Всемирное тяготение и спутники

В этом уроке ты узнаешь

Формулировать три закона Кеплера и применять a³/T² = k для тел, обращающихся вокруг одного центра.
С помощью F = Gm₁m₂/r² и GM = gR² находить g на высоте, массу и плотность планеты.
Сравнивать спутники на разных круговых орбитах (v, ω, T, a) и вычислять первую космическую скорость.
Объяснять устройство геостационарной орбиты и изменение скорости и периода при смене орбиты.

Китайская космическая станция «Тяньгун» облетает Землю примерно за полтора часа на высоте около 400 км, а геостационарные спутники навигационной системы «Бэйдоу» словно «висят» над одной точкой экватора. Всех их удерживает одна и та же сила — всемирное тяготение, отличается только радиус орбиты. Этот урок — вторая половина строки программы CSCA «Движение по окружности и всемирное тяготение»: формулу F = mv²/r из урока «Движение по окружности» ты применишь к силе тяготения.

Законы Кеплера

Первый закон (орбиты): каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон (площадей): радиус-вектор от Солнца к планете за равные промежутки времени описывает равные площади. Поэтому в перигелии (近日点) планета движется быстрее всего, а в афелии (远日点) — медленнее всего.
Третий закон (периодов): для всех тел, обращающихся вокруг одного центрального тела, отношение a³/T² одинаково.

a³/T² = ka³/T² = k

где:

aбольшая полуось эллипса (для круговой орбиты — радиус r), м
Tпериод обращения, с
kпостоянная, зависящая только от массы центрального тела: k = GM/(4π²)

Сравнивай только тела, обращающиеся вокруг одного центра: планеты Солнца между собой, спутники Юпитера между собой — но не Луну с Землёй.

Пример 1: расчёты по законам Кеплера

1) Большая полуось орбиты астероида 4 а. е. (1 а. е. — радиус орбиты Земли). Каков его период?
2) Период кометы 125 лет. Какова большая полуось её орбиты?
3) Наименьшее и наибольшее расстояния кометы от Солнца относятся как 1 : 3. Как относятся её скорости в этих точках?

Показать решение

1) Для Земли a = 1 а. е., T = 1 год ⇒ k = 1. T² = a³ = 64 ⇒ T = 8 лет.
2) a³ = T² = 125² ⇒ a = 125^(2/3) = 5² = 25 а. е.
3) На концах большой оси скорость перпендикулярна радиусу, и из второго закона v₁r₁ = v₂r₂ ⇒ v_ближ : v_дальн = 3 : 1.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Далёкие от Солнца планеты и движутся медленнее, и проходят более длинный путь — поэтому T быстро растёт с r: T ~ r^(3/2).

Закон всемирного тяготения Ньютона

Любые два тела притягиваются друг к другу. По третьему закону Ньютона силы равны и противоположны: Земля притягивает Луну ровно с той же силой, с какой Луна притягивает Землю. Формула верна для материальных точек и однородных шаров; для шаров r — расстояние между центрами.

F = G · m₁m₂/r²F = G · m₁m₂/r²

где:

Gгравитационная постоянная, 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг²
m₁, m₂массы тел, кг
rрасстояние между центрами, м

Сила пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния: при удвоении r сила уменьшается в 4 раза.

Пример 2: как меняется сила?

1) Одну из масс увеличили в 3 раза, а расстояние — в 2 раза. Как изменилась F?
2) Два ученика массой по 50 кг стоят на расстоянии 1 м. Оцени силу их притяжения.
3) Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны. Как относятся силы, с которыми они притягивают друг друга, и их ускорения?

Показать решение

1) F′ = F · 3/2² = 3F/4.
2) F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 50 · 50/1² ≈ 1,7 · 10⁻⁷ Н — ощутить невозможно; тяготение заметно только для масс планетного масштаба.
3) Силы равны (третий закон). Так как a = F/m, ускорение Луны в 81 раз больше, чем ускорение Земли.

g на поверхности и на высоте; масса и плотность планеты

На поверхности планеты вес тела равен силе тяготения (вращение планеты не учитываем): mg = GMm/R². Отсюда g = GM/R² и самое полезное в CSCA равенство GM = gR². В китайских учебниках его называют «золотой подстановкой» (黄金代换): если в задаче даны не M и G, а g и R, замени GM на gR².

g = GM/R² GM = gR² g_h = GM/(R + h)² = g · R²/(R + h)²g = GM/R² GM = gR² g_h = GM/(R + h)² = g · R²/(R + h)²

где:

M, Rмасса и радиус планеты
hвысота над поверхностью; расстояние от центра равно R + h
g_hускорение свободного падения на высоте h

g убывает как квадрат расстояния от центра: на 2R — g/4, на 3R — g/9.

Интерактив

Загрузка симуляции…

g_h для Земли (м/с²) в зависимости от x = h/R. При x = 1 (h = R) g уже 2,5 м/с², в 4 раза меньше.

Пример 3: g на высоте и на другой планете

1) На поверхности g = 10 м/с². Каково g на высоте h = 2R?
2) Тело весит на Земле 900 Н. Каков его вес на высоте h = R/2?
3) Масса планеты в 2 раза, а радиус тоже в 2 раза больше земных. Каково g на её поверхности?

Показать решение

1) Расстояние от центра 3R ⇒ g_h = g/9 ≈ 1,1 м/с² (g/4 — ошибка: h приняли за расстояние от центра).
2) Расстояние от центра 1,5R ⇒ вес умножается на 1/1,5² = 4/9: 900 · 4/9 = 400 Н.
3) g ~ M/R² ⇒ g′ = 10 · 2/2² = 5 м/с².

Пример 4 (формат CSCA): g на небольшом спутнике

Масса спутника планеты составляет 1/81 массы Земли, радиус — 1/4 радиуса Земли. На Земле g = 10 м/с². Каково примерно ускорение свободного падения на поверхности спутника?
A) 2,0 м/с² B) 0,5 м/с² C) 0,12 м/с² D) 51 м/с²

Показать решение

g′ = g · (M′/M) · (R/R′)² = 10 · (1/81) · 16 = 160/81 ≈ 2,0 м/с², ответ A.
B — радиус не возвели в квадрат (10 · 4/81), C — забыли радиус (10/81), D — перевернули отношение (10 · 81/16).

M = gR²/G M = 4π²r³/(GT²) ρ = M/(4πR³/3) = 3πr³/(GT²R³); r = R: ρ = 3π/(GT²)M = gR²/G M = 4π²r³/(GT²) ρ = M/(4πR³/3) = 3πr³/(GT²R³); r = R: ρ = 3π/(GT²)

где:

r, Tрадиус и период орбиты спутника (естественного или искусственного)
ρсредняя плотность планеты, кг/м³

Масса самого спутника сокращается — так можно «взвесить» только центральное тело. Для орбиты у самой поверхности плотность определяется одним T.

Пример 5: масса Земли и плотность планеты

1) g = 10 м/с², R = 6,4 · 10⁶ м, G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг². Найди массу Земли.
2) Зонд обращается у самой поверхности планеты с периодом T = 5,0 · 10³ с. Какова средняя плотность планеты (π ≈ 3,14)?

Показать решение

1) M = gR²/G = 10 · 4,1 · 10¹³/(6,67 · 10⁻¹¹) ≈ 6 · 10²⁴ кг.
2) ρ = 3π/(GT²) = 9,42/(6,67 · 10⁻¹¹ · 2,5 · 10⁷) ≈ 9,42/(1,67 · 10⁻³) ≈ 5,7 · 10³ кг/м³ — примерно как плотность Земли.

Искусственные спутники: орбиты, космические скорости, геостационарный спутник

На круговой орбите на спутник действует только сила тяготения, и она играет роль центростремительной: GMm/r² = mv²/r = mω²r = m · 4π²r/T² = ma. Каждое равенство даёт свою формулу, а масса спутника m везде сокращается. Космонавт на борту находится в невесомости (完全失重), потому что он и станция «падают» с одним и тем же ускорением.

v = √(GM/r) ω = √(GM/r³) T = 2π√(r³/(GM)) a = GM/r²v = √(GM/r) ω = √(GM/r³) T = 2π√(r³/(GM)) a = GM/r²

где:

rрадиус орбиты r = R + h (от центра планеты)
Mмасса центрального тела (GM = gR²)

Чем выше орбита, тем меньше v, ω и a и тем больше T.

Пример 6: радиус орбиты и характеристики спутника

1) Радиусы орбит двух спутников относятся как 1 : 4. Как относятся v, ω, T и a?
2) Спутник обращается на высоте h = R. Во сколько раз его скорость меньше, чем у спутника у самой поверхности?
3) Найди период обращения у самой поверхности (g = 10 м/с², R = 6,4 · 10⁶ м, π ≈ 3,14).

Показать решение

1) v ~ 1/√r ⇒ 2 : 1; ω ~ 1/√(r³) ⇒ 8 : 1; T ~ √(r³) ⇒ 1 : 8; a ~ 1/r² ⇒ 16 : 1.
2) r = 2R ⇒ v = √(GM/2R) = v₁/√2 — в √2 раз меньше (≈ 5,6 км/с).
3) T = 2π√(R/g) = 2π√(6,4 · 10⁵) = 2π · 800 ≈ 5,0 · 10³ с ≈ 84 мин — наименьший возможный период спутника Земли.

Пример 7 (формат CSCA): два спутника

Спутники A и B обращаются вокруг Земли по круговым орбитам, r_A < r_B. Какое утверждение верно?
A) v_A < v_B B) T_A > T_B C) a_A > a_B D) ω_A < ω_B

Показать решение

A на нижней орбите движется быстрее, у него больше ω и a и меньше период ⇒ ответ C (a = GM/r²).
A и D — ошибка «больше орбита — больше скорость» (v = ωr при якобы постоянной ω), B переворачивает зависимость T ~ r^(3/2).

Определение

Первая космическая скорость (第一宇宙速度)

Скорость движения по круговой орбите у самой поверхности планеты (r ≈ R). Для Земли ≈ 7,9 км/с. Это наименьшая скорость запуска спутника и наибольшая скорость на круговых орбитах. Вторая космическая скорость (11,2 км/с) — для выхода из поля тяготения Земли, третья (16,7 км/с) — из Солнечной системы.

v₁ = √(GM/R) = √(gR)v₁ = √(GM/R) = √(gR)

где:

Rрадиус планеты, м
gускорение свободного падения на поверхности планеты

mg = mv²/R ⇒ v₁ = √(gR): у поверхности сила тяжести обеспечивает центростремительную силу.

Пример 8: первая космическая скорость

1) g = 10 м/с², R = 6,4 · 10⁶ м. Найди v₁ для Земли.
2) Радиус планеты 3,6 · 10⁶ м, на её поверхности g = 2,5 м/с². Какова её первая космическая скорость?

Показать решение

1) v₁ = √(10 · 6,4 · 10⁶) = √(6,4 · 10⁷) = √(64 · 10⁶) = 8,0 · 10³ м/с (при g = 9,8 — 7,9 км/с).
2) v₁ = √(2,5 · 3,6 · 10⁶) = √(9 · 10⁶) = 3,0 · 10³ м/с.

Определение

Геостационарный спутник (地球同步卫星)

Спутник, который движется в плоскости экватора в направлении вращения Земли с периодом её вращения (≈ 24 ч) и поэтому всегда находится над одной точкой экватора. T задан — значит, задан и r: все геостационарные спутники на одной орбите — r ≈ 4,2 · 10⁴ км ≈ 6,6R (высота ≈ 3,6 · 10⁴ км), v ≈ 3,1 км/с. Массы же могут быть разными.

Смена орбиты. Чтобы перейти на более высокую орбиту, корабль включает двигатель и разгоняется: теперь mv²/r больше силы тяготения, и он поднимается по эллиптической переходной орбите. В дальней точке он снова разгоняется и выходит на новую круговую орбиту — там его скорость меньше, а период больше, чем раньше. Чтобы спуститься, он тормозит. В данной точке ускорение a = GM/r² не зависит от того, на какой орбите корабль, а скорость зависит. Корабль, идущий на стыковку со станцией, стартует с более низкой орбиты и разгоняется; разгон на орбите самой станции поднял бы его выше, и он отстал бы.

Пример 9 (формат CSCA): переходная орбита

Спутник переходит с круговой орбиты 1 в точке P на эллиптическую орбиту 2, а затем в точке Q — на круговую орбиту 3 (r₃ > r₁; P — ближайшая, Q — самая дальняя точка орбиты 2). Какое утверждение верно?
A) В точке Q ускорение на орбите 2 меньше, чем на орбите 3.
B) Скорость на орбите 3 больше, чем на орбите 1.
C) В точке P скорость на орбите 2 больше, чем на орбите 1.
D) Период на орбите 2 больше, чем на орбите 3.

Показать решение

В точке P спутник разгоняется, чтобы перейти на орбиту 2 ⇒ ответ C.
A: в одной точке a = GM/r² одинаково. B: на высокой орбите скорость меньше. D: большая полуось эллипса меньше r₃, поэтому по третьему закону Кеплера и период меньше.

Как CSCA спрашивает эту тему

Вопросы о тяготении в CSCA обычно в два шага: одно уравнение (GMm/r² = …) и одно отношение. На каждый вопрос около 75 секунд. Типичные виды:

законы Кеплера: эллипс и фокус, скорость в перигелии/афелии, период или радиус из a³/T² = k;
как меняется F при изменении расстояния или масс; кто измерил G (Кавендиш);
g на высоте и на другой планете, масса и плотность планеты (GM = gR², ρ = 3π/(GT²));
сравнение двух спутников (v, ω, T, a) — часто по таблице или графику;
первая космическая скорость, «какое утверждение верно?» о геостационарных спутниках, смена орбиты и стыковка.

Термин (по-английски)	中文	Pinyin
всемирное тяготение — universal gravitation	万有引力	wànyǒu yǐnlì
гравитационная постоянная — gravitational constant	引力常量	yǐnlì chángliàng
законы Кеплера — Kepler’s laws	开普勒定律	Kāipǔlè dìnglǜ
эллипс / фокус — ellipse / focus	椭圆 / 焦点	tuǒyuán / jiāodiǎn
большая полуось — semi-major axis	半长轴	bàn chángzhóu
перигелий / афелий — perihelion / aphelion	近日点 / 远日点	jìnrìdiǎn / yuǎnrìdiǎn
спутник / орбита — satellite / orbit	卫星 / 轨道	wèixīng / guǐdào
первая космическая скорость — first cosmic velocity	第一宇宙速度	dì-yī yǔzhòu sùdù
геостационарный спутник — geostationary satellite	地球同步卫星	dìqiú tóngbù wèixīng
невесомость — weightlessness	完全失重	wánquán shīzhòng
плотность — density	密度	mìdù
крутильные весы — torsion balance	扭秤	niǔchèng
смена орбиты — changing orbit	变轨	biànguǐ

Тест сдают на английском или китайском — узнавай термины на обоих языках.

Главное

Кеплер: эллипсы, равные площади (быстрее всего в перигелии), a³/T² = k для одного центрального тела.
F = Gm₁m₂/r², r — между центрами; G измерил Кавендиш.
g = GM/R², GM = gR²; на высоте g_h = gR²/(R + h)².
Масса: M = 4π²r³/(GT²); для орбиты у поверхности ρ = 3π/(GT²).
Спутник: v = √(GM/r), T = 2π√(r³/GM); выше орбита — меньше v, ω, a, больше T; v₁ = √(gR) ≈ 7,9 км/с.
Геостационарный: над экватором, T = 24 ч, все на одном радиусе; чтобы подняться, корабль разгоняется, но на новой орбите его скорость меньше.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какая величина, по третьему закону Кеплера, одинакова для всех планет Солнца?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест