конический маятник.
Находить минимальную скорость в верхней точке вертикальной окружности для нити и для стержня, а также силы в верхней и нижней точках.

Барабан стиральной машины делает 1200 оборотов в минуту, автомобиль проходит круговую развязку, ребёнок крутит над головой ведро с водой, и не проливается ни капли. Всё это движение по окружности, и всё объясняет одна формула — F = mv²/r. В программе CSCA эта тема — первая половина строки «Движение по окружности и всемирное тяготение»: здесь кинематика и динамика вращения, а планеты и спутники — в уроке «Всемирное тяготение и спутники». Из урока «Законы Ньютона и их применение» нужен только закон F = ma — просто ускорение теперь направлено к центру окружности.

Описание движения по окружности: v, ω, T, ν; ремни и общая ось

Определение

Равномерное движение по окружности

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Вектор скорости всегда направлен по касательной и всё время меняет направление, поэтому скорость не постоянна и у тела есть ускорение (в китайских учебниках 匀速圆周运动).

Определение

Угловая скорость, период, частота

Угловая скорость ω — угол (в радианах), на который поворачивается радиус за 1 с, рад/с. Период T — время одного полного оборота, с. Частота ν (частота вращения n) — число оборотов за 1 с, Гц = с⁻¹. Обороты в минуту (об/мин) сначала делят на 60.

v = 2πr/T ω = 2π/T = 2πν v = ωr T = 1/νv = 2πr/T ω = 2π/T = 2πν v = ωr T = 1/ν

где:

vлинейная скорость, м/с (по касательной)
ωугловая скорость, рад/с
Tпериод, с
νчастота, Гц (об/с)
rрадиус (расстояние от точки до оси), м

За один оборот точка проходит путь 2πr, а радиус поворачивается на 2π рад — и то и другое за время T. Отсюда v = ωr.

Пример 1: от оборотов к скорости

1) Лопасть вентилятора делает 300 оборотов в минуту. Найди ν, T и ω.
2) Конец лопасти находится в 0,4 м от оси. Какова его линейная скорость?
3) Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Каково отношение скоростей концов стрелок?

Показать решение

1) ν = 300/60 = 5 Гц, T = 1/ν = 0,2 с, ω = 2πν = 10π рад/с ≈ 31 рад/с.
2) v = ωr = 10π · 0,4 = 4π м/с ≈ 12,6 м/с.
3) Период минутной стрелки 1 ч, часовой — 12 ч, значит, их ω относятся как 12 : 1. По v = ωr: v₁ : v₂ = 12 · 1,5 : 1 = 18 : 1.

Если два колеса связаны ремнём или цепью (или шестерни касаются без проскальзывания), все точки ремня движутся с одной скоростью, поэтому у ободов одинаковая линейная скорость v. У всех точек одного твёрдого тела, вращающегося вокруг одной оси (диск, колесо и его звёздочка), одинаковая угловая скорость ω.

ремень, цепь, шестерни: v₁ = v₂ ⇒ ω₁r₁ = ω₂r₂ ⇒ ω₁ : ω₂ = r₂ : r₁ общая ось: ω₁ = ω₂ ⇒ v₁ : v₂ = r₁ : r₂

где:

r₁, r₂радиусы колёс или расстояния точек до оси; у шестерён радиус пропорционален числу зубьев

На ремне быстрее вращается меньшее колесо; на общей оси быстрее движется точка, дальше отстоящая от оси.

Пример 2: велосипед и шестерни

1) У велосипеда 48 зубьев на передней звёздочке и 16 на задней. Айсель крутит педали с частотой 1 об/с, радиус заднего колеса 0,35 м. С какой скоростью едет велосипед?
2) Шестерня A с 20 зубьями сцеплена с шестернёй B, у которой 60 зубьев. A делает 90 об/мин. Сколько оборотов в минуту делает B?

Показать решение

1) Цепь: одинаковая v, поэтому ν обратно пропорциональна радиусу (числу зубьев): задняя звёздочка вращается в 48/16 = 3 раза быстрее, 3 об/с. Заднее колесо на одной оси со звёздочкой, у него тоже ν = 3 об/с. v = 2πνr = 2π · 3 · 0,35 = 2,1π м/с ≈ 6,6 м/с (≈ 24 км/ч).
2) Шестерни: одинаковая v, ν₁r₁ = ν₂r₂ ⇒ ν_B = 90 · 20/60 = 30 об/мин. Большая шестерня вращается медленнее.

Пример 3 (формат CSCA): два колеса на ремне

Колёса A и B связаны ремнём без проскальзывания, r_B = 2r_A. Точка C закреплена на колесе B на расстоянии r_A от его оси. Каково отношение центростремительных ускорений a_A : a_B : a_C точек ободов A и B и точки C?
A) 1 : 2 : 1 B) 4 : 2 : 1 C) 2 : 1 : 1 D) 2 : 2 : 1

Показать решение

Ремень: v_A = v_B = v; r_B вдвое больше, поэтому ω_A = 2ω_B. C на одной оси с B: ω_C = ω_B, v_C = v/2. По a = ωv: a_A = 2ω_B · v, a_B = ω_B · v, a_C = ω_B · v/2 ⇒ 4 : 2 : 1, ответ B.
D — отношение линейных скоростей, C — отношение угловых скоростей. A получается, если применить a = ω²r с одной и той же ω для всех точек, но колесо A вращается быстрее.

Центростремительное ускорение и центростремительная сила

Модуль скорости постоянен, но её направление меняется. За малое время Δt изменение вектора скорости Δv направлено к центру окружности, поэтому и ускорение направлено к центру — это центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона его создаёт равнодействующая сил, направленная к центру.

a = v²/r = ω²r = ωv = 4π²r/T² F = ma = mv²/r = mω²r = 4π²mr/T²a = v²/r = ω²r = ωv = 4π²r/T² F = ma = mv²/r = mω²r = 4π²mr/T²

где:

aцентростремительное ускорение, м/с², всегда к центру
Fцентростремительная сила — равнодействующая, направленная к центру, Н
mмасса, кг

Направления a и F меняются каждое мгновение, поэтому равномерное движение по окружности не является равноускоренным. Сила перпендикулярна скорости, работы не совершает, и кинетическая энергия постоянна.

Определение

Центростремительная сила (向心力)

Не новый вид силы, а роль: её играют сила натяжения, трение, сила тяжести, сила реакции опоры или их равнодействующая. Не рисуй её отдельной стрелкой на чертеже сил — нарисуй реальные силы и приравняй их сумму, направленную к центру, к mv²/r.

Пример 4: нить, вращающийся диск и отношения

1) На гладком горизонтальном столе шайба массой 0,2 кг привязана к гвоздю нитью длиной 0,5 м и делает 2 оборота в секунду. Найди ускорение и силу натяжения.
2) Монета лежит на вращающемся диске в 0,1 м от центра, коэффициент трения μ = 0,4 (g = 10 м/с²). При какой наибольшей угловой скорости монета не соскальзывает?
3) Скорость увеличилась вдвое при том же радиусе; радиус увеличился вдвое при той же ω; радиус увеличился вдвое при той же v. Как меняется ускорение?

Показать решение

1) ω = 2πν = 4π рад/с; a = ω²r = 16π² · 0,5 = 8π² м/с² ≈ 79 м/с². Роль центростремительной силы играет натяжение: F = ma = 0,2 · 8π² = 1,6π² Н ≈ 16 Н.
2) К центру направлена сила трения покоя, и она не больше μmg: μmg = mω²r ⇒ ω² = μg/r = 4/0,1 = 40 ⇒ ω = 2√10 рад/с ≈ 6,3 рад/с. Масса сокращается.
3) a = v²/r ⇒ в 4 раза больше; a = ω²r ⇒ в 2 раза больше; a = v²/r ⇒ в 2 раза меньше.

Если имеющаяся сила меньше требуемой mv²/r, тело сходит с окружности и удаляется от центра — это центробежное движение (离心运动). Так работает центрифуга: силы, удерживающей каплю на белье, не хватает для mω²r, и капля улетает по касательной. Никакая «центробежная сила» её не выталкивает.

Горизонтальные окружности: поворот, вираж, конический маятник

1
Нарисуй реальные силы
Сила тяжести mg, реакция опоры или натяжение, трение — и больше ничего.
2
Найди центр окружности
Центр лежит в плоскости движения (а не в точке подвеса!), радиус — горизонтальное расстояние от тела до оси.
3
По вертикали: ΣF = 0
Тело не движется вверх-вниз, вертикальные силы уравновешены.
4
К центру: ΣF = mv²/r
Сложи горизонтальные составляющие, приравняй к mv²/r = mω²r и реши.

плоский поворот: μmg ≥ mv²/r ⇒ v_max = √(μgr) вираж (без трения): tg θ = v²/(gr) конический маятник: a = g · tg θ, r = L sin θ, ω = √(g/(L cos θ)) = √(g/h)плоский поворот: μmg ≥ mv²/r ⇒ v_max = √(μgr) вираж (без трения): tg θ = v²/(gr) конический маятник: a = g · tg θ, r = L sin θ, ω = √(g/(L cos θ)) = √(g/h)

где:

μкоэффициент трения покоя
θугол наклона дороги или угол нити с вертикалью
Lдлина нити, м
hвысота конуса h = L cos θ — расстояние по вертикали от точки подвеса до плоскости окружности

На вираже и у конического маятника равнодействующая mg и силы реакции (натяжения) горизонтальна: F = mg · tg θ, поэтому a = g · tg θ.

Пример 5: поворот, вираж и конический маятник

1) Радиус плоского поворота 80 м, коэффициент трения шин об асфальт μ = 0,5 (g = 10 м/с²). С какой наибольшей скоростью машина может пройти поворот без заноса?
2) Вираж радиусом 120 м рассчитан на скорость 30 м/с без участия трения. Каков угол наклона? Что будет, если машина поедет быстрее?
3) Шарик массой 0,1 кг висит на нити длиной 0,5 м и движется по горизонтальной окружности, нить образует с вертикалью угол 60°. Найди ω, период и силу натяжения.

Показать решение

1) v_max = √(μgr) = √(0,5 · 10 · 80) = √400 = 20 м/с (72 км/ч).
2) tg θ = v²/(gr) = 900/1200 = 0,75 ⇒ θ = 37°. Более быструю машину выносит наружу, сила трения направлена вниз по склону; у более медленной — вверх. На железной дороге внешний рельс кладут выше внутреннего (外轨高于内轨); если поезд быстрее расчётной скорости, внешний рельс давит на реборды колёс внутрь.
3) h = L cos 60° = 0,25 м, ω = √(g/h) = √40 = 2√10 рад/с ≈ 6,3 рад/с, T = 2π/ω = π/√10 ≈ 1,0 с. По вертикали: F cos θ = mg ⇒ F = mg/cos 60° = 2 Н.

Пример 6 (формат CSCA): два конических маятника на одной высоте

Два шарика разной массы подвешены в одной точке на нитях разной длины и движутся по окружностям в одной горизонтальной плоскости. Какая величина одинакова у обоих шариков?
A) линейная скорость B) угловая скорость C) центростремительное ускорение D) сила натяжения нити

Показать решение

У обоих одинаковая высота h, а ω = √(g/h) не зависит ни от L, ни от m ⇒ ответ B.
A: v = ωr, а радиусы разные. C: a = g · tg θ, а углы разные. D: F = mg/cos θ зависит и от массы, и от угла. Длинная нить «кажется медленнее», но описывает бо́льшую окружность — в этом ловушка.

Вертикальная окружность: нить или стержень?

В вертикальной окружности сила тяжести совершает работу, скорость меняется, и движение не равномерное. CSCA обычно спрашивает только о верхней и нижней точках: там все силы вертикальны, а их сумма к центру равна mv²/r. Скорости в этих точках связывает закон сохранения механической энергии (урок «Работа, мощность и энергия»): v_низ² = v_верх² + 4gr.

вверху: F + mg = mv²/r внизу: F − mg = mv²/r нить (внутри петли): v_верх ≥ √(gr) стержень (трубка): v_верх ≥ 0вверху: F + mg = mv²/r внизу: F − mg = mv²/r нить (внутри петли): v_верх ≥ √(gr) стержень (трубка): v_верх ≥ 0

где:

Fсила действия нити, стержня или дорожки на тело; к центру — положительная
rрадиус окружности, м

Нить может только тянуть: вверху F ≥ 0, значит, mg ≤ mv²/r. Стержень может и тянуть, и толкать: шарик проходит верхнюю точку при любой v ≥ 0; при v = √(gr) сила стержня равна нулю.

Модель	Минимальная скорость вверху	Сила вверху
нить; движение по внутренней стороне петли	√(gr)	тянет к центру (вниз); 0 при v = √(gr)
лёгкий стержень; шарик в трубке	0	v < √(gr): толкает вверх; v = √(gr): 0; v > √(gr): тянет вниз
машина на вершине выпуклого моста	— (наибольшая скорость √(gr), быстрее — отрывается)	N = mg − mv²/r < mg

Самое проверяемое различие: √(gr) для нити, 0 для стержня.

Вверху обе силы направлены к центру, внизу натяжение должно превысить силу тяжести — поэтому нить чаще всего рвётся внизу.

Пример 7 (формат CSCA): стержень в верхней точке

Шарик массой 0,5 кг закреплён на лёгком стержне длиной 0,4 м и вращается по вертикальной окружности. В верхней точке его скорость 1 м/с (g = 10 м/с²). С какой силой стержень действует там на шарик?
A) 3,75 Н, тянет вниз B) 6,25 Н, тянет вниз C) 3,75 Н, толкает вверх D) 1,25 Н, толкает вверх

Показать решение

Нужна центростремительная сила mv²/r = 0,5 · 1/0,4 = 1,25 Н, а сила тяжести mg = 5 Н — больше. Значит, стержень толкает вверх: mg − N = mv²/r ⇒ N = 5 − 1,25 = 3,75 Н, ответ C.
A: модуль верный, направление нет (v < √(gr) = 2 м/с, поэтому стержень толкает). B: сложили mg + mv²/r. D: приняли mv²/r за силу стержня.

Пример 8: нить, выпуклый мост и впадина

1) Шарик массой 0,2 кг на нити длиной 0,9 м движется по вертикальной окружности. Какова минимальная скорость в верхней точке? Каковы при этом скорость и натяжение внизу?
2) Автомобиль массой 1000 кг проходит вершину выпуклого моста радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. С какой силой мост действует на автомобиль? А в нижней точке впадины того же радиуса при той же скорости?

Показать решение

1) T = 0: v_верх = √(gr) = √9 = 3 м/с. Энергия: v_низ² = 9 + 4 · 10 · 0,9 = 45 ⇒ v_низ = 3√5 м/с ≈ 6,7 м/с. Внизу: T = mg + mv²/r = 0,2 · (10 + 50) = 12 Н = 6mg.
2) На вершине: mg − N = mv²/r ⇒ N = 10 000 − 1000 · 100/50 = 8000 Н — машина «легче» (失重). При √(gr) = √500 ≈ 22 м/с было бы N = 0, и машина оторвалась бы от дороги. Во впадине: N = mg + mv²/r = 12 000 Н — «тяжелее» (超重).

Как CSCA спрашивает эту тему

В тесте CSCA по физике 48 вопросов за 60 минут — около 75 секунд на каждый. Вопросы о движении по окружности короткие, в 1–3 шага. Типичные виды:

даны об/мин или период ⇒ найти ω, v, a (сначала переведи единицы);
ремни, шестерни и общая ось: отношения v, ω, T, a для трёх точек;
«какая сила играет роль центростремительной?» и «какое утверждение верно?» о равномерном движении по окружности;
плоский поворот (μ), вираж и железнодорожный поворот (внешний/внутренний рельс), конический маятник (одна высота);
вертикальная окружность: минимальная скорость вверху (нить или стержень), сила вверху/внизу, выпуклый мост и впадина, часто вместе с энергией;
центробежное движение: центрифуга, машину заносит наружу на повороте.

Термин (по-английски)	中文	Pinyin
равномерное движение по окружности — uniform circular motion	匀速圆周运动	yúnsù yuánzhōu yùndòng
линейная скорость — linear speed	线速度	xiànsùdù
угловая скорость — angular velocity	角速度	jiǎosùdù
период / частота — period / frequency	周期 / 频率	zhōuqī / pínlǜ
частота вращения (об/с) — rotational speed	转速	zhuànsù
центростремительное ускорение — centripetal acceleration	向心加速度	xiàngxīn jiāsùdù
центростремительная сила — centripetal force	向心力	xiàngxīnlì
центробежное движение — centrifugal motion	离心运动	líxīn yùndòng
ремённая передача / общая ось — belt drive / same axle	皮带传动 / 同轴转动	pídài chuándòng / tóngzhóu zhuàndòng
конический маятник — conical pendulum	圆锥摆	yuánzhuībǎi
выпуклый (арочный) мост — arch bridge	拱形桥	gǒngxíngqiáo
лёгкая нить / лёгкий стержень — light string / light rod	轻绳 / 轻杆	qīngshéng / qīnggān
верхняя / нижняя точка — highest / lowest point	最高点 / 最低点	zuìgāodiǎn / zuìdīdiǎn

Тест сдают на английском или китайском — узнавай термины на обоих языках.

Главное

v = ωr, ω = 2π/T = 2πν; об/мин сначала делят на 60.
У ремня, цепи и сцепленных шестерён общая v, у точек одной оси — общая ω.
a = v²/r = ω²r направлено к центру; F = mv²/r — равнодействующая реальных сил, а не дополнительная сила.
Плоский поворот: v_max = √(μgr); вираж и конический маятник: a = g · tg θ; конический маятник: ω = √(g/h).
Вертикальная окружность: вверху F + mg = mv²/r, внизу F − mg = mv²/r; минимальная скорость вверху √(gr) для нити и 0 для стержня.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Диск делает 600 оборотов в минуту. Какова его угловая скорость?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест