Применения производной: монотонность и экстремумы

В этом уроке ты узнаешь

Находить промежутки возрастания и убывания по знаку f′, в том числе в задачах с параметром
Находить критические точки и экстремумы и определять их по описанию графика f′
Находить наибольшее и наименьшее значения на отрезке, решать простые задачи на оптимизацию и определять число корней уравнения
Вычислять простой определённый интеграл как площадь под кривой

Лист картона 12 см × 12 см: вырежьте по углам равные квадраты и загните края — получится коробка без крышки. Маленькие вырезы дают плоскую коробку, большие — узкую; где-то посередине объём наибольший. Где именно? В уроке «Производная: определение, геометрический смысл и правила» вы научились находить f′; теперь её знак покажет, где функция возрастает, где убывает и где поворачивает, — и задача о коробке займёт три строки.

Знак f′ и промежутки монотонности

Там, где f′(x) > 0, все касательные идут вверх, значит, и график идёт вверх: функция возрастает (单调递增). Там, где f′(x) < 0, она убывает (单调递减). Определения возрастающей и убывающей функций даны в уроке «Функции и их свойства»; производная превращает задачу в вопрос о знаке, который вы уже умеете решать (см. «Неравенства: свойства, квадратные и дробно-рациональные неравенства»).

f′(x) > 0 на (a; b) ⇒ f возрастает на (a; b); f′(x) < 0 на (a; b) ⇒ f убывает на (a; b)

где:

f′(x)угловой коэффициент касательной в точке x
(a; b)промежуток внутри области определения

Достаточное условие, но не необходимое: y = x³ возрастает на всей прямой, хотя y′(0) = 0. В задаче с параметром («f возрастает на I») требуют f′(x) ≥ 0 на I (нули — лишь в отдельных точках).

1
Сначала область определения
Запишите область определения. При ln x или √x это не все действительные числа, и ответ должен оставаться внутри неё.
2
Производная и разложение на множители
Найдите f′(x) и запишите её как произведение или частное простых множителей.
3
Нули и знаки
Отметьте нули f′ (и точки, где её нет) на числовой прямой и найдите знак f′ на каждом участке, например подставив одно число.
4
Запишите промежутки
Промежутки возрастания и убывания записывайте отдельно. В CSCA (по китайской традиции) два промежутка пишут через «и» или запятую, но не объединяют знаком ∪: f(x) = −1/x возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞), но не на их объединении, ведь f(−1) = 1 > f(1) = −1.

Пример 1: промежутки монотонности

1) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x; 2) f(x) = x² − 2 ln x; 3) f(x) = eˣ − x.

Показать решение

1) f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x + 1)(x − 2): «+» на (−∞; −1), «−» на (−1; 2), «+» на (2; +∞). f возрастает на (−∞; −1) и (2; +∞), убывает на (−1; 2).
2) Область определения x > 0. f′(x) = 2x − 2/x = 2(x − 1)(x + 1)/x; при x > 0 знак совпадает со знаком x − 1: убывает на (0; 1), возрастает на (1; +∞). Нуль x = −1 лежит вне области определения.
3) f′(x) = eˣ − 1 < 0 при x < 0 и > 0 при x > 0: убывает на (−∞; 0), возрастает на (0; +∞).

Пример 2 (в стиле CSCA): параметр

Функция f(x) = x³ − ax² + 3x возрастает на (−∞; +∞). Каково множество значений a?
A) −3 < a < 3 B) a ≤ −3 или a ≥ 3 C) −3 ≤ a ≤ 3 D) 0 ≤ a ≤ 3

Показать решение

Нужно, чтобы f′(x) = 3x² − 2ax + 3 ≥ 0 при всех x. Парабола с ветвями вверх не принимает отрицательных значений, если дискриминант ≤ 0: 4a² − 36 ≤ 0 ⇒ −3 ≤ a ≤ 3, ответ C.
A отбрасывает концы, но при a = ±3 f′(x) = 3(x ∓ 1)² обращается в нуль лишь в одной точке, и f всё равно возрастает. B — дополнение; D без причины оставляет только неотрицательные a.

Критические точки и экстремумы

Определение

Максимум и минимум

Точка x₀ — точка максимума, если f(x₀) больше всех значений f(x) при x, близких к x₀ (x ≠ x₀); тогда f(x₀) — максимум функции (极大值). Минимум (极小值) определяется так же, со словом «меньше». Вместе это точки экстремума (极值点) и экстремумы (极值). В китайских учебниках точка экстремума — это число x₀, а не точка (x₀; y₀) плоскости, поэтому варианты вида «точка экстремума — (1; 2)» неверны.

Определение

Критическая (стационарная) точка

Внутренняя точка области определения, где f′(x) = 0, называется стационарной (驻点); точки, где f′ не существует, тоже проверяют — вместе это критические точки. Каждая точка экстремума дифференцируемой функции стационарна, но не каждая стационарная точка — точка экстремума.

в x₀ f′: + → − ⇒ максимум; в x₀ f′: − → + ⇒ минимум; знак не меняется ⇒ экстремума нет

где:

x₀критическая точка
+ → −f′ положительна слева от x₀ и отрицательна справа: f сначала растёт, потом убывает

Проверка по первой производной. Одного f′(x₀) = 0 недостаточно: у y = x³ y′(0) = 0, но y′ > 0 с обеих сторон — экстремума нет.

Пример 3: экстремумы

1) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x (функция из примера 1).
2) f(x) = (ln x)/x.

Показать решение

1) f′ = 6(x + 1)(x − 2) меняет знак с «+» на «−» при x = −1 и с «−» на «+» при x = 2. Максимум f(−1) = −2 − 3 + 12 = 7, минимум f(2) = 16 − 12 − 24 = −20.
2) Область определения x > 0. f′(x) = (1/x · x − ln x · 1)/x² = (1 − ln x)/x²: положительна при x < e, отрицательна при x > e. Максимум f(e) = 1/e, минимума нет. Эта функция — ключ к сравнению чисел вроде (ln 2)/2 и (ln 3)/3.

Пример 4 (в стиле CSCA): проверь смену знака

Функция f(x) = x³ − ax² − bx + a² имеет в точке x = 1 экстремум, равный 10. Чему равно a + b?
A) 0 B) 0 или 7 C) −7 D) 7

Показать решение

f′(x) = 3x² − 2ax − b. Условия f′(1) = 0 и f(1) = 10 дают b = 3 − 2a и a² + a − 12 = 0, то есть a = 3, b = −3 или a = −4, b = 11.
Проверка: при a = 3, b = −3 f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² ≥ 0 знак не меняет — экстремума нет. При a = −4, b = 11 f′(x) = 3x² + 8x − 11 = (x − 1)(3x + 11) меняет знак. Итак, a + b = 7, ответ D.
B оставляет и посторонний ответ; A — это он один.

Часто CSCA даёт график f′, а не f, и спрашивает об f. Читайте его как схему знаков: выше оси абсцисс f возрастает, ниже — убывает; где f′ пересекает ось сверху вниз, у f максимум, снизу вверх — минимум; где f′ лишь касается оси, экстремума нет. Самая высокая или самая низкая точка графика f′ — не экстремум f: там f меняется быстрее всего.

Пример 5 (в стиле CSCA): график f′, описанный словами

График y = f′(x) на (−3; 4): на (−3; −1) он ниже оси абсцисс; при x = −1 пересекает ось и остаётся выше неё до x = 1, где касается оси; на (1; 3) снова выше оси; при x = 3 пересекает ось, и на (3; 4) он ниже оси. Сколько точек экстремума у f на (−3; 4)?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Показать решение

Знаки f′: − | + | + | −, смена знака при x = −1 (− → +: минимум) и x = 3 (+ → −: максимум). При x = 1 знак остаётся «+», экстремума нет. Ответ B: две точки экстремума. C считает все нули f′.

Типичные ошибки

1) Считать каждый нуль f′ экстремумом — проверяйте смену знака (x³ в нуле, множители вида (x − 1)²). 2) Забывать область определения: для x² − 2 ln x нуль x = −1 не учитывается. 3) Путать точку и значение: «точка максимума x = −1, максимум равен 7». 4) Считать максимум наибольшим значением: у x + 1/x максимум −2 меньше минимума 2. 5) Объединять промежутки возрастания знаком ∪. 6) Называть конец отрезка [a; b] точкой экстремума: экстремум бывает во внутренней точке; концы важны только для наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее и наименьшее значения, оптимизация и корни

наибольшее значение f на [a; b] = наибольшее из f(a), f(b), f(x₁), …, f(xₖ); наименьшее = наименьшее из них

где:

[a; b]отрезок, на котором f непрерывна
x₁, …, xₖкритические точки внутри (a; b)

Непрерывная на отрезке функция всегда достигает наибольшего (最大值) и наименьшего (最小值) значений — в критической точке или на конце. Схема знаков не нужна: достаточно сравнить числа.

Пример 6: на отрезке

1) f(x) = x³ − 12x на отрезке [−3; 5].
2) f(x) = eˣ − ex на отрезке [0; 2].

Показать решение

1) f′(x) = 3(x² − 4) = 0 ⇒ x = ±2, обе точки внутри. f(−3) = 9, f(−2) = 16, f(2) = −16, f(5) = 125 − 60 = 65. Наибольшее значение 65 (на конце x = 5; больше максимума 16), наименьшее −16.
2) f′(x) = eˣ − e = 0 ⇒ x = 1. f(0) = 1, f(1) = e − e = 0, f(2) = e² − 2e = e(e − 2) ≈ 2,7 · 0,7 ≈ 1,9. Наименьшее значение 0, наибольшее e² − 2e (сравниваем с f(0) = 1 с помощью оценки e ≈ 2,7).

1
Выберите переменную
Назовите величину, которой вы управляете (например, длину x), и запишите промежуток её допустимых значений.
2
Составьте функцию
Выразите величину, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей, только через x, используя условия задачи.
3
Производная и сравнение
Решите f′(x) = 0 внутри промежутка; сравните с концами или используйте правило: единственный экстремум внутри промежутка — это и наибольшее (наименьшее) значение.
4
Ответьте на вопрос
Запишите то, о чём спрашивают: размер x, наибольший объём или и то и другое — с единицами измерения.

Пример 7: коробка из начала урока

Из углов листа 12 см × 12 см вырезают квадраты со стороной x см и загибают края. При каком x объём коробки без крышки наибольший и чему он равен?

Показать решение

V(x) = x(12 − 2x)², 0 < x < 6.
V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇒ x = 2 (x = 6 не подходит).
V′ > 0 при 0 < x < 2 и V′ < 0 при 2 < x < 6, поэтому единственный экстремум — максимум: x = 2 см, V = 2 · 8² = 128 см³.

Число корней. Чтобы сосчитать решения уравнения f(x) = k, набросайте график f по промежуткам монотонности и экстремумам и двигайте горизонтальную прямую y = k: каждое пересечение — корень. Для кубической функции с максимумом M и минимумом m: три корня при m < k < M, два при k = M или k = m, в остальных случаях один (нули функции — 零点).

Интерактив

Загрузка симуляции…

Первая кривая — y = x³ − 3x + c, вторая — её производная y′ = 3x² − 3 (от c она не зависит). Где y′ выше оси, первая кривая идёт вверх. Меняйте c: уравнение x³ − 3x + c = 0 имеет три корня при −2 < c < 2, два при c = ±2 и один в остальных случаях.

Пример 8 (в стиле CSCA): ровно два корня

Уравнение x³ − 3x² + 4 = k имеет ровно два различных действительных корня. Чему равно k?
A) 0 или 4 B) 0 < k < 4 C) 4 D) 0

Показать решение

g(x) = x³ − 3x² + 4: g′(x) = 3x(x − 2), максимум g(0) = 4, минимум g(2) = 8 − 12 + 4 = 0. Прямая y = k пересекает график ровно в двух точках, только если проходит через экстремальное значение: k = 4 или k = 0, ответ A.
B даёт три корня; C и D находят лишь одно из двух значений.

Первое знакомство с интегралом

В программе эта часть названа «основы производных и математического анализа». Вторая половина анализа идёт в обратную сторону: если F′(x) = f(x), то F — первообразная (原函数) функции f; например, x³/3 для x², −cos x для sin x. Определённый интеграл (定积分) ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь между графиком f ≥ 0 и осью абсцисс от a до b («криволинейная трапеция», 曲边梯形), и вычисляется он через первообразную.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), где F′(x) = f(x)

где:

Fпервообразная f: (xⁿ⁺¹/(n + 1))′ = xⁿ, (−cos x)′ = sin x
a, bпределы интегрирования

Формула Ньютона — Лейбница, основная теорема анализа (微积分基本定理). Если f ≥ 0 на [a; b], интеграл равен площади под кривой; для скорости v(t) ≥ 0 — пройденному пути.

Пример 9: площади и путь

1) Площадь под y = x² от x = 0 до x = 1.
2) ∫₀³ 2x dx — проверьте по площади треугольника.
3) Площадь под одной аркой y = sin x, от 0 до π.
4) Тело движется со скоростью v(t) = 6t² (м/с). Какой путь оно пройдёт за первые 2 с?

Показать решение

1) F(x) = x³/3: S = 1/3 − 0 = 1/3.
2) F(x) = x²: 9 − 0 = 9; фигура — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6: ½ · 3 · 6 = 9 ✓.
3) F(x) = −cos x: −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.
4) s = ∫₀² 6t² dt = [2t³]₀² = 16 м.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Закрашенная площадь под y = x² от 0 до b и её значение ∫₀ᵇ x² dx = b³/3. При b = 1 это 1/3, при b = 3 — 9.

Как CSCA спрашивает об этом

Промежутки монотонности: производная, разложение на множители, схема знаков; при ln x или 1/x сначала область определения; промежутки записываются отдельно.
Параметр и монотонность: «f возрастает на I» ⇒ f′(x) ≥ 0 на I; для квадратной f′ на всей прямой — дискриминант ≤ 0; иначе отделите параметр: a ≥ g(x) при всех x из I означает, что a не меньше ни одного значения g на I.
Экстремумы: найти максимум или минимум; найти параметр из условия «экстремум в точке x₀» — и проверить смену знака.
График f′: точки пересечения оси — экстремумы (сверху вниз — максимум); точки касания и вершина графика f′ — нет.
Наибольшее и наименьшее значения на [a; b]: сравните значения в критических точках и на концах; часто параметр находят по данному наибольшему значению.
Оптимизация и корни: единственный экстремум даёт ответ; число корней f(x) = k определяется по экстремальным значениям.
Интеграл (шаг за пределы производной): площадь под простой кривой или путь по v(t).
Экономия времени (75 с на вопрос): вместо полной схемы знаков проверьте по одному числу из каждого варианта; у кубической функции число корней определяют одни экстремумы; пишите только знаки, а не всю таблицу.

Термин	中文	Pinyin
монотонность — monotonicity	单调性	dāndiàoxìng
возрастающая — increasing	单调递增	dāndiào dìzēng
убывающая — decreasing	单调递减	dāndiào dìjiǎn
промежуток монотонности — monotonic interval	单调区间	dāndiào qūjiān
стационарная точка — stationary point	驻点	zhùdiǎn
точка экстремума — extreme point	极值点	jízhídiǎn
максимум — local maximum value	极大值	jídàzhí
минимум — local minimum value	极小值	jíxiǎozhí
наибольшее значение — greatest value	最大值	zuìdàzhí
наименьшее значение — least value	最小值	zuìxiǎozhí
отрезок — closed interval	闭区间	bìqūjiān
задача на оптимизацию — optimisation problem	优化问题	yōuhuà wèntí
нуль функции — zero of a function	零点	língdiǎn
первообразная — antiderivative	原函数	yuánhánshù
определённый интеграл — definite integral	定积分	dìngjīfēn

Ключевые термины на английском и китайском: экзамен можно сдавать на любом из этих языков.

Главное

f′ > 0 на промежутке ⇒ f возрастает, f′ < 0 ⇒ убывает; сначала найдите область определения, промежутки пишите отдельно (без ∪).
В задаче с параметром «f возрастает на I» ⇒ f′(x) ≥ 0 на I; концы промежутка для параметра обычно входят в ответ.
Экстремум: f′ меняет знак в x₀ («+ → −» максимум, «− → +» минимум); f′(x₀) = 0 без смены знака — не экстремум.
График f′: точки пересечения оси — экстремумы f; точки касания и вершина графика f′ — нет.
Наибольшее и наименьшее значения на [a; b]: сравните f в критических точках и на концах; в задачах на оптимизацию единственный экстремум — это ответ.
Корни уравнения f(x) = k считают по экстремальным значениям; ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) — площадь под графиком f ≥ 0.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Если f′(x) > 0 при всех x из (a; b), то на (a; b) функция f…

Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин

Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.

Начать тест