Множества и операции над ними

В этом уроке ты узнаешь

Читать и записывать множества перечислением, условием, промежутками и диаграммами Эйлера–Венна, отличать ∈ от ⊆
Считать подмножества по формуле 2ⁿ и решать задачи с параметром о подмножествах, не забывая пустое множество
Находить объединение, пересечение и дополнение на числовой прямой или диаграмме Эйлера–Венна и считать элементы по формуле включений–исключений
Определять, является ли условие достаточным, необходимым, необходимым и достаточным или ни тем ни другим, сравнивая множества решений

Из 40 учеников класса 25 изучают английский, 18 — китайский, а 8 — оба языка. Сколько учеников не изучает ни одного из них? В сумме 25 + 18 эти 8 человек посчитаны дважды, поэтому хотя бы один язык изучают 35 учеников, а ни одного — 5. Это и есть мышление множествами. Официальная программа CSCA начинает математику именно с множеств, и вопрос о них обычно стоит в начале теста: если обозначения доведены до автоматизма, он занимает меньше минуты. На этом уроке ты научишься записывать множества, считать подмножества, выполнять операции над множествами, считать элементы и читать необходимые и достаточные условия на языке множеств. Решение неравенств, которыми задают множества, — тема следующего урока, «Неравенства: свойства, квадратные и дробно-рациональные неравенства».

Множество и способы его задания

Определение

Множество (集合) и элемент (元素)

Множество — совокупность вполне определённых и различных объектов, его элементов. Запись a ∈ A означает «a принадлежит A», a ∉ A — «не принадлежит». Элементы множества определённы (про любой объект можно сказать, входит ли он в множество), различны (ни один элемент не повторяется) и не упорядочены: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Множество без элементов — пустое множество ∅.

Множество можно задать четырьмя способами. Перечислением (列举法): {1, 2, 3}. Описанием (描述法): {x ∈ R | x > 2} — «все действительные x, для которых x > 2»; буква до черты — представитель множества, и именно она определяет, из каких объектов оно состоит. Промежутками для множеств действительных чисел, например [1; 4) = {x | 1 ≤ x < 4}: квадратная скобка включает конец, круглая — нет, а у ∞ скобка всегда круглая. Диаграммами Эйлера–Венна (Venn 图): универсальное множество U изображают прямоугольником, а множества — кругами внутри него. Числовые множества: N — натуральные числа, N* (или N₊) — целые положительные, Z — целые, Q — рациональные, R — действительные.

Пример 1 (в стиле CSCA): элементы различны

A = {1, a + 2, a²} и 4 ∈ A. Чему равно a?
A) 2 B) −2 C) 2 или −2 D) такого a нет

Показать решение

Либо a + 2 = 4, либо a² = 4.
Если a + 2 = 4, то a = 2, но тогда и a² = 4, и A = {1, 4, 4}: элемент повторяется, значит, a = 2 невозможно.
Если a² = 4, то a = 2 (отброшено) или a = −2, и тогда A = {1, 0, 4} — три различных элемента. Ответ B.
A и C не проверяют различность элементов; D отбрасывает a = −2 слишком поспешно.

Пример 2: что говорит буква перед чертой?

A = {y | y = x² − 2x}, B = {x | y = √(3 − x)}, C = {(x; y) | y = x² − 2x}. Найди A ∩ B и A ∩ C.

Показать решение

A состоит из значений y: y = (x − 1)² − 1 ≥ −1, значит, A = [−1; +∞).
B состоит из допустимых x: 3 − x ≥ 0, значит, B = (−∞; 3].
A ∩ B = [−1; 3].
C — множество точек параболы, а A состоит из чисел, поэтому A ∩ C = ∅. (Область определения и множество значений в общем виде — в уроке «Функции и их свойства».)

Подмножества и их число

Определение

Подмножество (子集) и собственное подмножество (真子集)

A — подмножество B, A ⊆ B, если каждый элемент A принадлежит и B. Если к тому же в B есть элемент, не входящий в A, то A — собственное подмножество B: A ⫋ B (пишут также A ⊊ B или A ⊂ B). A = B тогда и только тогда, когда A ⊆ B и B ⊆ A. Пустое множество — подмножество любого множества и собственное подмножество любого непустого. Не путай два знака: 1 ∈ {1, 2} (элемент), но {1} ⊆ {1, 2} (множество).

подмножеств: 2ⁿ собственных: 2ⁿ − 1 непустых собственных: 2ⁿ − 2

где:

nчисло элементов множества

Каждый элемент либо входит в подмножество, либо нет: 2 варианта на элемент, всего 2ⁿ. Для собственных подмножеств убираем само множество, для непустых собственных — ещё и ∅.

Пример 3: число подмножеств — три быстрых случая

1) Сколько подмножеств у {x ∈ N | x ≤ 3}?
2) Сколько непустых собственных подмножеств у {x ∈ Z | x² ≤ 4}?
3) Сколько существует множеств M, для которых {1, 2} ⊆ M ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}?

Показать решение

1) N содержит 0: множество {0, 1, 2, 3}, n = 4, значит, 16 подмножеств (если забыть 0, получится 8).
2) x² ≤ 4 ⇒ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}, n = 5: 2⁵ − 2 = 30.
3) 1 и 2 обязательно входят в M, свободны только 3, 4, 5: 2³ = 8 множеств.

Пример 4 (в стиле CSCA): не забудь ∅

A = {x | −2 ≤ x ≤ 5}, B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1} и B ⊆ A. Каково множество значений m?
A) 2 ≤ m ≤ 3 B) m ≤ 3 C) −3 ≤ m ≤ 3 D) m < 2

Показать решение

Случай 1, B = ∅: m + 1 > 2m − 1, то есть m < 2. Пустое множество — подмножество A, поэтому все такие m подходят.
Случай 2, B ≠ ∅ (m ≥ 2): нужно m + 1 ≥ −2 и 2m − 1 ≤ 5, то есть m ≥ −3 и m ≤ 3; вместе с m ≥ 2 получаем 2 ≤ m ≤ 3.
Объединение случаев: m ≤ 3, ответ B.
A — классическая ошибка (забыто ∅); C теряет условие m ≥ 2, при котором B непусто; D оставляет только пустой случай.

Объединение, пересечение и дополнение

A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B} A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B} ∁ᵤA = {x | x ∈ U, x ∉ A}

где:

A ∪ Bобъединение (并集) — элементы хотя бы одного из множеств
A ∩ Bпересечение (交集) — элементы, входящие в оба множества
∁ᵤAдополнение (补集) A до универсального множества U (全集); в других книгах Ā или Aᶜ

Объединение — «или», пересечение — «и», дополнение — «не». Дополнение всегда берётся до U; если для числовых множеств U не указано, U = R. Всегда A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B, а равенства A ∩ B = A и A ∪ B = B означают A ⊆ B.

Каждый элемент U лежит ровно в одной из четырёх областей. Если в вопросе даны некоторые области, решай, заполняя диаграмму.

1
Реши каждое условие
Преврати каждое описание в промежуток или объединение промежутков (квадратные и дробные условия — урок «Неравенства: свойства, квадратные и дробно-рациональные неравенства»).
2
Нарисуй одну числовую прямую
Отметь все концы по порядку: закрашенная точка — конец входит, выколотая — не входит.
3
Прочитай операцию
Пересечение — где штриховки накладываются; объединение — где есть хотя бы одна; дополнение — незаштрихованная часть U.
4
Проверь каждый конец
Для каждого конца спроси отдельно: входит ли он в A? в B? Дополнение меняет закрашенные и выколотые точки местами: ∁ᵣ[1; 4) = (−∞; 1) ∪ [4; +∞).

Пример 5: операции с промежутками

U = R, A = [−1; 3), B = (1; 5]. Найди A ∩ B, A ∪ B, ∁ᵣA и (∁ᵣA) ∩ B.

Показать решение

На одной числовой прямой: −1 (закрашена), 1 (выколота), 3 (выколота), 5 (закрашена).
A ∩ B = (1; 3): 1 не входит в B, а 3 — в A.
A ∪ B = [−1; 5]: 3 входит в B, поэтому разрыва нет.
∁ᵣA = (−∞; −1) ∪ [3; +∞): концы меняются.
(∁ᵣA) ∩ B = [3; 5].

Пример 6 (в стиле CSCA): заполни диаграмму

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ (∁ᵤB) = {1, 3}, (∁ᵤA) ∩ B = {2, 6}, ∁ᵤ(A ∪ B) = {5, 8}. Чему равно A?
A) {1, 3} B) {1, 3, 4, 7} C) {4, 7} D) {1, 3, 5, 8}

Показать решение

Даны три области из четырёх; четвёртая, A ∩ B, содержит остальные элементы U: {4, 7}.
A = (только A) ∪ (оба) = {1, 3} ∪ {4, 7} = {1, 3, 4, 7}, ответ B.
Вариант A — только часть A вне B; C — это A ∩ B; D путает «вне B» и «вне обоих».

∁ᵤ(A ∪ B) = (∁ᵤA) ∩ (∁ᵤB) ∁ᵤ(A ∩ B) = (∁ᵤA) ∪ (∁ᵤB)

где:

∁ᵤдополнение до универсального множества U

Законы де Моргана: дополнение превращает объединение в пересечение, а пересечение — в объединение. «Не (A или B)» = «не A и не B».

Пример 7: законы де Моргана экономят время

1) U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}. Найди (∁ᵤA) ∩ (∁ᵤB).
2) U = R, A = (−∞; 2], B = (0; +∞). Найди (∁ᵣA) ∪ (∁ᵣB).

Показать решение

1) Вместо двух дополнений: ∁ᵤ(A ∪ B) = ∁ᵤ{1, …, 6} = {7, 8, 9, 10}.
2) ∁ᵣ(A ∩ B) = ∁ᵣ(0; 2] = (−∞; 0] ∪ (2; +∞). Проверка: ∁ᵣA = (2; +∞), ∁ᵣB = (−∞; 0], их объединение то же самое.

Подсчёт элементов: формула включений–исключений

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

где:

|A|число элементов конечного множества A (пишут также n(A) или card(A))

В сумме |A| + |B| общая часть посчитана дважды, поэтому её вычитают один раз.

Пример 8: два множества

1) Из 50 туристов 32 были в Пекине, 21 — в Шанхае, а 9 — ни в одном из этих городов. Сколько туристов побывало в обоих?
2) Сколько целых чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 5?

Показать решение

1) Хотя бы в одном городе: 50 − 9 = 41 турист. 41 = 32 + 21 − x ⇒ x = 12.
2) Кратных 2 — 50, кратных 5 — 20, кратных обоим (то есть 10) — 10: 50 + 20 − 10 = 60.

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

где:

|A ∩ B ∩ C|число элементов, входящих во все три множества

Сложи одиночные, вычти попарные, добавь тройное: центр трижды прибавлен и трижды вычтен, поэтому его нужно прибавить ещё раз.

Пример 9 (в стиле CSCA): три кружка

В классе 45 учеников: 24 ходят на математический кружок, 20 — на физический, 16 — на химический; 9 — на математику и физику, 7 — на математику и химию, 6 — на физику и химию, а 3 — на все три. Сколько учеников не ходит ни на один кружок?
A) 41 B) 4 C) 7 D) 10

Показать решение

Хотя бы на один кружок ходят 24 + 20 + 16 − 9 − 7 − 6 + 3 = 41 ученик, значит, ни на один — 45 − 41 = 4: B.
C (7) забывает снова прибавить 3 учеников, посещающих все кружки; D (10) вычитает их вместо прибавления; A (41) — ответ на другой вопрос.

Необходимые и достаточные условия

Определение

Достаточное (充分条件) и необходимое (必要条件) условие

Если p ⇒ q (всякий раз, когда p истинно, истинно и q), то p — достаточное условие для q, а q — необходимое условие для p. Если p ⇒ q и q ⇒ p, то есть p ⇔ q, то p — необходимое и достаточное условие для q (充要条件). Чтобы показать, что p ⇒ q неверно, достаточно одного контрпримера.

P ⊆ Q ⇔ (p ⇒ q)

где:

Pмножество всех x, удовлетворяющих p: P = {x | p(x)}
Qмножество всех x, удовлетворяющих q: Q = {x | q(x)}

Картина на языке множеств: условие с меньшим множеством решений влечёт условие с большим. «Малое ⇒ большое»: меньшее множество — достаточное условие, большее — необходимое (в китайских учебниках 小范围推出大范围).

Множества P и Q	p для q — условие
P ⫋ Q	достаточное, но не необходимое (`充分不必要`)
Q ⫋ P	необходимое, но не достаточное (`必要不充分`)
P = Q	необходимое и достаточное (`充要`)
ни одно не содержится в другом	ни достаточное, ни необходимое (`既不充分也不必要`)

В CSCA четыре возможных ответа обычно даны как варианты A–D именно в этом порядке.

Пример 10: какое это условие? Четыре быстрых случая

Каким условием является p для q?
1) p: x > 3, q: x > 1.
2) p: x² = 4, q: x = 2.
3) p: |x − 1| < 2, q: −1 < x < 3.
4) p: xy > 0, q: x > 0 и y > 0.

Показать решение

1) (3; +∞) ⫋ (1; +∞): достаточное, но не необходимое (x = 2 — контрпример к q ⇒ p).
2) P = {−2, 2}, Q = {2}, Q ⫋ P: необходимое, но не достаточное (x = −2).
3) |x − 1| < 2 ⇔ −2 < x − 1 < 2 ⇔ −1 < x < 3 — то же множество: необходимое и достаточное.
4) q ⇒ xy > 0, но при x = y = −1 xy > 0, а q не выполнено: необходимое, но не достаточное.

Пример 11 (в стиле CSCA): параметр и конец промежутка

p: 1 ≤ x ≤ 3; q: x < a. Если p — достаточное, но не необходимое условие для q, каково множество значений a?
A) a ≥ 3 B) a > 3 C) a ≤ 1 D) a > 1

Показать решение

«p достаточно» означает P = [1; 3] ⊆ Q = (−∞; a). Все x до 3 включительно должны удовлетворять x < a: a > 3. Тогда P ⫋ Q автоматически (0 ∈ Q, но 0 ∉ P), то есть p не является необходимым. Ответ B.
A допускает a = 3, но тогда x = 3 лежит в P и не лежит в Q; D обеспечивает лишь пересечение множеств; C путает направление импликации.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Перетащи каждую карточку в её группу и нажми «Проверить». Сравни множества решений P и Q: меньшее множество — достаточное условие.

Как CSCA спрашивает об этом

Операции с промежутками: A задано квадратным неравенством, B — простым условием; найти A ∩ B, A ∪ B или A ∩ ∁ᵣB. Нарисуй одну числовую прямую, концы проверь в последнюю очередь.
Конечные множества с данным U: дополнения и законы де Моргана; если даны три-четыре области, заполни диаграмму Эйлера–Венна.
Число подмножеств: сначала найди n (0 ∈ N, целые числа в промежутке), затем 2ⁿ, 2ⁿ − 1 или 2ⁿ − 2.
Параметры: «B ⊆ A», «A ∩ B = B», «A ∪ B = A» — всё это B ⊆ A: сначала проверь B = ∅; если буква стоит внутри перечисления, проверь различность элементов.
Подсчёт людей: формула включений–исключений или заполненная диаграмма; внимательно прочитай, спрашивают ли «хотя бы один», «ровно один» или «ни одного».
Условия: переведи p и q в множества и сравни их; концы из вариантов проверяй одним значением. Время: трать на такие вопросы 40–60 секунд, чтобы сэкономить время для трудных.

Термин	中文	Pinyin
множество — set	集合	jíhé
элемент — element	元素	yuánsù
пустое множество — empty set	空集	kōngjí
подмножество — subset	子集	zǐjí
собственное подмножество — proper subset	真子集	zhēn zǐjí
универсальное множество — universal set	全集	quánjí
объединение — union	并集	bìngjí
пересечение — intersection	交集	jiāojí
дополнение — complement	补集	bǔjí
промежуток — interval	区间	qūjiān
диаграмма Эйлера–Венна — Venn diagram	Venn 图 / 韦恩图	Venn tú / Wéi’ēn tú
достаточное условие — sufficient condition	充分条件	chōngfèn tiáojiàn
необходимое условие — necessary condition	必要条件	bìyào tiáojiàn
необходимое и достаточное условие — necessary and sufficient condition	充要条件	chōngyào tiáojiàn

Тест сдают на английском или китайском: узнавай термины на обоих языках.

Главное

Элементы множества определённы, различны и не упорядочены; буква перед чертой говорит, из чего состоит множество (числа x, значения y или точки (x; y)); в Китае 0 ∈ N.
У множества из n элементов 2ⁿ подмножеств, 2ⁿ − 1 собственных и 2ⁿ − 2 непустых собственных; ∅ — подмножество любого множества.
A ∪ B — «или», A ∩ B — «и», ∁ᵤA — «в U, но не в A»; дополнение меняет концы промежутков; ∁ᵤ(A ∪ B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|; для трёх множеств сложи одиночные, вычти попарные и прибавь тройное.
p ⇒ q ⇔ P ⊆ Q: меньшее множество — достаточное условие, большее — необходимое; равные множества дают необходимое и достаточное условие.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какое соотношение верно?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест