Функции и их свойства — CSCA (Китай)

В этом уроке ты узнаешь

Находить область определения и множество значений функции, в том числе кусочно-заданной и сложной
Определять, возрастает или убывает функция, чётная она или нечётная, периодическая ли, и находить по этим свойствам значения
Получать график из известного сдвигами, растяжениями и отражениями и находить обратную функцию
Сравнивать значения и решать неравенства вида f(a) < f(b) с помощью монотонности и чётности

Вопрос CSCA: «f(x) — чётная функция на R, возрастающая на [0; +∞). Что больше: f(−3) или f(2)?» Формулы нет — и она не нужна. Из чётности f(−3) = f(3), из монотонности f(3) > f(2), значит, больше f(−3): пять секунд работы. Строка программы «Функции: область определения, множество значений, монотонность, чётность и т. д.» — это и есть такой набор инструментов, и этот урок его собирает: определение, область определения и множество значений, кусочно-заданные и сложные функции, монотонность, чётность, периодичность, преобразования графиков и обратная функция. Конкретные семейства функций — в уроках «Степенная и показательная функции», «Логарифмы и логарифмическая функция» и «Тригонометрические функции и тождества»; запись промежутков — в уроке «Множества и операции над ними», а решение неравенств, возникающих при поиске области определения, — в уроке «Неравенства: свойства, квадратные и дробно-рациональные неравенства».

Определение, область определения и множество значений

Определение

Функция (函数)

Пусть D — непустое множество чисел. Функция f ставит каждому x ∈ D в соответствие ровно одно число y = f(x). D — область определения (定义域), {f(x) | x ∈ D} — множество значений (值域). Функция задаётся областью определения и правилом: две функции равны, только если совпадает и то и другое.

Последнее предложение — любимая ловушка CSCA. y = x и y = x²/x — разные функции: вторая не определена в 0. У y = x и y = √(x²) = |x| область определения одна, а правила разные. Кривая является графиком функции, если каждая вертикальная прямая пересекает её не более чем в одной точке. Область определения формулы находят из условий ниже.

u/v: v ≠ 0 √u, ⁴√u, …: u ≥ 0 logₐ u: u > 0 u⁰: u ≠ 0u/v: v ≠ 0 √u, ⁴√u, …: u ≥ 0 logₐ u: u > 0 u⁰: u ≠ 0

где:

u, vвыражения, содержащие x
√u, ⁴√uкорни чётной степени; корни нечётной степени, например ∛u, определены при любом u
logₐ uаргумент логарифма (см. урок «Логарифмы и логарифмическая функция»)

Выпиши все условия, затем найди их пересечение и запиши ответ множеством или промежутками. В текстовой задаче добавляются условия самой ситуации: длины положительны, число предметов — целое.

Разобранные примеры: область определения

Найди область определения:
1) f(x) = √(x + 4)/(x − 1) + (x + 2)⁰.
2) f(x) = √(x² − 9).
3) Периметр прямоугольника равен 20. Запиши его площадь S как функцию одной стороны x и укажи область определения.

Показать решение

1) x + 4 ≥ 0, x − 1 ≠ 0, x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≥ −4, x ≠ 1, x ≠ −2: [−4; −2) ∪ (−2; 1) ∪ (1; +∞).
2) x² − 9 ≥ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≥ 0 ⇒ (−∞; −3] ∪ [3; +∞).
3) Другая сторона равна 10 − x, поэтому S = x(10 − x); обе стороны положительны: 0 < x < 10, т. е. область определения (0; 10), хотя сама формула допускает любое x.

Найти множество значений труднее, чем область определения. Четыре способа покрывают почти все задания CSCA: монотонность (если f возрастает на [a; b], множество значений [f(a); f(b)]); выделение полного квадрата для квадратичной функции — не забудь проверить, лежит ли вершина на данном промежутке; известные оценки x² ≥ 0, √u ≥ 0, |u| ≥ 0, aˣ > 0; а для дробно-линейной функции — единственное значение, которое она никогда не принимает.

y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0): x ≠ −d/c, y ≠ a/cy = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0): x ≠ −d/c, y ≠ a/c

где:

a/ca/cотношение старших коэффициентов: горизонтальная асимптота y = a/c
−d/c−d/cнуль знаменателя: вертикальная асимптота

Почему y ≠ a/c: выразив x из y = (ax + b)/(cx + d), получаем x = (b − dy)/(cy − a) — это возможно при любом y, кроме a/c. График — гипербола y = k/x, перенесённая так, что её центр в точке (−d/c; a/c).

Разобранные примеры: множество значений

Найди множество значений: 1) y = 2x² − 4x + 3, x ∈ [−1; 2]; 2) y = (3x − 1)/(x + 2); 3) y = 4/(x² + 1).

Показать решение

1) y = 2(x − 1)² + 1; вершина x = 1 лежит в [−1; 2], поэтому наименьшее значение 1; наибольшее — на конце, более удалённом от 1: y(−1) = 9 (y(2) = 3). Множество значений [1; 9].
2) a/c = 3/1, поэтому y ≠ 3: множество значений (−∞; 3) ∪ (3; +∞). Проверка: x = (−1 − 2y)/(y − 3) существует при любом y ≠ 3.
3) x² + 1 ≥ 1, поэтому 0 < 4/(x² + 1) ≤ 4, а 4 достигается при x = 0: (0; 4].

Определение

Кусочно-заданная функция (分段函数)

Одна функция, правило которой на разных частях области определения разное. Её область определения — объединение частей, множество значений — объединение множеств значений кусков. Чтобы вычислить f(a), сначала определи, какой части принадлежит a; уравнение f(a) = k решай на каждой части отдельно и оставляй только корни, попавшие в эту часть.

(f ∘ g)(x) = f(g(x)), x ∈ D(g), g(x) ∈ D(f)

где:

gвнутренняя функция: она действует первой
fвнешняя функция: действует на значение g(x)
D(f), D(g)области определения

Сложная функция (复合函数): порядок важен, в общем случае f(g(x)) ≠ g(f(x)). Если D(f) = [m; n], то область определения f(g(x)) — множество решений неравенств m ≤ g(x) ≤ n.

Разобранные примеры: кусочно-заданные и сложные функции

1) f(x) = x² − 1 при x ≤ 1 и f(x) = 3 − x при x > 1. Найди f(f(2)) и реши уравнение f(a) = 0.
2) f(x) = 2x + 1, g(x) = x². Найди f(g(x)), g(f(x)) и их значения при x = −1.
3) Область определения f — [0; 4]. Найди область определения f(2x − 2).
4) f(x + 1) = x² + 2x. Найди f(x).

Показать решение

1) 2 > 1, поэтому f(2) = 1; 1 ≤ 1, поэтому f(1) = 0: f(f(2)) = 0. При a ≤ 1: a² − 1 = 0 ⇒ a = ±1, оба подходят; при a > 1: 3 − a = 0 ⇒ a = 3, подходит. a ∈ {−1; 1; 3}.
2) f(g(x)) = 2x² + 1, g(f(x)) = (2x + 1)²; при x = −1: 3 и 1 — разные.
3) 0 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3: [1; 3].
4) Пусть t = x + 1, x = t − 1: f(t) = (t − 1)² + 2(t − 1) = t² − 1, значит f(x) = x² − 1.

Задание в стиле CSCA

f(x) = x² + 1 при x ≤ 0 и f(x) = 2x − 3 при x > 0. Если f(a) = 5, то a =
A) −2 B) 4 C) −2 или 4 D) ±2 или 4

Показать решение

a ≤ 0: a² + 1 = 5 ⇒ a = ±2, условию a ≤ 0 удовлетворяет только −2. a > 0: 2a − 3 = 5 ⇒ a = 4 > 0, подходит. Ответ C.
A и B забывают одну из двух частей. D оставляет a = 2, хотя 2 не лежит в части x ≤ 0, где действует формула x² + 1.

Монотонность, чётность и периодичность

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) — возрастает; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) — убывает

где:

x₁, x₂любые два числа из промежутка I
Iпромежуток монотонности (单调区间): на всём нём функция возрастает (增函数) или убывает (减函数)

Возрастающая + возрастающая = возрастающая; −f меняет направление, 1/f тоже (если f сохраняет знак). Для y = f(g(x)): если f и g меняются в одном направлении, сложная функция возрастает, если в разных — убывает (同增异减). Монотонность любой функции даёт производная: урок «Применения производной: монотонность и экстремумы».

Разобранные примеры: монотонность

1) Найди промежутки монотонности y = x² − 6x + 1.
2) f(x) = −x² + 2(a − 1)x + 3 возрастает на (−∞; 4]. Найди, какие значения может принимать a.
3) Найди промежутки монотонности y = √(x² − 4x).

Показать решение

1) Ось x = 3, ветви вверх: убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞).
2) Ветви параболы вниз, ось x = a − 1, поэтому f возрастает на (−∞; a − 1]. Нужно (−∞; 4] ⊆ (−∞; a − 1]: a − 1 ≥ 4, a ≥ 5.
3) Сначала область определения: x² − 4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или x ≥ 4. Внутренняя u = x² − 4x убывает на (−∞; 0] и возрастает на [4; +∞); √u возрастает. По правилу 同增异减: убывает на (−∞; 0], возрастает на [4; +∞) — а не на (−∞; 2] и [2; +∞), ведь точки между 0 и 4 не входят в область определения.

Определение

Чётные и нечётные функции (偶函数, 奇函数)

Пусть область определения симметрична относительно 0 (вместе с x содержит −x). f чётная, если f(−x) = f(x) при всех x, — её график симметричен относительно оси Oy; f нечётная, если f(−x) = −f(x), — график симметричен относительно начала координат. Большинство функций ни чётные, ни нечётные. Это свойство называют чётностью (奇偶性).

f(−x) = f(x) — чётная; f(−x) = −f(x) — нечётная; нечётная и 0 ∈ D ⇒ f(0) = 0

где:

Dобласть определения; она должна быть симметрична относительно 0, иначе f ни чётная, ни нечётная
f(0) = 0из f(−0) = −f(0): нечётная функция, определённая в 0, проходит через начало координат

нечётная ± нечётная = нечётная, чётная ± чётная = чётная; нечётная · нечётная = чётная, чётная · чётная = чётная, нечётная · чётная = нечётная — как знаки «+» и «−». Многочлен только с чётными степенями (и константой) — чётный, только с нечётными — нечётный.

1
Проверь область определения
Если она несимметрична относительно 0 (например, [−1; 2] или x ≥ 0), стоп: ни чётная, ни нечётная.
2
Вычисли f(−x)
Замени x на −x и упрости: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, |−x| = |x|.
3
Сравни
f(−x) = f(x) — чётная; f(−x) = −f(x) — нечётная; иначе покажи число, где оба равенства нарушаются, например f(−1) ≠ ±f(1).

Разобранные примеры: чётность

1) Чётная, нечётная или ни та ни другая: f(x) = x³ − 1/x; g(x) = |x + 1| + |x − 1|; h(x) = x⁴, x ∈ (−2; 2].
2) f(x) = ax⁵ + bx³ + cx − 4 и f(−2) = 6. Найди f(2).
3) f — нечётная функция на R и f(x) = x² + 3x при x > 0. Найди f(0) и f(x) при x < 0.

Показать решение

1) f(−x) = −x³ + 1/x = −f(x): нечётная. g(−x) = |−x + 1| + |−x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = g(x): чётная. h: область (−2; 2] содержит 2, но не −2, поэтому ни та ни другая.
2) g(x) = ax⁵ + bx³ + cx нечётная, и f(x) = g(x) − 4. g(−2) = 6 + 4 = 10, значит g(2) = −10 и f(2) = −14. (Короче: f(2) + f(−2) = −8.)
3) f(0) = 0. При x < 0 имеем −x > 0: f(−x) = (−x)² + 3(−x) = x² − 3x, поэтому f(x) = −f(−x) = −x² + 3x.

Задание в стиле CSCA

Какая функция чётная и возрастает на (0; +∞)?
A) y = x² + |x| B) y = x³ C) y = −x² + 1 D) y = 1/x²

Показать решение

y = x² + |x|: f(−x) = x² + |x| = f(x), а при x > 0 она равна x² + x и возрастает. Ответ A.
B возрастает, но нечётная. C и D чётные, но убывают на (0; +∞) — каждый вариант выполняет лишь одно из двух условий, типичная конструкция CSCA.

Определение

Периодическая функция (周期函数)

f периодическая с периодом T ≠ 0, если f(x + T) = f(x) для всех x из области определения. Тогда 2T, 3T, −T тоже периоды; наименьший положительный из них — наименьший положительный период (最小正周期). График — повторение одного куска длины T.

f(x + T) = f(x); f(x + a) = −f(x) ⇒ T = 2a; f(x + a) = 1/f(x) ⇒ T = 2af(x + T) = f(x); f(x + a) = −f(x) ⇒ T = 2a; f(x + a) = 1/f(x) ⇒ T = 2a

где:

Tпериод
aпостоянный сдвиг, a ≠ 0

Доказательство второго правила: f(x + 2a) = −f(x + a) = −(−f(x)) = f(x). Чтобы найти f при большом аргументе, отними целое число периодов (смотри на остаток), затем при необходимости используй чётность. Периоды sin и cos — в уроке «Графики тригонометрических функций».

Разобранные примеры: периодичность

1) f нечётная, её период 3 и f(1) = 2. Найди f(2026) и f(8).
2) f(x + 2) = −f(x) при всех x, а при 0 ≤ x < 2 f(x) = x². Найди f(7).
3) f чётная, и её график симметричен относительно прямой x = 1. Докажи, что 2 — период f.

Показать решение

1) 2026 = 3 · 675 + 1 ⇒ f(2026) = f(1) = 2. 8 = 9 − 1 ⇒ f(8) = f(−1) = −f(1) = −2.
2) Период равен 4: f(7) = f(3) = f(1 + 2) = −f(1) = −1.
3) Симметрия относительно x = 1 означает f(1 + t) = f(1 − t). При t = x + 1: f(x + 2) = f(−x) = f(x) — 2 — период.

Преобразования графиков и обратная функция

y = f(x − a) + b; y = A·f(x); y = f(ωx); y = −f(x); y = f(−x); y = −f(−x); y = |f(x)|; y = f(|x|)

где:

a, bсдвиг: a > 0 вправо, b > 0 вверх (a < 0 влево, b < 0 вниз)
A, ωрастяжение вдоль Oy в A раз: (x; y) → (x; Ay); при ω > 1 сжатие вдоль Ox в ω раз: (x; y) → (x/ω; y)
−f(x), f(−x), −f(−x)отражения относительно оси Ox, оси Oy и начала координат
|f(x)|, f(|x|)|f(x)|: части ниже оси Ox отражаются вверх; f(|x|): правая половина сохраняется и отражается влево

Изменения внутри скобок действуют по горизонтали и «наоборот» (x − 2 сдвигает вправо, 2x сжимает); снаружи — по вертикали и «как написано». Китайские школьники запоминают сдвиги так: 左加右减，上加下减 — «влево — прибавь, вправо — вычти; вверх — прибавь, вниз — вычти».

Разобранные примеры: преобразования

1) Опиши, как получить y = √(x + 1) − 2 и y = 2/(x − 1) + 3 из y = √x и y = 2/x; укажи область определения и множество значений.
2) Точка P(2; 5) лежит на графике y = f(x). Какая точка обязательно лежит на графиках y = f(x + 1) − 3, y = 2f(x/2) и y = f(−x)?
3) Сколько решений имеет уравнение |x² − 2x − 3| = 4?

Показать решение

1) √x: на 1 влево и на 2 вниз; начальная точка (0; 0) → (−1; −2); область определения [−1; +∞), множество значений [−2; +∞). 2/x: на 1 вправо и на 3 вверх; центр (1; 3); x ≠ 1, y ≠ 3.
2) x + 1 = 2 ⇒ x = 1: (1; 2). x/2 = 2 ⇒ x = 4, y = 10: (4; 10). (−2; 5).
3) У y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4 вершина (1; −4); модуль отражает её вверх, в (1; 4). Прямая y = 4 касается этой вершины и пересекает две крайние ветви: 3 решения (x = 1, x = 1 ± 2√2).

Интерактив

Загрузка симуляции…

Первая кривая — нечётная функция y = x³ − 3x (симметрична относительно начала координат, локальный максимум в (−1; 2)); вторая — y = k·f(x − a) + b. a сдвигает график по горизонтали, b — по вертикали, k растягивает, а при k < 0 ещё и отражает. Следи, как центр симметрии переходит из (0; 0) в (a; b).

Задание в стиле CSCA

График y = x² − 4x + 1 сдвинули на 1 влево, а затем на 2 вверх. Новый график — это график функции
A) y = x² − 6x + 8 B) y = x² − 2x − 4 C) y = x² − 6x + 4 D) y = x² − 2x

Показать решение

Выделим вершину: y = (x − 2)² − 3, вершина (2; −3). Влево на 1 и вверх на 2: вершина (1; −1), поэтому y = (x − 1)² − 1 = x² − 2x. Ответ D.
A сдвигает вправо, а не влево, B — вниз, а не вверх, C ошибается в обоих направлениях. Переносить вершину быстрее, чем подставлять x + 1 во всё выражение.

Определение

Обратная функция (反函数)

Если f принимает каждое своё значение только один раз (например, f строго монотонна), то для каждого y из множества значений есть ровно один x с f(x) = y. Правило y ↦ x — обратная функция f⁻¹; её аргумент, как обычно, снова обозначают x.

y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y); D(f⁻¹) = E(f), E(f⁻¹) = D(f); f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a

где:

D(f), E(f)область определения и множество значений f; у обратной функции они меняются местами
(a; b)точка графика f; тогда (b; a) лежит на графике f⁻¹

Графики f и f⁻¹ симметричны относительно прямой y = x. Самая важная пара, y = aˣ и y = logₐ x, — в уроке «Логарифмы и логарифмическая функция». Внимание: f⁻¹(x) — это не 1/f(x).

1
Проверь и найди множество значений
f должна принимать каждое значение один раз (быть монотонной на области определения). Множество значений f станет областью определения f⁻¹.
2
Вырази x
Из y = f(x) вырази x через y; знак корня выбери по исходной области определения.
3
Поменяй буквы и запиши область
Запиши y = f⁻¹(x) вместе с областью определения; проверь по одной точке: f(a) = b ⇒ f⁻¹(b) = a.

Разобранные примеры: обратная функция

1) f(x) = (2x + 1)/(x − 3). Найди f⁻¹(x).
2) f(x) = √(x − 1). Найди f⁻¹(x) вместе с областью определения.
3) f(x) = x³ + x + 1. Найди f⁻¹(3), не находя f⁻¹.

Показать решение

1) y(x − 3) = 2x + 1 ⇒ x(y − 2) = 3y + 1 ⇒ x = (3y + 1)/(y − 2). f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), x ≠ 2. Проверка: f(4) = 9 и f⁻¹(9) = 28/7 = 4.
2) Множество значений f — [0; +∞). x = y² + 1, поэтому f⁻¹(x) = x² + 1, x ≥ 0 — только правая половина параболы.
3) f⁻¹(3) = a означает f(a) = 3: a³ + a − 2 = 0 ⇒ a = 1 (f возрастает, поэтому корень единственный). f⁻¹(3) = 1.

Сравнение значений с помощью свойств

План всегда один: с помощью чётности и периодичности переведи все аргументы в один промежуток, где f монотонна, и сравни аргументы. Для чётной функции, зависящей только от |x|, это даёт правило, которое стоит запомнить.

f чётная, возрастает на [0; +∞): f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| < |x₂|

где:

|x₁|, |x₂|расстояния до 0: чётная функция принимает равные значения на равных расстояниях
f нечётнаяесли она возрастает на [0; +∞), то возрастает на всей R, поэтому f(x₁) < f(x₂) ⇔ x₁ < x₂

Если чётная функция убывает на [0; +∞), знак меняется: f(x₁) < f(x₂) ⇔ |x₁| > |x₂|.

Разобранные примеры: сравнение значений

1) f чётная и убывает на [0; +∞). Расположи по возрастанию f(−2), f(1), f(3).
2) f чётная и возрастает на [0; +∞). Реши f(x − 2) > f(1).
3) f нечётная и убывает на R. Реши f(1 − a) + f(2a + 3) < 0.

Показать решение

1) |1| < |−2| < |3|, а f убывает с ростом |x|: f(3) < f(−2) < f(1).
2) |x − 2| > 1 ⇔ x − 2 > 1 или x − 2 < −1: x < 1 или x > 3.
3) f(1 − a) < −f(2a + 3) = f(−2a − 3). f убывает, поэтому для аргументов знак обратный: 1 − a > −2a − 3 ⇔ a > −4.

Задание в стиле CSCA

f(x) — чётная функция на R, f(x + 2) = f(x), и f возрастает на [0; 1]. Пусть a = f(5/2), b = f(−4/3), c = f(3). Тогда
A) c < b < a B) a < b < c C) b < a < c D) a < c < b

Показать решение

Переведём всё в [0; 1]: a = f(5/2 − 2) = f(1/2); b = f(−4/3 + 2) = f(2/3); c = f(3 − 2) = f(1). На [0; 1] f возрастает и 1/2 < 2/3 < 1, поэтому a < b < c. Ответ B.
A переворачивает порядок, будто f убывает; C сравнивает аргументы −4/3 < 5/2 < 3 напрямую, хотя f монотонна только на [0; 1]; D забывает, что c = f(1) — наибольшее значение на [0; 1].

Лёгкий путь: пять приёмов

• 同增异减: сложная функция f(g(x)) возрастает, если f и g меняются в одну сторону, и убывает, если в разные.
• Нечётная и определена в 0 ⇒ f(0) = 0: если f(x) = a − 2/(3ˣ + 1) нечётна, то f(0) = a − 1 = 0, т. е. сразу a = 1.
• Нечётная часть: если f(x) = g(x) + c и g нечётна, то f(x) + f(−x) = 2c.
• Сдвиги переносят особые точки: следи за вершиной, началом √x или центром 1/x, а не за всем графиком.
• Проверь числом: подставь x = 0, 1 или −1, чтобы отсеять варианты в вопросах о чётности и преобразованиях.

Типичные ошибки

• Проверить f(−x), но не область определения: x² на [−1; 2] не чётная.
• Считать f(x + 2) сдвигом вправо — график сдвигается на 2 влево.
• Писать промежутки монотонности y = 1/x как (−∞; 0) ∪ (0; +∞): она убывает на каждом промежутке отдельно, но не на их объединении (f(−1) = −1 < f(1) = 1). Такие промежутки разделяют словом «и» или запятой.
• Решив f(a) = k для кусочно-заданной функции, не проверить, что каждый корень лежит в своей части.
• Забыть, что область определения f⁻¹ — множество значений f, или спутать f⁻¹(x) с 1/f(x).
• «Не чётная — значит нечётная»: x² + x ни та ни другая.

Как CSCA спрашивает эту тему

Свойства функций — основа алгебраической части теста CSCA по математике: кроме прямых вопросов об области определения, чётности или монотонности, они снова появляются в заданиях о показательной, логарифмической и тригонометрических функциях и о производной. В китайской версии теста используются такие термины:

Термин (по-английски)	中文	Pinyin
функция — function	函数	hánshù
область определения — domain	定义域	dìngyìyù
множество значений — range	值域	zhíyù
кусочно-заданная функция — piecewise function	分段函数	fēnduàn hánshù
сложная функция — composite function	复合函数	fùhé hánshù
возрастающая функция — increasing function	增函数	zēng hánshù
убывающая функция — decreasing function	减函数	jiǎn hánshù
монотонность — monotonicity	单调性	dāndiàoxìng
чётная функция — even function	偶函数	ǒu hánshù
нечётная функция — odd function	奇函数	jī hánshù
периодическая функция — periodic function	周期函数	zhōuqī hánshù
наименьший положительный период — smallest positive period	最小正周期	zuìxiǎo zhèng zhōuqī
обратная функция — inverse function	反函数	fǎn hánshù
параллельный перенос (сдвиг) — translation (shift)	平移	píngyí
ось симметрии — axis of symmetry	对称轴	duìchènzhōu

Основные термины темы на английском и китайском.

Типичные формулировки и способы сэкономить время (около 75 секунд на задание):

Область определения: выпиши все условия (знаменатель, корень чётной степени, логарифм, u⁰) и пересеки их; для f(g(x)) реши m ≤ g(x) ≤ n.
Множество значений и значения кусочной функции: выдели полный квадрат и проверь, лежит ли вершина в промежутке; для кусочной функции сначала выбери кусок и проверяй корни по нему.
«Какая функция чётная/нечётная и возрастает…»: отсей варианты сначала по одному свойству, потом по другому; большинство вариантов выполняет лишь одно.
Значения по чётности и периоду: f(x) = g(x) + c с нечётной g; большие аргументы уменьшай на период; f(x + a) = −f(x) означает период 2a.
Преобразования и обратная функция: переноси одну особую точку; (a; b) на графике f ⇔ (b; a) на графике f⁻¹; область определения f⁻¹ — множество значений f.
Сравнение и f(a) < f(b): переведи аргументы в один промежуток монотонности; для чётной функции сравнивай |a| и |b|.

Главное

Область определения: знаменатель ≠ 0, подкоренное выражение корня чётной степени ≥ 0, аргумент логарифма > 0, для u⁰ нужно u ≠ 0; функции равны, только если совпадают область и правило.
Кусочная функция: сначала выбери кусок и проверь по нему каждый корень; сложная функция: порядок важен, при D(f) = [m; n] решай m ≤ g(x) ≤ n.
Чётная: f(−x) = f(x), симметрия относительно Oy; нечётная: f(−x) = −f(x), симметрия относительно начала координат, f(0) = 0, если определена в 0; область должна быть симметричной.
f(x + T) = f(x): период T; из f(x + a) = −f(x) следует период 2a; монотонность сложной функции: 同增异减.
y = f(x − a) + b: на a вправо, на b вверх (внутри — наоборот); f⁻¹: поменяй x и y, D(f⁻¹) = E(f), графики симметричны относительно y = x.
Чтобы сравнить значения, переведи аргументы в один промежуток монотонности; для чётной функции, возрастающей на [0; +∞), f(a) < f(b) ⇔ |a| < |b|.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какая из этих кривых НЕ является графиком функции y = f(x)?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест