Эллипс — CSCA (Китай)

В этом уроке ты узнаешь

Пользоваться определением эллипса и составлять его каноническое уравнение по данным
Находить по уравнению a, b, c, фокусы, вершины и эксцентриситет
Вычислять периметры и площади фокальных треугольников и фокальные радиусы
Определять расположение прямой и эллипса по дискриминанту, находить длину и середину хорды

Привяжи концы нити к двум булавкам, воткнутым в доску, натяни нить карандашом и веди карандаш по кругу. Сумма расстояний от него до двух булавок всё время равна длине нити, а нарисованная кривая — эллипс. Так садовники размечают овальные клумбы, а планеты движутся по эллипсам, в одном из двух фокусов (особых точек) которых находится Солнце. В программе CSCA эллипс относится к разделу «Аналитическая геометрия на плоскости». Он опирается на урок «Прямые и окружности на координатной плоскости» — окружность есть эллипс, оба фокуса которого слились в центре, — и предшествует урокам «Гипербола» и «Парабола». Здесь ты изучишь определение, оба канонических уравнения, числа a, b, c и e, треугольники с вершинами в фокусах и то, что происходит, когда прямая встречает эллипс.

Определение и канонические уравнения

Определение

Эллипс (椭圆)

Множество всех точек P плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ — фокусов (焦点) — равна постоянному числу 2a, большему расстояния между фокусами: |PF₁| + |PF₂| = 2a > |F₁F₂| = 2c. Расстояние 2c называют фокусным расстоянием (焦距).

Условие 2a > 2c важно. Если 2a = 2c, равенству |PF₁| + |PF₂| = |F₁F₂| удовлетворяют только точки отрезка F₁F₂. Если 2a < 2c, по неравенству треугольника таких точек нет вовсе. CSCA любит проверять именно это.

Откуда берётся уравнение? Расположим фокусы на оси x симметрично относительно начала координат: F₁(−c; 0), F₂(c; 0). Определение записывается так: √((x + c)² + y²) + √((x − c)² + y²) = 2a. Перенесём один корень вправо, возведём в квадрат, упростим и снова возведём в квадрат: (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²). Так как a > c, число a² − c² положительно; обозначим его b² и разделим на a²b².

x²/a² + y²/b² = 1 y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0, b² = a² − c²)x²/a² + y²/b² = 1 y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0, b² = a² − c²)

где:

aбольшая полуось (половина большой оси)
bмалая полуось
cполовина фокусного расстояния: фокусы (±c; 0) в первом уравнении и (0; ±c) во втором

Фокусы лежат на оси большего знаменателя: у x²/16 + y²/25 = 1 число 25 стоит под y², поэтому фокусы на оси y. В китайских учебниках a — всегда большее число (a > b > 0), под какой бы переменной оно ни стояло.

Пример 1: уравнения и фокусы

1) Фокусы (−3; 0) и (3; 0), сумма расстояний равна 10. Запиши уравнение.
2) Где находятся фокусы эллипса x²/7 + y²/16 = 1?
3) У эллипса с фокусами на оси y c = 2, и он проходит через (0; 3). Запиши его уравнение.
4) При каких m уравнение x²/(m − 2) + y²/(6 − m) = 1 задаёт эллипс с фокусами на оси x?

Показать решение

1) 2a = 10, a = 5, c = 3, b² = 25 − 9 = 16: x²/25 + y²/16 = 1.
2) Больший знаменатель 16 стоит под y², значит, фокусы на оси y: c² = 16 − 7 = 9, фокусы (0; ±3).
3) Точка (0; 3) лежит на оси фокусов, значит, это вершина: a = 3, b² = 9 − 4 = 5: y²/9 + x²/5 = 1.
4) Оба знаменателя положительны, а тот, что под x², больше: m − 2 > 6 − m > 0, значит, 4 < m < 6.

Пример 2 (в стиле CSCA): сумма расстояний

F₁(−3; 0) и F₂(3; 0) — неподвижные точки, а точка P движется так, что |PF₁| + |PF₂| = 6. Какова траектория точки P?
A) эллипс B) отрезок F₁F₂ C) окружность D) таких точек нет

Показать решение

Здесь 2a = 6 совпадает с |F₁F₂| = 6, то есть условие 2a > 2c нарушено. Для любой точки P вне отрезка по неравенству треугольника |PF₁| + |PF₂| > |F₁F₂|, а каждая точка отрезка даёт ровно 6. Траектория — отрезок F₁F₂, ответ B.
A — автоматический ответ того, кто не сравнил 2a с 2c. D был бы верен, если бы сумма была меньше 6.

a, b, c: вершины, оси и эксцентриситет

Определение

Вершины, большая и малая оси (顶点, 长轴, 短轴)

Четыре точки, в которых эллипс пересекает свои оси симметрии, — его вершины. Отрезок A₁A₂, проходящий через фокусы, — большая ось (длина 2a), перпендикулярный ему отрезок B₁B₂ — малая ось (длина 2b). Они пересекаются в центре эллипса.

Элемент	x²/a² + y²/b² = 1	y²/a² + x²/b² = 1
Фокусы	(±c; 0)	(0; ±c)
Вершины	(±a; 0), (0; ±b)	(0; ±a), (±b; 0)
Большая ось	на оси x, длина 2a	на оси y, длина 2a
Малая ось	на оси y, длина 2b	на оси x, длина 2b
Границы	\|x\| ≤ a, \|y\| ≤ b	\|x\| ≤ b, \|y\| ≤ a

Оба эллипса симметричны относительно обеих осей и начала координат (своего центра); фокусное расстояние в обоих случаях равно 2c.

a² = b² + c²

где:

aбольшая полуось: расстояние от конца малой оси до фокуса
bмалая полуось
cрасстояние от центра до фокуса

Конец малой оси B₂(0; b) равноудалён от обоих фокусов, а сумма этих расстояний равна 2a, поэтому |B₂F₁| = |B₂F₂| = a. В прямоугольном треугольнике OB₂F₂ катеты b и c, гипотенуза a: в эллипсе a — наибольшее из трёх чисел.

Эллипс x²/a² + y²/b² = 1 с a = 5, b = 3, c = 4 (в масштабе): в треугольнике OB₂F₂ a — гипотенуза.

Пример 3: находим a, b и c

1) Найди вершины, фокусы и длины осей эллипса x²/25 + y²/9 = 1.
2) Приведи 4x² + 9y² = 36 к каноническому виду и найди фокусы.
3) Малая ось равна 8, фокусное расстояние равно 6. Запиши уравнение.

Показать решение

1) a = 5, b = 3, c = √(25 − 9) = 4: вершины (±5; 0), (0; ±3), фокусы (±4; 0), большая ось 10, малая ось 6, фокусное расстояние 8.
2) Разделим на 36: x²/9 + y²/4 = 1; c² = 9 − 4 = 5, фокусы (±√5; 0).
3) b = 4, c = 3, a = 5. Положение фокусов не задано, поэтому ответов два: x²/25 + y²/16 = 1 или y²/25 + x²/16 = 1.

e = c/a = √(1 − b²/a²), 0 < e < 1e = c/a = √(1 − b²/a²), 0 < e < 1

где:

eэксцентриситет (离心率)
a, b, cкак выше

e показывает, насколько эллипс сплюснут. При e → 0 c → 0 и b → a: эллипс превращается в окружность. При e → 1 b → 0, и эллипс сплющивается к отрезку. Отношение осей b/a = √(1 − e²).

Пример 4: эксцентриситет

1) Найди e для x²/16 + y²/12 = 1.
2) Малая полуось равна половине фокусного расстояния (b = c). Найди e.
3) Фокусы делят большую ось A₁A₂ на три равные части. Найди e.

Показать решение

1) c² = 16 − 12 = 4, c = 2, e = 2/4 = 1/2.
2) a² = b² + c² = 2c², значит, a = √2·c и e = c/a = √2/2.
3) |A₁F₁| = |F₁F₂| = |F₂A₂| = 2a/3, поэтому 2c = 2a/3 и e = 1/3.

Пример 5 (в стиле CSCA): эксцентриситет с параметром

Эксцентриситет эллипса x²/9 + y²/m = 1 равен √3/2. Чему равно m?
A) 9/4 B) 36 C) 9/4 или 36 D) 27/4

Показать решение

Какая ось большая, не сказано, поэтому проверим оба случая.
Если m < 9: a² = 9, c² = 9 − m, и из e² = (9 − m)/9 = 3/4 получаем m = 9/4.
Если m > 9: a² = m, c² = m − 9, и из e² = (m − 9)/m = 3/4 получаем m = 36. Ответ C.
A и B учитывают только один случай. D подставляет b² вместо c² в e² = c²/a²: m/9 = 3/4.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Здесь a — полуось вдоль оси x, b — вдоль оси y. Держи a > b: чем сильнее сплюснут эллипс, тем больше e = √(1 − b²/a²), а при a = b получается окружность. Прямая y = kx + m касается эллипса при m² = a²k² + b² (см. короткий путь ниже): для a = 4, b = 2 и k = 0,5 это m = ±2√2 ≈ ±2,83.

Фокальные треугольники

Соединим точку P эллипса с обоими фокусами: треугольник PF₁F₂ называют фокальным треугольником (焦点三角形). Две его стороны связаны определением, |PF₁| + |PF₂| = 2a, а третья постоянна, |F₁F₂| = 2c. Почти любая задача о нём решается этими двумя фактами и теоремой косинусов из урока «Решение треугольников: теорема синусов и теорема косинусов».

периметр △PF₁F₂ = 2a + 2c периметр △ABF₂ = 4a (хорда AB проходит через F₁)

где:

Pлюбая точка эллипса (кроме концов большой оси)
ABхорда, проходящая через фокус F₁

Для хорды: |AF₁| + |AF₂| = 2a и |BF₁| + |BF₂| = 2a, а |AF₁| + |BF₁| = |AB|. Сложив, получаем |AB| + |AF₂| + |BF₂| = 4a при любом направлении хорды.

Пример 6: периметры и расстояния до фокусов

1) Найди периметр △PF₁F₂ для эллипса x²/25 + y²/16 = 1.
2) Хорда AB эллипса x²/4 + y²/3 = 1 проходит через F₁. Найди периметр △ABF₂.
3) Точка P лежит на эллипсе x²/16 + y²/12 = 1, и |PF₁| = 3|PF₂|. Найди |PF₁| и |PF₂|.

Показать решение

1) a = 5, c = 3: 10 + 6 = 16.
2) a = 2, поэтому периметр при любом направлении хорды равен 4a = 8.
3) |PF₁| + |PF₂| = 2a = 8 и |PF₁| = 3|PF₂|, значит, |PF₂| = 2, |PF₁| = 6. Так как a − c = 4 − 2 = 2 — наименьшее возможное расстояние до фокуса (см. ниже), P — правая вершина (4; 0).

a − c ≤ |PF₁| ≤ a + c |PF₁| = a + ex₀, |PF₂| = a − ex₀

где:

P(x₀; y₀)точка эллипса x²/a² + y²/b² = 1
F₁(−c; 0), F₂(c; 0)левый и правый фокусы
eэксцентриситет

Расстояние от точки эллипса до фокуса называют фокальным радиусом (焦半径). Подстановка y₀² = b²(1 − x₀²/a²) в |PF₂|² = (x₀ − c)² + y₀² даёт (a − ex₀)², то есть фокальный радиус линейно зависит от x₀: он наименьший, a − c, в ближайшей к фокусу вершине и наибольший, a + c, в дальней.

Пример 7: фокальные радиусы

1) Точка P лежит на эллипсе x²/25 + y²/9 = 1, её абсцисса равна 5/2. Найди |PF₁| и |PF₂|.
2) Каковы наибольшее и наименьшее расстояния от точки эллипса x²/49 + y²/40 = 1 до фокуса?

Показать решение

1) c = 4, e = 4/5: |PF₁| = 5 + (4/5)(5/2) = 7, |PF₂| = 5 − 2 = 3. Проверка: 7 + 3 = 10 = 2a ✓.
2) c² = 49 − 40 = 9, c = 3: наибольшее a + c = 10, наименьшее a − c = 4, на концах большой оси.

S = b² · tg(θ/2), θ = ∠F₁PF₂S = b² · tg(θ/2), θ = ∠F₁PF₂

где:

Sплощадь треугольника PF₁F₂
θугол при вершине P
bмалая полуось

Вывод: пусть m = |PF₁|, n = |PF₂|. Теорема косинусов даёт 4c² = m² + n² − 2mn cos θ = (m + n)² − 2mn(1 + cos θ) = 4a² − 2mn(1 + cos θ), откуда mn = 2b²/(1 + cos θ). Тогда S = ½mn sin θ = b² sin θ/(1 + cos θ) = b² tg(θ/2). При θ = 90°: S = b².

Пример 8 (в стиле CSCA): площадь фокального треугольника

Точка P лежит на эллипсе x²/9 + y²/4 = 1 с фокусами F₁ и F₂, и ∠F₁PF₂ = 60°. Чему равна площадь треугольника F₁PF₂?
A) 4√3/3 B) 4√3 C) 2√3 D) 4

Показать решение

S = b² tg(θ/2) = 4 · tg 30° = 4 · √3/3 = 4√3/3, ответ A.
B берёт tg 60° вместо tg 30°; D — это b², площадь для прямого угла. Проверка без формулы: m + n = 6 и 4c² = 20 = (m + n)² − 3mn = 36 − 3mn, откуда mn = 16/3 и S = ½ · (16/3) · (√3/2) = 4√3/3 ✓.

Пример 9: прямой угол при P

1) Точка P лежит на эллипсе x²/49 + y²/24 = 1, и PF₁ ⊥ PF₂. Найди площадь △F₁PF₂ и длины |PF₁| и |PF₂|.
2) Есть ли на эллипсе x²/9 + y²/5 = 1 точка P, для которой PF₁ ⊥ PF₂?

Показать решение

1) a = 7, b² = 24, c = 5. S = b² = 24. Кроме того, mn = 2b² = 48 и m + n = 14, значит, m и n — корни уравнения t² − 14t + 48 = 0: 8 и 6 — прямоугольный треугольник 6-8-10 с гипотенузой 2c = 10.
2) Точки P с ∠F₁PF₂ = 90° лежат на окружности с диаметром F₁F₂, радиус которой c. Здесь c = 2 < b = √5, поэтому эта окружность целиком внутри эллипса: такой точки нет. Наибольший угол F₁PF₂, который достигается на конце малой оси, меньше 90°.

Прямая и эллипс

Точка P(x₀; y₀) лежит внутри эллипса x²/a² + y²/b² = 1, если x₀²/a² + y₀²/b² < 1, на нём, если сумма равна 1, и вне его, если она больше 1. Прямая имеет с эллипсом не более двух общих точек. Какой случай имеет место, решает квадратное уравнение: приём с расстоянием, как у окружности, для эллипса не работает.

1
Подставь
Подставь y = kx + m в уравнение эллипса и избавься от знаменателей: (b² + a²k²)x² + 2a²kmx + a²(m² − b²) = 0.
2
Дискриминант
Δ > 0: две общие точки (секущая); Δ = 0: одна общая точка (касательная); Δ < 0: общих точек нет.
3
Теорема Виета
Для секущей x₁ + x₂ = −2a²km/(b² + a²k²), x₁x₂ = a²(m² − b²)/(b² + a²k²); абсцисса середины хорды равна (x₁ + x₂)/2.
4
Длина хорды
|AB| = √(1 + k²) · √((x₁ + x₂)² − 4x₁x₂) — сами корни находить не нужно.

|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂|

где:

kугловой коэффициент прямой
x₁, x₂абсциссы точек A и B

Та же формула длины хорды годится для любой кривой, в том числе для параболы и гиперболы; |x₁ − x₂| находят по теореме Виета, не решая уравнение.

Пример 10: прямая и эллипс

Даны прямая y = x + m и эллипс x²/4 + y² = 1.
1) При каких m у них две общие точки?
2) Найди длину хорды при m = 1.
3) Найди середину этой хорды.

Показать решение

Подставим: x²/4 + (x + m)² = 1, то есть 5x² + 8mx + 4m² − 4 = 0.
1) Δ = 64m² − 20(4m² − 4) = 80 − 16m² > 0, значит, m² < 5: −√5 < m < √5 (m = ±√5 дают две касательные).
2) При m = 1: 5x² + 8x = 0, x₁ = 0, x₂ = −8/5 и |AB| = √2 · 8/5 = 8√2/5.
3) x = (x₁ + x₂)/2 = −4/5 и y = x + 1 = 1/5: середина (−4/5; 1/5).

Короткий путь: касательные и середины хорд

1) Прямая y = kx + m касается x²/a² + y²/b² = 1 тогда и только тогда, когда m² = a²k² + b² — это расписанное условие Δ = 0. Проверка: для x²/4 + y² = 1 и k = 1 m² = 4 + 1 = 5 ✓. 2) Если середина хорды — M(x₀; y₀), её угловой коэффициент k = −b²x₀/(a²y₀): запиши уравнение эллипса для обоих концов и вычти (点差法, метод разности точек). Проверка по примеру 10: M(−4/5; 1/5) даёт k = −1 · (−4/5)/(4 · 1/5) = 1 ✓. 3) Прямая через неподвижную точку внутри эллипса всегда пересекает его в двух точках.

Пример 11 (в стиле CSCA): прямые, не пересекающие эллипс

Прямая y = kx + 2 не имеет общих точек с эллипсом x²/2 + y² = 1. В каком промежутке лежит k?
A) −√6/2 < k < √6/2 B) k < −√6/2 или k > √6/2 C) −√2 < k < √2 D) k ≠ 0

Показать решение

Подставим: x² + 2(kx + 2)² = 2, то есть (1 + 2k²)x² + 8kx + 6 = 0. Отсутствие общих точек означает Δ = 64k² − 24(1 + 2k²) = 16k² − 24 < 0, откуда k² < 3/2 и −√6/2 < k < √6/2, ответ A. Короткий путь: m² = a²k² + b² даёт касательные: 4 = 2k² + 1, k² = 3/2.
B — случай секущей (Δ > 0). C путает местами a² и b² в условии касания. Помогает рисунок: точка (0; 2) вне эллипса, пологие прямые через неё проходят мимо эллипса, а крутые его пересекают.

Типичные ошибки с эллипсом

1) Брать a из первого знаменателя: у x²/9 + y²/25 = 1 a² = 25, и фокусы на оси y. 2) Писать c² = a² + b² (это гипербола) или c = a − b. 3) Считать фокусным расстоянием (焦距) c: оно равно 2c; так же и большая ось равна 2a, а не a. 4) Давать одно уравнение, когда положение фокусов не задано, или одно значение параметра. 5) Забывать, что определение требует 2a > |F₁F₂|. 6) Брать в формуле площади tg θ вместо tg(θ/2) или думать, что прямой угол при P возможен всегда (нужно c ≥ b). 7) Терять множитель √(1 + k²) в длине хорды.

Как CSCA спрашивает об этом

Каноническое уравнение: найди из данных a и c (или b); фокусы лежат на оси большего знаменателя; если их положение не задано, запиши оба варианта.
Параметры: x²/m + y²/n = 1 — эллипс при m > 0, n > 0 и m ≠ n; его фокусы на оси x при m > n.
Эксцентриситет: переводи каждое условие в соотношение между a, b и c, пользуйся a² = b² + c² и проверяй, что 0 < e < 1.
Определение и фокальные треугольники: |PF₁| + |PF₂| = 2a; периметры 2a + 2c и 4a; площадь b² tg(θ/2); расстояние до фокуса лежит между a − c и a + c.
Прямая и эллипс: подставляй, используй Δ и теорему Виета; хорда √(1 + k²)|x₁ − x₂|; касание при m² = a²k² + b²; угловой коэффициент по середине хорды −b²x₀/(a²y₀).
Экономия времени (около 75 с на вопрос): проверяй варианты — данная в задаче точка должна удовлетворять выбранному уравнению; при e ≥ 1 эллипса не бывает; быстрый набросок показывает, какая ось большая.

Экзамен можно сдавать на английском или китайском языке. Термины этого урока на обоих языках:

Термин	中文	Pinyin
эллипс — ellipse	椭圆	tuǒyuán
фокус — focus (мн. ч. foci)	焦点	jiāodiǎn
фокусное расстояние (2c) — focal distance	焦距	jiāojù
большая ось — major axis	长轴	chángzhóu
малая ось — minor axis	短轴	duǎnzhóu
вершина — vertex	顶点	dǐngdiǎn
эксцентриситет — eccentricity	离心率	líxīnlǜ
каноническое уравнение — standard equation	标准方程	biāozhǔn fāngchéng
фокальный треугольник — focal triangle	焦点三角形	jiāodiǎn sānjiǎoxíng
фокальный радиус — focal radius	焦半径	jiāobànjìng
траектория, геометрическое место точек — locus	轨迹	guǐjì
середина хорды — midpoint of a chord	弦的中点	xián de zhōngdiǎn
дискриминант — discriminant	判别式	pànbiéshì

Главное

Определение: |PF₁| + |PF₂| = 2a > |F₁F₂| = 2c; при 2a = 2c траектория — отрезок F₁F₂, при 2a < 2c таких точек нет.
x²/a² + y²/b² = 1 или y²/a² + x²/b² = 1, a > b > 0; фокусы лежат на оси большего знаменателя.
a² = b² + c² (a — гипотенуза); большая ось 2a, малая ось 2b, фокусное расстояние 2c.
e = c/a = √(1 − b²/a²), 0 < e < 1; чем больше e, тем более сплюснут эллипс.
Фокальный треугольник: периметр 2a + 2c, над фокальной хордой 4a, площадь b² tg(θ/2); a − c ≤ |PF| ≤ a + c.
Прямая и эллипс: подставь и используй Δ; хорда √(1 + k²)|x₁ − x₂|; y = kx + m — касательная при m² = a²k² + b².

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Для эллипса x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) с фокусами (±c; 0) какое соотношение верно?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест