Неравенства: свойства, квадратные и дробно-рациональные неравенства

В этом уроке ты узнаешь

Правильно применять свойства неравенств, особенно при умножении на отрицательное число и переходе к обратным числам
Решать квадратные неравенства по корням и направлению ветвей параболы, включая случаи D ≤ 0 и задачи с параметром
Решать дробно-рациональные неравенства и неравенства с модулем методом интервалов и через смысл |x − a| как расстояния
Находить простые наибольшие и наименьшие значения с помощью неравенства Коши и проверять условие равенства

У фермера есть 40 м забора, чтобы огородить прямоугольный загон у стены. Какую наибольшую площадь он может огородить? Когда прибыль компании P = −x² + 14x − 40 положительна? Оба вопроса — о неравенствах, и в CSCA они встречаются в разных видах: решить неравенство, найти параметр по заданному множеству решений или найти наименьшее значение без производной. Этот урок продолжает «Множества и операции над ними»: ответ неравенства — множество, обычно записанное промежутками. Следующий урок, «Функции и их свойства», применяет эти инструменты к области определения и множеству значений.

Свойства неравенств

Все правила следуют из одного определения: a > b означает a − b > 0. Чтобы сравнить два выражения, смотри на знак их разности (作差法): например, x² + 3 − 2x = (x − 1)² + 2 > 0, поэтому x² + 3 > 2x при любом x. Прибавление одного и того же числа к обеим частям и умножение на положительное число сохраняют знак неравенства, а умножение на отрицательное меняет его на противоположный.

a > b, c > 0 ⇒ ac > bc; a > b, c < 0 ⇒ ac < bc

где:

a, bчасти неравенства
cчисло, на которое умножают (или делят) обе части

Единственное правило, меняющее знак: умножение или деление на отрицательное число. На выражение неизвестного знака, например x − 3, умножать вообще нельзя.

Транзитивность: a > b и b > c ⇒ a > c.
Сложение неравенств одного знака: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. Вычитать их нельзя.
Умножение неравенств с положительными частями: a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
Степени и корни положительных чисел: a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ и ⁿ√a > ⁿ√b.
Обратные числа: a > b и ab > 0 ⇒ 1/a < 1/b.

Пример 1: правило знака — три быстрых случая

1) Реши неравенство −3x + 5 ≤ 11.
2) −2 < a < 1 и 3 < b < 4. Найди, в каких пределах лежит a − b.
3) Если a > b, всегда ли ac² > bc²?

Показать решение

1) −3x ≤ 6; делим на −3 и меняем знак: x ≥ −2.
2) Переходим к −b: −4 < −b < −3. Складываем: −2 − 4 < a − b < 1 − 3, то есть −6 < a − b < −2. Вычитание границ (−2 − 3 = −5, 1 − 4 = −3) даёт неверный промежуток (−5; −3).
3) Нет: при c = 0 обе части равны 0. Верно лишь ac² ≥ bc².

Пример 2 (в стиле CSCA): частные значения

a < b < 0. Какое неравенство верно?
A) 1/a < 1/b B) a² < b² C) ab < b² D) b/a < a/b

Показать решение

Возьми a = −2, b = −1 (特殊值法): 1/a = −1/2 > −1 = 1/b (A неверно), a² = 4 > 1 = b² (B неверно), ab = 2 > 1 = b² (C неверно), b/a = 1/2 < 2 = a/b. Ответ D.
Общая причина: b/a − a/b = (b² − a²)/(ab), где ab > 0 и b² < a², так как |b| < |a|. Вариант A повторяет привычку от положительных чисел, но переход к обратным числам одного знака меняет знак неравенства.

Квадратные неравенства и парабола

Значение ax² + bx + c — это высота параболы y = ax² + bx + c в точке x. Значит, «> 0» спрашивает, где парабола выше оси x, а «< 0» — где ниже. Ответ решают два факта: направление ветвей (знак a) и корни x₁, x₂ (разложением на множители или через дискриминант D = b² − 4ac). Линейное неравенство — простой случай той же картины: прямая пересекает ось один раз.

a > 0, D > 0, x₁ < x₂: ax² + bx + c > 0 ⇔ x < x₁ или x > x₂; ax² + bx + c < 0 ⇔ x₁ < x < x₂

где:

aкоэффициент при x² (ветви вверх при a > 0)
x₁, x₂корни уравнения ax² + bx + c = 0
Dдискриминант, D = b² − 4ac (判别式)

«Больше — вне корней, меньше — между корнями» (при a > 0). Если a < 0, сначала умножь неравенство на −1 и смени знак.

a > 0	D > 0	D = 0 (x₀ = −b/(2a))	D < 0
ax² + bx + c > 0	x < x₁ или x > x₂	x ≠ x₀	R
ax² + bx + c ≥ 0	x ≤ x₁ или x ≥ x₂	R	R
ax² + bx + c < 0	x₁ < x < x₂	∅	∅
ax² + bx + c ≤ 0	x₁ ≤ x ≤ x₂	{x₀}	∅

Множества решений при a > 0. Читай их по параболе: при D = 0 она касается оси, при D < 0 не доходит до неё.

1
Сделай a положительным
Если a < 0, умножь обе части на −1 и смени знак.
2
Найди корни
Разложи на множители, если можешь; иначе используй D = b² − 4ac и x = (−b ± √D)/(2a).
3
Сделай эскиз параболы
Ветви вверх, парабола проходит через корни; при D ≤ 0 отметь, касается ли она оси или не доходит до неё.
4
Прочитай и запиши ответ
Для «> 0» — часть над осью, для «< 0» — под осью; корни включай только при ≥ и ≤; записывай промежутками.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Сначала показана P = −x² + 14x − 40: кривая выше оси между корнями 4 и 10. Уменьшай c и смотри, как промежуток сужается; при c = −49 парабола лишь касается оси (D = 0).

Пример 3: четыре квадратных неравенства

Реши: 1) x² − 7x + 10 ≤ 0; 2) −x² + 14x − 40 > 0 (прибыль из начала урока); 3) 4x² − 4x + 1 > 0; 4) x² + 2x + 3 < 0.

Показать решение

1) (x − 2)(x − 5) ≤ 0 ⇒ [2; 5].
2) Умножим на −1: x² − 14x + 40 < 0 ⇒ (x − 4)(x − 10) < 0 ⇒ (4; 10): прибыль положительна при 4 < x < 10.
3) (2x − 1)² > 0 ⇒ все x, кроме x = 1/2: x ≠ 1/2.
4) D = 4 − 12 < 0 и a > 0: парабола всегда выше оси, решений нет (∅).

Две схемы с параметром повторяются постоянно. Заданное множество решений сообщает корни и знак a: если множество решений ax² + bx + c > 0 — это (x₁; x₂), то a < 0, а x₁ и x₂ — корни, и по теореме Виета x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. «Верно при любом x» (恒成立) означает, что парабола нигде не опускается ниже оси (или не поднимается выше), но сначала отдельно проверь случай a = 0.

ax² + bx + c > 0 при всех x ∈ R ⇔ a > 0 и D < 0 (или a = b = 0, c > 0)

где:

Dдискриминант: D < 0 — у параболы нет общих точек с осью
a = 0неравенство становится линейным и проверяется отдельно

Для «≥ 0 при всех x» нужно D ≤ 0 (касание допускается). Для «< 0 при всех x» — a < 0 и D < 0.

Пример 4 (в стиле CSCA): дано множество решений

Множество решений неравенства ax² + bx + 6 > 0 — это (−3; 2). Каково множество решений неравенства 6x² + bx + a < 0?
A) (−1/3; 1/2) B) (−1/2; 1/3) C) (−∞; −1/3) ∪ (1/2; +∞) D) (−3; 2)

Показать решение

«> 0» выполняется между корнями, значит, a < 0, а −3 и 2 — корни: −b/a = −3 + 2 = −1, 6/a = (−3) · 2 = −6 ⇒ a = −1, b = −1.
6x² − x − 1 < 0 ⇒ (3x + 1)(2x − 1) < 0 ⇒ (−1/3; 1/2), ответ A.
B получается при b = +1 (ошибка в знаке); C — ответ для «>»; D просто копирует старое множество.

Пример 5: «верно при любом x»

1) Неравенство kx² − kx + 1 > 0 верно при всех действительных x. Найди k.
2) Неравенство x² + mx + m + 3 ≥ 0 верно при всех x. Найди m.

Показать решение

1) k = 0: 1 > 0 — верно. k ≠ 0: k > 0 и D = k² − 4k < 0 ⇒ 0 < k < 4. Вместе: 0 ≤ k < 4. Забыть k = 0 — самая типичная ошибка.
2) a = 1 > 0, D = m² − 4(m + 3) = m² − 4m − 12 = (m − 6)(m + 2) ≤ 0 ⇒ −2 ≤ m ≤ 6. Из-за «≥» D = 0 допускается.

Дробно-рациональные неравенства и неравенства с модулем

f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 и g(x) ≠ 0f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 и g(x) ≠ 0

где:

f(x)числитель
g(x)знаменатель; его нули никогда не входят в ответ

Частное и произведение имеют одинаковый знак, поэтому дробное неравенство (分式不等式) заменяют произведением, а затем применяют метод интервалов (穿针引线法, «продевание нитки в иголку»).

1
Добейся нуля в одной части
Перенеси всё влево и запиши одной дробью. Никогда не умножай на знаменатель: его знак неизвестен.
2
Разложи на множители
Запиши числитель и знаменатель как произведения множителей (x − a), в каждом с положительным коэффициентом при x.
3
Отметь нули
Нули числителя: закрашенные точки при ≥ или ≤; нули знаменателя: всегда выколотые.
4
Знаки справа
Правее всех нулей каждый множитель положителен, знак «+». Двигаясь влево, знак меняется в каждом простом нуле и сохраняется в двойном (квадратный множитель).
5
Выбери промежутки
Для > 0 возьми промежутки со знаком «+», для < 0 — со знаком «−», затем добавь или исключи концы.

Пример 6: метод интервалов — три случая

Реши: 1) (x − 2)/(x + 1) < 0; 2) (x + 3)(x − 1)(x − 4) ≥ 0; 3) (x − 1)²(x − 4) < 0.

Показать решение

1) Нули −1 и 2 (оба выколоты). Справа налево: +, −, +. Нужен «−»: (−1; 2).
2) Нули −3, 1, 4 (закрашены). Справа налево: + (x > 4), − на (1; 4), + на (−3; 1), − при x < −3. ≥ 0: [−3; 1] ∪ [4; +∞).
3) x = 1 — двойной нуль, знак не меняется: (x − 1)² > 0 при x ≠ 1, поэтому нужно x − 4 < 0 и x ≠ 1: (−∞; 1) ∪ (1; 4).

Пример 7 (в стиле CSCA): не умножай на знаменатель

Каково множество решений неравенства (2x + 1)/(x − 2) ≥ 1?
A) [−3; +∞) B) (−∞; −3] ∪ (2; +∞) C) (−∞; −3] ∪ [2; +∞) D) [−3; 2)

Показать решение

Перенеси 1 влево: (2x + 1 − x + 2)/(x − 2) = (x + 3)/(x − 2) ≥ 0. Нули: −3 (закрашен), 2 (выколот); справа +, −, +. Ответ (−∞; −3] ∪ (2; +∞), B.
A получается умножением на x − 2, как будто оно положительно; C включает 2, где знаменатель равен нулю; D берёт промежуток со знаком «−».

|x| < a ⇔ −a < x < a; |x| > a ⇔ x < −a или x > a (a > 0)

где:

|x − c|расстояние между x и c на числовой прямой (绝对值 — модуль)
aположительное число — допустимое расстояние

|x − c| < a: x удалено от c меньше чем на a; |x − c| > a: больше чем на a. Для |f(x)| < a решай двойное неравенство −a < f(x) < a.

Пример 8: модуль как расстояние

Реши: 1) |2x − 1| ≤ 5; 2) |x + 3| > 2; 3) |x − 1| + |x + 2| ≥ 5.

Показать решение

1) −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ [−2; 3].
2) x + 3 < −2 или x + 3 > 2 ⇒ (−∞; −5) ∪ (−1; +∞).
3) Это сумма расстояний от x до 1 и до −2. Между −2 и 1 сумма равна 3, вне этого отрезка она растёт на 2 на каждую единицу. Сумма равна 5 при x = 2 и x = −3 ⇒ (−∞; −3] ∪ [2; +∞).

Неравенство Коши: быстрые максимумы и минимумы

(a + b)/2 ≥ √(ab) ⇔ a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)(a + b)/2 ≥ √(ab) ⇔ a + b ≥ 2√(ab) (a > 0, b > 0)

где:

(a + b)/2(a + b)/2среднее арифметическое (算术平均数)
√(ab)среднее геометрическое (几何平均数)

«Основное неравенство» (基本不等式) китайских учебников, у нас — неравенство Коши. Оно следует из (√a − √b)² ≥ 0; равенство только при a = b. При постоянном произведении наименьшее значение суммы равно 2√(ab); при постоянной сумме s наибольшее значение произведения равно (s/2)².

Пример 9: постоянное произведение, постоянная сумма и забор

1) Найди наименьшее значение x + 16/x при x > 0.
2) x, y > 0 и x + y = 10. Найди наибольшее значение xy.
3) Фермер из начала урока: какую наибольшую площадь можно огородить у стены 40 м забора?

Показать решение

1) x + 16/x ≥ 2√16 = 8, равенство при x = 16/x, то есть x = 4.
2) xy ≤ (10/2)² = 25 при x = y = 5.
3) Пусть сторона вдоль стены x, две другие — y: x + 2y = 40. S = xy = ½ · x · (2y) ≤ ½ · ((x + 2y)/2)² = ½ · 400 = 200 м²; равенство при x = 2y = 20, то есть x = 20 м, y = 10 м.

Пример 10 (в стиле CSCA): умножь на единицу

x > 0, y > 0 и x + y = 1. Каково наименьшее значение 1/x + 4/y?
A) 4 B) 8 C) 9 D) 5

Показать решение

Так как 1 = x + y: (1/x + 4/y)(x + y) = 1 + 4 + y/x + 4x/y ≥ 5 + 2√4 = 9; равенство при y/x = 4x/y, то есть y = 2x: x = 1/3, y = 2/3. Ответ C.
B (8) получается двукратным применением неравенства Коши: 1/x + 4/y ≥ 4/√(xy) и xy ≤ 1/4. Но равенство в первом требует y = 4x, а во втором x = y; одновременно это невозможно, поэтому 8 не достигается.

Как CSCA спрашивает об этом

Свойства: «a < b < 0, что верно?» — подставь частные значения вроде a = −2, b = −1 и вычёркивай варианты; по десять секунд на вариант.
Реши неравенство (часто внутри вопроса о множествах): квадратное — по корням, дробное — методом интервалов, с модулем — через расстояние; концы проверяй в конце.
Параметр по множеству решений: корни + знак a + теорема Виета; перестановка коэффициентов даёт обратные корни.
Верно при любом x: a > 0 и D < 0, плюс отдельно случай a = 0.
Наибольшее и наименьшее значение без производной: постоянное произведение или сумма, часто после разбиения слагаемого или умножения на 1 = x + y; всегда проверяй равенство. Метод с производной — в уроке «Применения производной: монотонность и экстремумы».
Экономия времени: если варианты — промежутки, подставь значение, которое входит в одни варианты и не входит в другие (например, x = 0 или конец); часто одна подстановка оставляет один вариант.

Термин	中文	Pinyin
неравенство — inequality	不等式	bùděngshì
множество решений — solution set	解集	jiějí
линейное неравенство — linear inequality	一元一次不等式	yīyuán yīcì bùděngshì
квадратное неравенство — quadratic inequality	一元二次不等式	yīyuán èrcì bùděngshì
дискриминант — discriminant	判别式	pànbiéshì
корень — root	根	gēn
дробно-рациональное неравенство — rational inequality	分式不等式	fēnshì bùděngshì
метод интервалов — interval method	穿针引线法	chuānzhēn yǐnxiàn fǎ
модуль — absolute value	绝对值	juéduìzhí
верно при любом x — holds for every x	恒成立	héng chénglì
неравенство Коши — AM–GM inequality	基本不等式	jīběn bùděngshì
среднее арифметическое — arithmetic mean	算术平均数	suànshù píngjūnshù
среднее геометрическое — geometric mean	几何平均数	jǐhé píngjūnshù
наибольшее / наименьшее значение — maximum / minimum value	最大值 / 最小值	zuìdàzhí / zuìxiǎozhí
параметр — parameter	参数	cānshù

Тест сдают на английском или китайском: узнавай термины на обоих языках.

Главное

a > b ⇔ a − b > 0; умножение или деление на отрицательное число меняет знак; умножать на выражение неизвестного знака нельзя.
При a > 0: «> 0» — вне корней, «< 0» — между ними; при D < 0 парабола не пересекает ось.
Дробные неравенства: f/g ≥ 0 ⇔ f · g ≥ 0, g ≠ 0; знаки справа, в двойном нуле знак не меняется.
|x − c| < a ⇔ c − a < x < c + a; |x − c| > a ⇔ x < c − a или x > c + a.
Дано множество решений → корни и знак a; «при любом x» → a > 0 и D < 0 (проверь a = 0).
a + b ≥ 2√(ab) при a, b > 0: постоянное произведение — наименьшая сумма, постоянная сумма — наибольшее произведение; положительно, постоянно, равно.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какое действие меняет знак неравенства на противоположный?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест