Цепи постоянного тока — CSCA (Китай)

В этом уроке ты узнаешь

Находить силу тока, сопротивление и напряжение по закону Ома и формуле R = ρL/S, читать графики I–U
Упрощать последовательно-параллельные цепи и правильно пользоваться амперметром и вольтметром
Применять закон Ома для полной цепи I = E/(R + r), находить мощность, теплоту Джоуля, КПД и максимальную полезную мощность
Предсказывать, какие показания приборов растут или падают при движении ползунка реостата

Зарядка телефона, фонарик, который тускнеет, когда садятся батарейки, фары машины, на миг тускнеющие при работе стартера, — всё это цепи постоянного тока. В программе CSCA по физике это отдельная тема («Цепи постоянного тока: закон Ома, последовательное и параллельное соединение»), а вопросы по ней повторяются в нескольких видах: общее сопротивление, батарея с внутренним сопротивлением, мощность лампы или двигателя, реостат, у которого сдвигают ползунок. Несколько формул и одна цепочка рассуждений решают почти всё, а числа подобраны так, что калькулятор не нужен. Напряжение U мы ввели в уроке «Электрический потенциал, разность потенциалов и конденсаторы»; здесь заряды наконец движутся.

Сила тока, сопротивление и закон Ома

Электрический ток — упорядоченное движение зарядов. В металлах носители — свободные электроны, но по договорённости направление тока — это направление движения положительных зарядов: вне источника от «+» к «−». Для постоянного тока нужны замкнутая цепь и разность потенциалов, которая гонит заряды по ней.

Определение

Сила тока (电流)

Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени: I = q/t. Единица — ампер, 1 А = 1 Кл/с. Заряд электрона e = 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл, поэтому заряд q переносят N = q/e электронов.

I = q/tI = q/t

где:

Iсила тока, А
qзаряд, прошедший через сечение, Кл
tвремя, с

В китайских учебниках есть и микроскопическая формула I = nqSv: n — число носителей в единице объёма, q — заряд каждого, v — скорость их упорядоченного движения, S — площадь сечения.

Пример 1: сила тока и число электронов

1) Через лампу за 3 минуты проходит заряд 90 Кл. Найдите силу тока.
2) По проводу идёт ток 3,2 А. Сколько электронов проходит через сечение за 1 с? (e = 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл)

Показать решение

1) Сначала переводим: t = 3 мин = 180 с. I = q/t = 90/180 = 0,5 А.
2) q = It = 3,2 Кл, N = q/e = 3,2/(1,6 · 10⁻¹⁹) = 2 · 10¹⁹ электронов.

Определение

Сопротивление (电阻)

Свойство проводника препятствовать току; измеряется как R = U/I. Единица — ом, 1 Ом = 1 В/А. R зависит только от самого проводника (материала, длины, толщины, температуры); если увеличить U или I, R не изменится — отношение U/I его лишь измеряет.

I = U/RI = U/R

где:

Uнапряжение на участке, В
Rсопротивление участка, Ом
Iсила тока на участке, А

Закон Ома для участка цепи (部分电路欧姆定律). Выполняется для металлов и электролитов при постоянной температуре, но не для газового разряда и не для вращающегося двигателя.

Пример 2: закон Ома

1) Через нагреватель при 12 В идёт ток 3 А. Найдите его сопротивление и ток при 6 В.
2) Через резистор при 4 В идёт ток 0,2 А. При каком напряжении ток будет 0,5 А?

Показать решение

1) R = U/I = 12/3 = 4 Ом. R не меняется, поэтому при вдвое меньшем напряжении ток вдвое меньше: I = 6/4 = 1,5 А.
2) R = 4/0,2 = 20 Ом, U = IR = 0,5 · 20 = 10 В. Быстрее через пропорцию: ток растёт в 2,5 раза, значит, и напряжение: 4 · 2,5 = 10 В.

R = ρL/SR = ρL/S

где:

ρудельное сопротивление, Ом · м (зависит от вещества и температуры)
Lдлина проводника, м
Sплощадь поперечного сечения, м²

Чем длиннее проводник, тем больше сопротивление; чем толще — тем меньше. У металлов ρ растёт с температурой (у меди при комнатной температуре ρ ≈ 1,7 · 10⁻⁸ Ом · м — поэтому провода делают из меди).

Пример 3: форма проводника и сопротивление

1) Проволоку сопротивлением R равномерно растянули в 3 раза; её объём не изменился. Найдите новое сопротивление.
2) Проводники A и B из одного металла; у B и длина, и диаметр вдвое больше, чем у A. Найдите R_B : R_A.
3) Почему сопротивление раскалённой нити лампы намного больше, чем холодной?

Показать решение

1) L → 3L, а так как объём LS не меняется, S → S/3. R = ρL/S → ρ(3L)/(S/3) = 9R: растяжение в n раз увеличивает R в n² раз.
2) S ∝ d², поэтому S_B = 4S_A: R_B/R_A = 2/4, R_B : R_A = 1 : 2.
3) Удельное сопротивление металла растёт с температурой, а работающая нить раскалена добела (намного выше 2000 °C). Поэтому R = U/I лампы не постоянно и её график I–U — не прямая.

Вольт-амперная характеристика (伏安特性曲线). Для резистора, подчиняющегося закону Ома, график I от U — прямая через начало координат с угловым коэффициентом 1/R: более крутая прямая соответствует меньшему сопротивлению. На графике U–I (U по вертикали) угловой коэффициент равен самому R — всегда смотри, какая величина на какой оси. График лампы изгибается к оси U, потому что R растёт при нагреве нити; для такой кривой сопротивление в точке — это U/I этой точки, а не наклон касательной.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Меняй U и R. При постоянном R ток I растёт пропорционально U — это и есть прямая I–U омического резистора; при постоянном U удвоение R уменьшает I вдвое.

Пример 4 (в стиле CSCA): два графика I–U

Графики I–U резисторов a и b — прямые, проходящие через начало координат: прямая a проходит через точку (4 В; 2 А), прямая b — через (4 В; 0,5 А). Какое утверждение верно?
A) R_a = 8 Ом B) R_a : R_b = 1 : 4 C) при параллельном соединении I_a : I_b = 1 : 4 D) при последовательном соединении U_a : U_b = 4 : 1

Показать решение

R_a = 4/2 = 2 Ом, R_b = 4/0,5 = 8 Ом, значит, R_a : R_b = 1 : 4 — ответ B.
A) 8 Ом — это U · I, а не U/I. C) При параллельном соединении напряжение общее, токи обратно пропорциональны R: I_a : I_b = 4 : 1. D) При последовательном соединении ток общий, напряжения пропорциональны R: U_a : U_b = 1 : 4. C и D — классические ловушки «перевёрнутого отношения».

Последовательное и параллельное соединение; амперметр и вольтметр

Цепи строятся из двух основных соединений. При последовательном соединении (串联) элементы образуют один путь: через каждый идёт один и тот же ток, а напряжения складываются. При параллельном соединении (并联) элементы подключены между одними и теми же двумя точками: напряжение на них одинаково, а токи складываются.

Величина	Последовательно	Параллельно
Сила тока	I = I₁ = I₂	I = I₁ + I₂
Напряжение	U = U₁ + U₂	U = U₁ = U₂
Общее сопротивление	R = R₁ + R₂	1/R = 1/R₁ + 1/R₂
Распределение	U₁ : U₂ = R₁ : R₂	I₁ : I₂ = R₂ : R₁
Мощность	P₁ : P₂ = R₁ : R₂	P₁ : P₂ = R₂ : R₁

Для двух резисторов; для большего числа элементов правила те же.

Последовательно: R = R₁ + R₂ + … Параллельно: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …Последовательно: R = R₁ + R₂ + … Параллельно: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …

где:

Rэквивалентное (общее) сопротивление
R₁, R₂сопротивления отдельных элементов

Общее сопротивление при последовательном соединении больше наибольшего, при параллельном — меньше наименьшего.

Пример 5: смешанное соединение

1) Резисторы 12 Ом и 4 Ом соединены параллельно, и эта пара включена последовательно с резистором 5 Ом. Всё подключено к идеальному источнику 16 В. Найдите общий ток и ток в каждой ветви.
2) Какие общие сопротивления можно получить из трёх одинаковых резисторов по 9 Ом, используя все три?

Показать решение

1) 12 ∥ 4: R = 12 · 4/(12 + 4) = 3 Ом; всего 3 + 5 = 8 Ом; I = 16/8 = 2 А. На паре U = 2 · 3 = 6 В, поэтому через ветвь 12 Ом идёт 6/12 = 0,5 А, через ветвь 4 Ом — 6/4 = 1,5 А (проверка: 0,5 + 1,5 = 2 А).
2) Все последовательно: 27 Ом; все параллельно: 9/3 = 3 Ом; два параллельно и один последовательно: 4,5 + 9 = 13,5 Ом; два последовательно и параллельно третьему: 18 · 9/27 = 6 Ом.

Короткий путь: цепи за секунды

Два резистора параллельно: R = R₁R₂/(R₁ + R₂) — «произведение на сумму». n одинаковых резисторов R: последовательно nR, параллельно R/n. Общее сопротивление параллельного соединения всегда меньше наименьшей ветви — сразу вычёркивай варианты, где это не так. Думай отношениями: при последовательном соединении напряжение делится пропорционально сопротивлениям, при параллельном ток — обратно пропорционально; часто сам ток находить не нужно.

Амперметр и вольтметр. Амперметр (电流表) измеряет ток через элемент, поэтому включается с ним последовательно; сопротивление идеального амперметра равно нулю. Вольтметр (电压表) измеряет напряжение на элементе, поэтому подключается параллельно; идеальный вольтметр имеет бесконечное сопротивление и не берёт тока. Амперметр, включённый параллельно, закорачивает элемент (и может сгореть); вольтметр, включённый последовательно, почти прекращает ток и показывает почти всё напряжение источника. Реальный вольтметр уменьшает сопротивление участка, к которому подключён, поэтому показывает чуть меньше истинного напряжения.

Оба прибора делают из чувствительного гальванометра (表头) с током полного отклонения I_g и сопротивлением R_g. Малый шунт, подключённый параллельно, превращает его в амперметр с большим пределом, а большое добавочное сопротивление, включённое последовательно, — в вольтметр (电表改装).

Амперметр: R_ш = I_g·R_g/(I − I_g) Вольтметр: R_д = U/I_g − R_gАмперметр: R_ш = I_g·R_g/(I − I_g) Вольтметр: R_д = U/I_g − R_g

где:

I_g, R_gток полного отклонения и сопротивление гальванометра
Iновый предел амперметра
Uновый предел вольтметра
R_ш, R_дшунт (параллельно) и добавочное сопротивление (последовательно)

Чтобы увеличить предел в n раз: шунт R_g/(n − 1), добавочное сопротивление (n − 1)·R_g.

Пример 6: гальванометр как амперметр и вольтметр

У гальванометра I_g = 1 мА, R_g = 90 Ом.
1) Какой резистор и как подключить, чтобы получить амперметр с пределом 10 мА?
2) Какой резистор нужен, чтобы получить вольтметр с пределом 3 В?

Показать решение

1) При полном отклонении через гальванометр идёт 1 мА при напряжении U_g = I_gR_g = 0,09 В. Остальные 9 мА при том же напряжении должен взять шунт: R = 0,09/0,009 = 10 Ом, параллельно (проверка: n = 10, R_g/(n − 1) = 90/9 = 10 Ом).
2) При 3 В ток должен быть 1 мА, значит, общее сопротивление 3/0,001 = 3000 Ом: R = 3000 − 90 = 2910 Ом, последовательно.

ЭДС, полная цепь, мощность и теплота

Источник — батарея или генератор — поддерживает разность потенциалов. Внутри него сторонние (неэлектростатические) силы, в батарее химические, двигают заряды против электрического поля и сообщают им энергию. У источника есть и собственное сопротивление — внутреннее сопротивление r (内阻), поэтому часть энергии всегда теряется внутри него.

Определение

Электродвижущая сила, ЭДС (电动势)

Работа сторонних сил внутри источника в расчёте на единицу заряда: E = W/q, измеряется в вольтах. Равна напряжению на зажимах, когда ток не идёт. В китайских учебниках ЭДС обозначают E, во многих других — ε.

I = E/(R + r) U = E − IrI = E/(R + r) U = E − Ir

где:

EЭДС источника, В
Rсопротивление внешней цепи, Ом
rвнутреннее сопротивление источника, Ом
Uнапряжение на зажимах (路端电压) — напряжение внешней цепи, U = IR

Закон Ома для полной цепи (闭合电路欧姆定律). Разомкнутая цепь (I = 0): U = E. Короткое замыкание (R = 0): I = E/r — опасно большой ток. График U–I источника — прямая: она пересекает ось U в точке E, а модуль её углового коэффициента равен r.

Пример 7: полная цепь

1) К источнику с E = 12 В и r = 1 Ом подключён резистор 5 Ом. Найдите силу тока, напряжение на зажимах и ток короткого замыкания.
2) График U–I батареи — отрезок прямой от (0; 6 В) до (3 А; 0). Найдите E и r.
3) С резистором 4 Ом источник даёт ток 0,5 А, с резистором 1 Ом — 1 А. Найдите E и r.

Показать решение

1) I = 12/(5 + 1) = 2 А; U = IR = 10 В (или E − Ir = 12 − 2); I_кз = E/r = 12 А.
2) При I = 0: U = E = 6 В; наклон даёт r = 6 В/3 А = 2 Ом (ось U здесь начинается с 0, поэтому 3 А — действительно ток короткого замыкания).
3) E = 0,5(4 + r) и E = 1 · (1 + r): 2 + 0,5r = 1 + r → r = 2 Ом, E = 3 В.

Мощность и теплота Джоуля. Когда заряд q проходит напряжение U, поле совершает работу W = qU = UIt, поэтому электрическая мощность любого элемента P = UI. В резисторе вся эта работа переходит в теплоту (закон Джоуля — Ленца, 焦耳定律): Q = I²Rt, и тогда P = I²R = U²/R. В двигателе или заряжаемом аккумуляторе в теплоту переходит лишь часть UI, остальное — в механическую или химическую энергию, и формула I = U/R там не работает.

P = UI Q = I²Rt

где:

Pмощность, Вт
Qколичество теплоты (теплота Джоуля), Дж
tвремя, с

Для чистого резистора: P = I²R = U²/R. Двигатель с сопротивлением обмотки r_M: потребляемая мощность UI, тепловая I²r_M, механическая UI − I²r_M.

Пример 8: лампа и двигатель

1) На лампе написано «6 В, 3 Вт». Найдите её сопротивление и номинальный ток, а также мощность при 3 В (R считать постоянным).
2) Двигатель с обмоткой сопротивлением 0,5 Ом работает при 6 В и потребляет 2 А. Найдите потребляемую мощность, тепловую мощность, механическую мощность и теплоту, выделившуюся за 1 мин.

Показать решение

1) R = U²/P = 36/3 = 12 Ом; I = P/U = 0,5 А. При 3 В: P = U²/R = 9/12 = 0,75 Вт — вдвое меньшее напряжение даёт вчетверо меньшую мощность.
2) P_потр = UI = 12 Вт; P_тепл = I²r = 4 · 0,5 = 2 Вт; P_мех = 12 − 2 = 10 Вт; Q = I²rt = 2 · 60 = 120 Дж. Считать I = U/r = 12 А нельзя: вращающийся двигатель — не омический резистор.

Мощность во всей цепи. Источник развивает полную мощность EI; внешняя цепь получает полезную (выходную) мощность P_пол = UI (输出功率), а I²r теряется внутри источника: EI = UI + I²r. КПД η = P_пол/P_полн = U/E = R/(R + r). Большое сопротивление нагрузки даёт высокий КПД, но малую мощность; малое — большой ток, но большая часть энергии теряется в источнике.

P_пол = E²R/(R + r)² P_max = E²/(4r) при R = r η = R/(R + r)P_пол = E²R/(R + r)² P_max = E²/(4r) при R = r η = R/(R + r)

где:

P_полполезная мощность (во внешней цепи)
P_maxнаибольшая полезная мощность
ηкоэффициент полезного действия (КПД)

Полезная мощность максимальна, когда внешнее сопротивление равно внутреннему; КПД при этом всего 50 %. Две разные нагрузки дают одинаковую полезную мощность, если R₁R₂ = r².

Пример 9 (в стиле CSCA): максимальная полезная мощность

К батарее с E = 6 В и r = 2 Ом подключён реостат R. Какое утверждение верно?
A) Полезная мощность максимальна при R = 0
B) Наибольшая полезная мощность равна 4,5 Вт
C) При наибольшей полезной мощности КПД равен 100 %
D) R = 1 Ом и R = 3 Ом дают одинаковую полезную мощность

Показать решение

P_max = E²/(4r) = 36/8 = 4,5 Вт при R = r = 2 Ом — ответ B.
A) При R = 0 ток наибольший, но U = 0, поэтому P_пол = 0. C) При R = r КПД η = R/(R + r) = 50 %. D) Равные мощности требуют R₁R₂ = r² = 4, например 1 Ом и 4 Ом. Проверка: при R = 1 Ом I = 2 А, P = 4 Вт; при R = 3 Ом I = 1,2 А, P = 4,32 Вт.

Динамические цепи: когда движется ползунок

В очень частом вопросе CSCA ползунок реостата (滑动变阻器) сдвигают, и нужно сказать, какие показания приборов растут, а какие падают. Числа не нужны — только цепочка причин и следствий: от изменившейся части ко всей цепи и обратно к каждой части.

1
Найди, как меняется общее сопротивление
Если увеличивается любое одно сопротивление — последовательное или параллельное, — общее сопротивление внешней цепи тоже растёт, и наоборот.
2
Общий ток и напряжение на зажимах
При росте R ток I = E/(R + r) уменьшается, а U = E − Ir растёт. (Если r = 0, U всегда равно E.)
3
Сначала неизменные части
Постоянный резистор в основной линии: I падает → его U и P падают. Постоянный резистор, параллельный изменяемой части: его напряжение равно U минус напряжения участков основной линии, поэтому оно растёт, растёт и его ток.
4
Изменяемая часть — в последнюю очередь
Её ток — общий ток минус токи других ветвей; её напряжение — то, что осталось. Никогда не рассуждай прямо через её меняющееся R — там меняются и U, и R.

Короткий путь: «последовательно — наоборот, параллельно — так же» (`串反并同`)

Когда одно сопротивление растёт, у каждого элемента, последовательного с ним (на том же пути тока), ток, напряжение и мощность уменьшаются, а у каждого параллельного ему (не на его пути) — увеличиваются; при уменьшении сопротивления — наоборот. Правило работает, если у источника есть внутреннее сопротивление или в основной линии стоит постоянный резистор. В необычной схеме проверь ответ четырьмя шагами.

Цепь примера 10.

Пример 10 (в стиле CSCA): ползунок сдвигают

В показанной цепи источник имеет ЭДС E и внутреннее сопротивление r. R₁ — в основной линии; R₂ подключён параллельно реостату R₃, в ветви которого стоит идеальный амперметр A. Идеальный вольтметр V показывает напряжение на зажимах. Ползунок сдвигают так, что R₃ увеличивается. Как изменятся показания?
A) V и A оба растут B) V растёт, A уменьшается C) V уменьшается, A растёт D) V и A оба уменьшаются

Показать решение

R₃ ↑ → общее сопротивление ↑ → I = E/(R + r) ↓ → U = E − Ir ↑: V растёт.
На параллельной части U₂ = E − I(r + R₁) ↑, значит, I₂ = U₂/R₂ ↑, а I₃ = I − I₂ ↓: A уменьшается. Ответ B.
По 串反并同: амперметр последователен с R₃ (наоборот: вниз); вольтметр не на пути тока R₃ (так же: вверх). A — ловушка «сопротивление выросло — выросло всё», D забывает, что при уменьшении тока напряжение на зажимах растёт.

Типичные ошибки

1) Забывают внутреннее сопротивление: напряжение на зажимах равно E − Ir, а не E. 2) В P = U²/R подставляют ЭДС вместо напряжения на этом резисторе. 3) Применяют I = U/R к вращающемуся двигателю. 4) Принимают наклон прямой I–U за R (он равен 1/R) или читают ток короткого замыкания по графику U–I, где ось U начинается не с 0. 5) Считают, что лампа большей номинальной мощности всегда ярче: при последовательном соединении ярче лампа с большим сопротивлением (меньшей номинальной мощностью). 6) Выбирают общее сопротивление параллельного соединения больше наименьшей ветви.

Как CSCA спрашивает об этом

Общее сопротивление и отношения: упрощай схему шаг за шагом; на вопросы об отношениях отвечай через U ∝ R (последовательно) и I ∝ 1/R (параллельно), без полного расчёта.
Полная цепь: I = E/(R + r), U = E − Ir; два измерения (две нагрузки или две точки графика U–I) дают два уравнения для E и r.
Мощность: по номинальным данным R = U²/P; вдвое меньшее напряжение → вчетверо меньшая мощность; у двигателя раздели UI на теплоту I²r и механическую мощность.
Максимальная полезная мощность: R = r, P_max = E²/(4r), η = 50 %; если R не может стать равным r, выигрывает значение, ближайшее к r; при R₁R₂ = r² мощности равны.
Движущийся ползунок: общее R → I → U → неизменные части → изменяемая часть или 串反并同; иногда спрашивают и «какое изменение больше» (например, напряжение на реостате меняется сильнее, чем на последовательном с ним постоянном резисторе).
Приборы: амперметр последовательно, вольтметр параллельно; шунт делает амперметр, добавочное сопротивление — вольтметр; реальный вольтметр показывает немного меньше.
Экономия времени (около 75 с на вопрос): проверяй единицы (Ом · А = В, В · А = Вт), крайние случаи (R → 0 — короткое замыкание, R → ∞ — разомкнутая цепь) и отбрасывай варианты, нарушающие правило, например общее сопротивление параллельного соединения больше наименьшей ветви.

Экзамен можно сдавать на английском или китайском языке. Термины этого урока на обоих языках:

Термин	中文	Pinyin
электрический ток — electric current	电流	diànliú
напряжение — voltage	电压	diànyā
сопротивление — resistance	电阻	diànzǔ
удельное сопротивление — resistivity	电阻率	diànzǔlǜ
ЭДС — electromotive force (EMF)	电动势	diàndòngshì
внутреннее сопротивление — internal resistance	内阻	nèizǔ
напряжение на зажимах — terminal voltage	路端电压	lùduān diànyā
последовательное соединение — series connection	串联	chuànlián
параллельное соединение — parallel connection	并联	bìnglián
амперметр — ammeter	电流表	diànliúbiǎo
вольтметр — voltmeter	电压表	diànyābiǎo
реостат — rheostat	滑动变阻器	huádòng biànzǔqì
теплота Джоуля — Joule heat	焦耳热	jiāo'ěr rè
полезная мощность — output power	输出功率	shūchū gōnglǜ
короткое замыкание — short circuit	短路	duǎnlù

Главное

I = q/t; для участка цепи I = U/R; R = ρL/S зависит от вещества и формы, а не от U и I.
Последовательно: ток один, напряжения складываются, R = R₁ + R₂; параллельно: напряжение одно, токи складываются, 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ (R меньше наименьшей ветви).
Полная цепь: I = E/(R + r), U = E − Ir; в разомкнутой цепи U = E, при коротком замыкании I = E/r.
Мощность P = UI, теплота Q = I²Rt; у двигателя UI > I²R — разность и есть механическая мощность.
Полезная мощность максимальна, E²/(4r), при R = r; КПД при этом лишь 50 %.
Реостат: R растёт → общий ток падает → напряжение на зажимах растёт; «последовательно — наоборот, параллельно — так же» (串反并同).

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Как подключают идеальный вольтметр и каково его сопротивление?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест