Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Средний28 мин8 / 68

Графики тригонометрических функций

Графики sin, cos и tg для CSCA: период, симметрия, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения; y = A sin(ωx + φ) + b — как прочитать A, ω, φ по графику, сдвиги и сжатия; простейшие тригонометрические уравнения и неравенства на промежутке.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Описывать графики y = sin x, y = cos x и y = tg x: период, чётность, оси и центры симметрии, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения.
  • Находить период, наибольшее и наименьшее значения, промежутки монотонности и симметрию y = A sin(ωx + φ) + b, рассматривая ωx + φ как одну переменную.
  • Читать A, ω, φ и b по графику и получать график из y = sin x сдвигами и сжатиями в любом порядке.
  • Решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства на заданном промежутке с помощью графика или единичной окружности.

Приливы и отливы, переменный ток, точка на вращающемся колесе — всё, что повторяется, описывается синусоидой. В китайских учебниках эта тема называется 三角函数的图像与性质 (графики и свойства тригонометрических функций), и в заданиях в стиле CSCA она проверяется сразу в нескольких вопросах: период, где функция возрастает, какая прямая является осью симметрии, как был сдвинут график. В этом уроке ты научишься отвечать на такие вопросы по графику почти без вычислений. Значения особых углов, тождества и формула a sin x + b cos x = R sin(x + φ) — в уроке «Тригонометрические функции и тождества», общие сдвиги и растяжения графиков — в уроке «Функции и их свойства».

Графики sin x, cos x и tg x

Определение
Периодическая функция и наименьший положительный период

Функция f называется периодической с периодом T ≠ 0, если f(x + T) = f(x) для любого x из области определения. Наименьший положительный период (最小正周期) в вопросах CSCA называют просто «периодом»: 2π у sin x и cos x, π у tg x.

«Развернём» единичную окружность: точка угла x имеет координаты (cos x; sin x), поэтому, пока x пробегает от 0 до 2π, высота sin x проходит путь 0 → 1 → 0 → −1 → 0. Это синусоида (正弦曲线). Китайские школьники строят один период методом пяти точек (五点法): x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π со значениями 0, 1, 0, −1, 0. Косинусоида — та же волна, сдвинутая влево на π/2, ведь cos x = sin(x + π/2); её пять значений 1, 0, −1, 0, 1. Тангенсоида устроена иначе: она не ограничена и разрывается в точках x = π/2 + kπ, где cos x = 0; эти прямые — её вертикальные асимптоты.

Свойствоy = sin xy = cos xy = tg x
Область определенияℝℝx ≠ π/2 + kπ
Множество значений[−1; 1][−1; 1]ℝ
Период2π2ππ
Чётностьнечётнаячётнаянечётная
Наибольшее значение 1 приx = π/2 + 2kπx = 2kπ—
Наименьшее значение −1 приx = −π/2 + 2kπx = π + 2kπ—
Возрастает на[−π/2 + 2kπ; π/2 + 2kπ][−π + 2kπ; 2kπ](−π/2 + kπ; π/2 + kπ)
Убывает на[π/2 + 2kπ; 3π/2 + 2kπ][2kπ; π + 2kπ]—
Оси симметрииx = π/2 + kπx = kπнет
Центры симметрии(kπ; 0)(π/2 + kπ; 0)(kπ/2; 0)
Везде k ∈ Z. В ответах промежутки монотонности записывают с k: «промежутки возрастания [−π/2 + 2kπ; π/2 + 2kπ], k ∈ Z».
ось симметрии: x = x₀ ⇔ f(x₀) = ±1 центр симметрии: (x₀; 0) ⇔ f(x₀) = 0
где:
  • x₀абсцисса точки кривой y = sin x или y = cos x (и вообще любой синусоиды)
  • ±1наибольшее или наименьшее значение: оси проходят через вершины и впадины
  • 0значение на средней линии: центры симметрии — нули кривой

У sin x оси x = π/2 + kπ и центры (kπ; 0); у cos x оси x = kπ и центры (π/2 + kπ; 0). Соседние оси отстоят на T/2, ось и ближайший центр — на T/4. У тангенсоиды осей нет, а центры — точки (kπ/2; 0).

Разобранные примеры: чтение основных графиков

1) Где на [0; 2π] возрастает y = sin x и где убывает y = cos x?
2) Расположи sin 1, sin 2 и sin 3 в порядке возрастания (углы в радианах).
3) Возрастает ли y = tg x на всей области определения? Является ли прямая x = π/4 осью симметрии графика y = sin x?

Показать решение
1) sin x возрастает на [0; π/2] (от 0 до 1) и на [3π/2; 2π] (от −1 снова до 0); cos x убывает на [0; π], от 1 до −1.
2) Переведём каждый угол в [0; π/2], где синус возрастает: sin 2 = sin(π − 2) ≈ sin 1,14 и sin 3 = sin(π − 3) ≈ sin 0,14. Так как 0,14 < 1 < 1,14: sin 3 < sin 1 < sin 2.
3) Нет: tg(π/4) = 1, а tg(3π/4) = −1, хотя 3π/4 > π/4. Тангенс возрастает только на каждом интервале (−π/2 + kπ; π/2 + kπ). А sin(π/4) = √2/2 не равен ни 1, ни −1, поэтому x = π/4 не ось; ближайшая ось — x = π/2.

y = A sin(ωx + φ) + b: амплитуда, период, фаза

Определение
Амплитуда, период и фаза

Для y = A sin(ωx + φ) + b при A > 0 и ω > 0: A — амплитуда (振幅), T = 2π/ω — период, f = 1/T — частота (频率), ωx + φ — фаза (相位), φ — начальная фаза (初相), то есть фаза при x = 0. Прямая y = b — средняя линия: график колеблется между b − A и b + A.

T = 2π/ω ymax = b + A ymin = b − AT = 2π/ω ymax = b + A ymin = b − A
где:
  • Aамплитуда (A > 0); при A < 0 берут |A| — наибольшее и наименьшее значения меняются местами
  • ωциклическая частота (ω > 0); только она задаёт период
  • φначальная фаза; сдвигает график вбок, но не меняет T
  • bвертикальный сдвиг: средняя линия y = b

В общем случае T = 2π/|ω|. Те же формулы верны для y = A cos(ωx + φ) + b; для y = A tg(ωx + φ) период равен π/|ω|.

Разобранные примеры: период, наибольшее и наименьшее значения

1) y = 3 sin(2x − π/3) + 1: найди период, наибольшее и наименьшее значения и точки, где они достигаются.
2) y = −2 cos(x/2): найди период и точки максимума.
3) y = tg(3x + π/4): найди период и область определения.

Показать решение
1) T = 2π/2 = π. Наибольшее значение 1 + 3 = 4 при 2x − π/3 = π/2 + 2kπ, то есть x = 5π/12 + kπ; наименьшее 1 − 3 = −2 при 2x − π/3 = −π/2 + 2kπ, то есть x = −π/12 + kπ.
2) T = 2π ÷ (1/2) = 4π. Так как A = −2 < 0, максимум 2 достигается там, где cos(x/2) = −1: x/2 = π + 2kπ, x = 2π + 4kπ.
3) T = π/3. Для тангенса нужно 3x + π/4 ≠ π/2 + kπ, то есть 3x ≠ π/4 + kπ и x ≠ π/12 + kπ/3.

Чтобы найти промежутки монотонности, оси и центры y = A sin(ωx + φ), китайские учебники используют замену целиком (整体代换): обозначь t = ωx + φ, выпиши из таблицы известное условие для sin t и реши его относительно x.

возрастает: −π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ π/2 + 2kπ ось: ωx + φ = π/2 + kπ центр: ωx + φ = kπвозрастает: −π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ π/2 + 2kπ ось: ωx + φ = π/2 + kπ центр: ωx + φ = kπ
где:
  • ωx + φфаза, которую рассматривают как одну переменную t
  • kлюбое целое число (k ∈ Z)

При A > 0, ω > 0. Убывает: π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ 3π/2 + 2kπ. Для косинуса берут условия косинуса: возрастает при −π + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ 2kπ, ось ωx + φ = kπ, центр ωx + φ = π/2 + kπ.

Разобранные примеры: замена целиком

1) Найди промежутки возрастания y = 2 sin(2x + π/6).
2) Найди оси и центры симметрии графика y = sin(2x − π/4).
3) Найди множество значений y = 2 sin(2x + π/6) при x ∈ [0; π/2].

Показать решение
1) −π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/6 ≤ π/2 + 2kπ ⇒ −2π/3 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/3 + 2kπ ⇒ [−π/3 + kπ; π/6 + kπ], k ∈ Z.
2) Оси: 2x − π/4 = π/2 + kπ ⇒ x = 3π/8 + kπ/2. Центры: 2x − π/4 = kπ ⇒ x = π/8 + kπ/2, то есть точки (π/8 + kπ/2; 0).
3) При x ∈ [0; π/2] фаза t = 2x + π/6 пробегает [π/6; 7π/6]. Там sin t растёт от 1/2 до 1 (при t = π/2) и убывает до −1/2, поэтому sin t ∈ [−1/2; 1] и y ∈ [−1; 2]. Одни лишь значения на концах, y(0) = 1 и y(π/2) = −1, пропустили бы максимум внутри.
Вопрос в стиле CSCA

f(x) = 2 cos(2x − π/3). Какое утверждение верно?
A) Наименьший положительный период f равен 2π.
B) График f симметричен относительно прямой x = π/6.
C) f убывает на [0; π/2].
D) Точка (π/6; 0) — центр симметрии графика f.

Показать решение
f(π/6) = 2 cos 0 = 2 — наибольшее значение, значит, x = π/6 — ось симметрии: B. A: T = 2π/2 = π. C: при x ∈ [0; π/2] фаза пробегает [−π/3; 2π/3] и проходит через 0, где у косинуса максимум, поэтому f сначала возрастает, а потом убывает. D — классическая путаница оси и центра: центр должен лежать на средней линии, а f(π/6) = 2.

Чтение графика и его преобразования

  1. 1
    A и b — по высотам

    A = (max − min)/2 и b = (max + min)/2.

  2. 2
    ω — по горизонтальным расстояниям

    От максимума до следующего минимума — T/2, от точки на средней линии до следующего максимума — T/4. Затем ω = 2π/T.

  3. 3
    φ — по одной известной точке

    Лучше всего наивысшая точка (x₁; max): ωx₁ + φ = π/2 + 2kπ. Или точка на средней линии, где график идёт вверх: ωx₀ + φ = 2kπ. Точка средней линии, где график идёт вниз, даёт ωx₀ + φ = π + 2kπ — их легко перепутать, поэтому проверь направление.

  4. 4
    Выбери k по условию на φ

    Возьми то k, при котором φ попадает в заданный промежуток (например, |φ| < π/2), и проверь ещё одну точку графика.

T/2(π/6; 3)(2π/3; −1)y = 1Oxy
Наивысшую точку и следующую наинизшую разделяет полпериода; средняя линия проходит ровно посередине между ними.
Разобранные примеры: от графика к формуле

1) График y = A sin(ωx + φ) + b (A > 0, ω > 0, |φ| < π/2) имеет наивысшую точку (π/6; 3), а следующая наинизшая точка — (2π/3; −1) (см. рисунок). Найди функцию.
2) График y = 2 sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) идёт вверх через точку (π/8; 0), а следующая наивысшая точка — (3π/8; 2). Найди ω и φ.

Показать решение
1) A = (3 − (−1))/2 = 2, b = (3 + (−1))/2 = 1. T/2 = 2π/3 − π/6 = π/2, значит, T = π и ω = 2. В наивысшей точке 2 · π/6 + φ = π/2 + 2kπ ⇒ φ = π/6 + 2kπ, а условие |φ| < π/2 даёт φ = π/6: y = 2 sin(2x + π/6) + 1. Проверка: при x = 2π/3 фаза равна 3π/2 и y = 2 · (−1) + 1 = −1 ✓.
2) T/4 = 3π/8 − π/8 = π/4, значит, T = π и ω = 2. График идёт вверх через (π/8; 0): 2 · π/8 + φ = 2kπ ⇒ φ = −π/4. Итак, y = 2 sin(2x − π/4).
y = sin x → y = sin(x + φ) → y = sin(ωx + φ) → y = A sin(ωx + φ) + b
где:
  • x + φсдвиг влево на φ при φ > 0 и вправо на |φ| при φ < 0: «влево — плюс, вправо — минус» (左加右减)
  • ωxабсциссы умножаются на 1/ω (ординаты не меняются): сжатие при ω > 1, растяжение при 0 < ω < 1
  • A, bординаты умножаются на A, затем график поднимается на b: «вверх — плюс, вниз — минус» (上加下减)

Возможен и другой порядок — сначала сжатие, потом сдвиг, — но тогда сдвиг равен φ/ω, так как sin(ωx + φ) = sin ω(x + φ/ω): сдвиг всегда действует на сам x, а не на ωx.

Разобранные примеры: сдвиги и сжатия

1) Как сдвинуть график y = sin 3x, чтобы получить график y = sin(3x − π/4)?
2) Получи y = sin(2x + π/3) из y = sin x в обоих порядках.
3) График y = cos 2x сдвинули вправо на π/8. Запиши новую функцию.

Показать решение
1) sin(3x − π/4) = sin 3(x − π/12): сдвиг вправо на π/12, а не на π/4.
2) Сначала сдвиг: влево на π/3 — получаем y = sin(x + π/3); уменьшив абсциссы вдвое, получаем y = sin(2x + π/3). Сначала сжатие: уменьшение абсцисс вдвое даёт y = sin 2x; затем сдвиг влево на π/6: sin 2(x + π/6) = sin(2x + π/3).
3) Заменим x на x − π/8: y = cos 2(x − π/8) = cos(2x − π/4).
Вопрос в стиле CSCA

Как можно сдвинуть график y = cos 2x, чтобы получить график y = sin 2x?
A) Влево на π/4 B) Вправо на π/4 C) Вправо на π/2 D) Влево на π/2

Показать решение
cos 2(x − π/4) = cos(2x − π/2) = sin 2x, значит, сдвиг вправо на π/4: B. C забывает разделить на ω = 2: сдвиг вправо на π/2 переводит y = cos x в y = sin x. A сдвигает не в ту сторону: cos 2(x + π/4) = cos(2x + π/2) = −sin 2x. D даёт cos(2x + π) = −cos 2x.
Интерактив
Загрузка симуляции…
A — амплитуда, w играет роль ω, p — роль φ, b сдвигает среднюю линию. При A = 2, w = 2, p ≈ 0,52 (≈ π/6) и b = 1 получается график из примера выше. Удвой w — период уменьшится вдвое. Меняй только p — график сдвигается на p/w, а не на p.

Простейшие уравнения и неравенства на промежутке

Поскольку функции периодические, у тригонометрического уравнения бесконечно много корней. Вопросы CSCA обычно спрашивают корни на промежутке или их число: сначала найди корни на одном периоде, затем добавляй периоды.

sin x = a: x = arcsin a + 2kπ или x = π − arcsin a + 2kπ cos x = a: x = ±arccos a + 2kπ tg x = a: x = arctg a + kπ
где:
  • aданное число; для синуса и косинуса корни есть только при |a| ≤ 1
  • arcsin aугол из [−π/2; π/2], синус которого равен a (arccos a ∈ [0; π], arctg a ∈ (−π/2; π/2))
  • kлюбое целое число (k ∈ Z)

При |a| < 1 у sin x = a на каждом периоде два корня, симметричных относительно оси x = π/2 + 2kπ, у cos x = a — два корня, симметричных относительно x = 2kπ; у tg x = a — один корень на каждом периоде π.

Разобранные примеры: уравнения на промежутке

1) Реши sin x = √3/2 на [0; 2π].
2) Реши 2 cos x + 1 = 0 на [0; 2π].
3) Реши tg x = −1 на (0; 2π).
4) Реши sin(2x − π/6) = 1/2 на [0; π].

Показать решение
1) arcsin(√3/2) = π/3, второй корень π − π/3: x = π/3 или 2π/3.
2) cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2kπ; на [0; 2π]: x = 2π/3 или 4π/3.
3) x = −π/4 + kπ; на (0; 2π): x = 3π/4 или 7π/4 — по одному корню на каждом промежутке длины π.
4) Обозначим t = 2x − π/6. При x ∈ [0; π] t ∈ [−π/6; 11π/6]. sin t = 1/2 даёт t = π/6 или 5π/6 (13π/6 уже слишком велико), поэтому 2x = π/3 или π: x = π/6 или π/2.
  1. 1
    Замена

    Если аргумент равен ωx + φ, обозначь t = ωx + φ и найди промежуток, который пробегает t.

  2. 2
    Граничные точки

    Реши sin t = a (или cos t = a) на этом промежутке: эти точки делят его на части.

  3. 3
    Прочитай график

    Оставь части, где кривая лежит выше (или ниже) прямой y = a. На единичной окружности: для синуса — выше горизонтальной прямой y = a, для косинуса — правее вертикальной прямой x = a.

  4. 4
    Вернись к x

    Вырази x и проверь концы: при ≥ они входят, при > — нет.

Разобранные примеры: неравенства

Реши на данном промежутке:
1) sin x ≥ 1/2 на [0; 2π];
2) cos x < √2/2 на [0; 2π];
3) tg x > 1 на (−π/2; π/2).

Показать решение
1) Синусоида находится на уровне 1/2 или выше между точками пересечения π/6 и 5π/6: [π/6; 5π/6].
2) cos x = √2/2 при π/4 и 7π/4; между ними косинусоида ниже этого уровня: (π/4; 7π/4).
3) tg x возрастает на (−π/2; π/2) и tg(π/4) = 1: (π/4; π/2).
Вопрос в стиле CSCA

Каково множество решений неравенства cos x ≥ 1/2 на [0; 2π]?
A) [0; π/3] B) [π/3; 5π/3] C) [0; π/3] ∪ [5π/3; 2π] D) [0; π/6] ∪ [11π/6; 2π]

Показать решение
cos x = 1/2 при π/3 и 5π/3. Косинусоида начинается с 1, после π/3 опускается ниже 1/2 и после 5π/3 снова поднимается выше: C. A забывает кусок в конце периода, B — решение неравенства cos x ≤ 1/2, D решает cos x ≥ √3/2.

Как CSCA спрашивает эту тему

Вопросы о графиках встречаются часто, обычно в форме «какое утверждение верно». Выучи основные термины на английском и китайском:

Термин (по-английски)中文Pinyin
функция синус / косинус / тангенс — sine / cosine / tangent function正弦 / 余弦 / 正切函数zhèngxián / yúxián / zhèngqiē hánshù
наименьший положительный период — smallest positive period最小正周期zuìxiǎo zhèng zhōuqī
амплитуда — amplitude振幅zhènfú
частота — frequency频率pínlǜ
фаза / начальная фаза — phase / initial phase相位 / 初相xiàngwèi / chūxiàng
ось симметрии — axis of symmetry对称轴duìchènzhóu
центр симметрии — centre of symmetry对称中心duìchèn zhōngxīn
промежуток возрастания — increasing interval单调递增区间dāndiào dìzēng qūjiān
наибольшее / наименьшее значение — maximum / minimum value最大值 / 最小值zuìdàzhí / zuìxiǎozhí
нуль функции — zero of a function零点língdiǎn
параллельный перенос (сдвиг) — translation (shift)平移píngyí
растяжение / сжатие — stretch / compression伸缩shēnsuō
метод пяти точек — five-point method五点法wǔdiǎnfǎ
тригонометрическое уравнение — trigonometric equation三角方程sānjiǎo fāngchéng

Типичные виды вопросов и способы сэкономить время (около 75 с на вопрос):

  • Период, наибольшее и наименьшее значения: T = 2π/|ω| (для tg — π/|ω|); max = b + |A|, min = b − |A|; никогда не умножай на ω.
  • «Какое утверждение верно»: проверяй предложенную ось или центр, вычисляя f(x₀): b ± A — ось, b — центр.
  • Промежутки монотонности: подставь t = ωx + φ в промежутки из таблицы; при ω < 0 сначала преобразуй функцию.
  • Сдвиги: вынеси ω — y = sin(ωx + φ) есть y = sin ωx, сдвинутый на φ/ω; перед сравнением сделай названия функций одинаковыми.
  • График → формула: A и b — по высотам, T — по расстоянию от максимума до минимума (T/2) или от средней линии до максимума (T/4), φ — по наивысшей точке.
  • Уравнения и неравенства на промежутке: сначала найди промежуток для t = ωx + φ, затем считай точки встречи кривой с прямой y = a.

Главное

  • sin x и cos x: период 2π, значения в [−1; 1]; sin нечётный, cos чётный; tg x: период π, нечётный, возрастает на каждом (−π/2 + kπ; π/2 + kπ).
  • Оси симметрии проходят через наивысшие и наинизшие точки, центры симметрии — через точки на средней линии.
  • y = A sin(ωx + φ) + b (A, ω > 0): T = 2π/ω, значения от b − A до b + A.
  • Промежутки монотонности, оси и центры: подставь t = ωx + φ в условия для sin t.
  • y = sin(ωx + φ) — это y = sin ωx, сдвинутый на φ/ω (влево при φ > 0): сначала вынеси ω за скобки.
  • На промежутке сначала найди, что пробегает t = ωx + φ; второй корень sin x = a равен π − arcsin a, а cos x = a — −arccos a.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Каков наименьший положительный период функции y = tg x?

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест