- Вычислять и упрощать степени с рациональным показателем и корни
- Узнавать графики и свойства степенных функций y = x^α при типичных α
- Решать показательные уравнения и неравенства, опираясь на график и монотонность y = aˣ
- Упорядочивать степени без калькулятора по основанию, показателю и ориентиру 1
Расположи три числа по возрастанию без калькулятора: 2^0,5, 0,5² и 0,5^0,5. Первое больше 1 (основание больше 1, показатель положителен), второе равно 0,25, а третье лежит между ними, потому что y = 0,5ˣ убывает: 0,5² < 0,5^0,5 < 0,5⁰ = 1. CSCA задаёт именно такие вопросы, и ответ на них дают свойства двух семейств: степенных функций y = x^α, где переменная стоит в основании, и показательных функций y = aˣ, где переменная — в показателе. Урок охватывает строку программы «основные элементарные функции» для этих двух семейств; логарифмы, обратные к ним, — в уроке «Логарифмы и логарифмическая функция», а общие свойства (область определения, монотонность, чётность) — в уроке «Функции и их свойства».
Степень с рациональным показателем и корни
x — корень n-й степени из a, если xⁿ = a (n ≥ 2). При нечётном n для любого a есть ровно один действительный корень ⁿ√a (∛(−8) = −2). При чётном n действительный корень существует только при a ≥ 0, и ⁿ√a обозначает неотрицательный корень (√9 = 3, а не ±3).
- aоснование: a > 0 (0 в положительной степени равен 0; 0⁰ и 0 в отрицательной степени не определены)
- m, nнатуральные числа, n > 1 (в китайских учебниках: m, n ∈ N*)
Знаменатель показателя — это корень, числитель — степень. Сначала извлекай корень, чтобы числа оставались маленькими: 27^(2/3) = (∛27)² = 9, а не ∛729. Отрицательный показатель означает обратное число и никогда не делает число отрицательным.
1) Вычисли 16^(3/4), 27^(−2/3), (4/9)^(−1/2) и 0,25^(−1,5).
2) Запиши в виде степени x (x > 0): √x · ∛x и 1/√(x³).
3) Упрости √((−3)²) и ∛((−2)³).
Показать решениеСкрыть решение
2) x^(1/2) · x^(1/3) = x^(5/6); 1/x^(3/2) = x^(−3/2).
3) √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|, а ∛((−2)³) = −2: корень чётной степени из aⁿ равен |a|, нечётной — a.
- a, bположительные основания
- r, sлюбые рациональные (а позже и действительные) показатели
Те же законы, что и для целых показателей. Для суммы правила нет: aʳ + aˢ ≠ a^(r + s), (a + b)ʳ ≠ aʳ + bʳ.
1) Вычисли (1/8)^(−2/3) + 81^0,25 − 3⁰.
2) Упрости 2^(1/2) · 4^(1/4) · 8^(1/6).
3) a^(1/2) + a^(−1/2) = √5. Найди a + a⁻¹ и a² + a⁻².
Показать решениеСкрыть решение
2) Запишем всё как степени 2: 2^(1/2) · 2^(2/4) · 2^(3/6) = 2^(1/2 + 1/2 + 1/2) = 2^(3/2) = 2√2.
3) Возведём в квадрат: a + 2 + a⁻¹ = 5 ⇒ a + a⁻¹ = 3; ещё раз: a² + 2 + a⁻² = 9 ⇒ a² + a⁻² = 7.
Чему равно 27^(2/3) + 16^(−1/2) · (1/2)^(−2) − (√3 − 1)⁰?
A) 18 B) 9 C) 10 D) −8
Показать решениеСкрыть решение
A умножает 27 · 2/3 = 18; C считает (√3 − 1)⁰ равным 0; D читает 16^(−1/2) как −4 — отрицательный показатель даёт обратное число, а не отрицательное.
Степенные функции y = x^α
Функция y = x^α, где α — постоянная: переменная стоит в основании. В китайских учебниках вид строгий — коэффициент 1 и ничего не прибавлено: y = x⁻², y = x^(3/2) — степенные функции, а y = 2x², y = x² + 1 и y = 2ˣ — нет (последняя показательная).
| Функция | Область определения | Множество значений | Чётность | Монотонность |
|---|---|---|---|---|
| y = x | R | R | нечётная | возрастает на R |
| y = x² | R | [0; +∞) | чётная | убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞) |
| y = x³ | R | R | нечётная | возрастает на R |
| y = x^(1/2) = √x | [0; +∞) | [0; +∞) | ни чётная, ни нечётная | возрастает на [0; +∞) |
| y = x⁻¹ = 1/x | x ≠ 0 | y ≠ 0 | нечётная | убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞) |
- αпостоянный показатель (любое действительное число)
- x > 1, 0 < x < 1при x > 1 больший α даёт более высокий график, при 0 < x < 1 — более низкий
В первой четверти все степенные кривые пересекаются в (1; 1): «после 1 большой показатель выигрывает, до 1 — проигрывает» (2³ > 2², но 0,5³ < 0,5²). Чётность зависит от несократимой дроби α = p/q: q нечётно, p чётно — чётная (x^(2/3)); q нечётно, p нечётно — нечётная (x^(3/5)); q чётно — определена только при x ≥ 0, ни чётная, ни нечётная (x^(3/4)).
1) График степенной функции проходит через (8; 4). Найди f(x), её чётность и f(−27).
2) График y = x^α проходит через (2; 1/4). Найди α и опиши функцию.
3) Без калькулятора: что больше, 3,1^(2/5) или 2,9^(2/5)? А 0,3⁻² или 0,4⁻²?
Показать решениеСкрыть решение
2) 2^α = 2⁻² ⇒ α = −2: y = x⁻² = 1/x², чётная, область x ≠ 0, убывает на (0; +∞), возрастает на (−∞; 0).
3) y = x^(2/5) возрастает на [0; +∞), поэтому 3,1^(2/5) > 2,9^(2/5). y = x⁻² убывает на (0; +∞), поэтому 0,3⁻² > 0,4⁻² (проверка: 100/9 > 100/16).
f(x) = (m² − 4m + 4)·x^(m − 2) — степенная функция, убывающая на (0; +∞). Тогда m =
A) 1 B) 3 C) 1 или 3 D) 2
Показать решениеСкрыть решение
C останавливается на условии для коэффициента; B берёт возрастающий случай; D обнуляет коэффициент, а y = 0 — не степенная функция.
Показательная функция y = aˣ
y = aˣ с постоянным основанием a > 0, a ≠ 1 и переменной в показателе; область определения R. Почему такие условия: при a < 0 числа вроде (−2)^(1/2) не действительные, 0ˣ не определено при x ≤ 0, а 1ˣ = 1 — постоянная.
| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Область определения | R | R |
| Множество значений | (0; +∞) | (0; +∞) |
| Проходит через | (0; 1) | (0; 1) |
| Монотонность | возрастает | убывает |
| x > 0 | y > 1 | 0 < y < 1 |
| x < 0 | 0 < y < 1 | y > 1 |
| Асимптота | y = 0 при x → −∞ | y = 0 при x → +∞ |
- aоснование
- a⁰ = 1каждый график проходит через (0; 1): ключ к вопросам о «неподвижной точке» (过定点)
Для y = a^(kx + m) + n точка, где показатель равен 0, не зависит от a: kx + m = 0, y = 1 + n.
1) Через какую неподвижную точку проходят графики y = a^(x + 1) − 2 и y = 2a^(3x − 3) − 1 при любом a > 0, a ≠ 1?
2) Найди множество значений y = (1/3)^|x| и y = 4ˣ − 2^(x + 1) + 3.
3) При каких a функция y = (a − 1)ˣ убывает на R?
Показать решениеСкрыть решение
2) |x| ≥ 0, а (1/3)ᵗ убывает, поэтому 0 < (1/3)^|x| ≤ 1: (0; 1]. При t = 2ˣ > 0: y = t² − 2t + 3 = (t − 1)² + 2 ≥ 2, значение 2 достигается при t = 1 (x = 0): [2; +∞).
3) 0 < a − 1 < 1 ⇔ 1 < a < 2.
Уравнения, неравенства и сравнение значений
- aобщее основание, a > 0, a ≠ 1: пиши 8 = 2³, 0,25 = 2⁻², √2 = 2^(1/2)
- f(x), g(x)показатели: после «снятия» основания их сравнивают напрямую
Равные основания ⇒ равные показатели, потому что y = aˣ монотонна. В неравенстве основание больше 1 сохраняет знак, а основание между 0 и 1 меняет его. В отличие от логарифмов, шага «область определения» нет: aˣ определена при любом x. Если основания уравнять нельзя (2ˣ = 5), ответ — логарифм, x = log₂ 5, см. урок «Логарифмы и логарифмическая функция».
- 1Одно основание
Запиши все числа как степени одного основания и приравняй показатели.
- 2Замена
Если вместе встречаются 4ˣ и 2ˣ (или 9ˣ и 3ˣ), положи t = 2ˣ: тогда 4ˣ = t², 2^(x + 1) = 2t.
- 3Помни, что t > 0
Реши квадратное уравнение относительно t и отбрось все корни t ≤ 0: показательное выражение всегда положительно.
- 4Вернись к x
Из aˣ = t найди x; частая ошибка — записать в ответ t.
1) Реши 9ˣ = 27^(x − 1) и (1/4)ˣ = 8.
2) Реши 9ˣ − 10 · 3ˣ + 9 = 0 и 2^(2x + 1) − 5 · 2ˣ + 2 = 0.
3) Реши (1/3)^(x² − 2) > (1/3)ˣ и 5^(x − 2) < 1/25.
Показать решениеСкрыть решение
2) t = 3ˣ: t² − 10t + 9 = 0 ⇒ t = 1 или 9 ⇒ x = 0 или x = 2. t = 2ˣ: 2t² − 5t + 2 = 0 ⇒ t = 2 или 1/2 ⇒ x = 1 или x = −1.
3) Основание 1/3 < 1 меняет знак: x² − 2 < x ⇔ x² − x − 2 < 0 ⇔ −1 < x < 2. 1/25 = 5⁻² и 5 > 1: x − 2 < −2 ⇔ x < 0.
Решение уравнения 9ˣ − 2 · 3ˣ − 3 = 0:
A) x = 3 B) x = 1 или x = −1 C) x = 1 D) x = −1
Показать решениеСкрыть решение
A даёт значение t вместо x; B и D сохраняют t = −1 и даже принимают его за x — но 3ˣ никогда не бывает отрицательным.
Для сравнения степеней без калькулятора есть три инструмента: одинаковые основания — монотонность y = aˣ; одинаковые показатели — монотонность степенной функции y = x^α на (0; +∞); ни то ни другое — сравнение каждого числа с ориентирами 0 и 1 или промежуточное число, у которого основание как у одного, а показатель как у другого.
- a − 1знак показывает, больше основание 1 или меньше
- xпоказатель; его знак показывает, справа мы от 0 или слева
«Одна сторона ⇒ больше 1»: 1,2^0,3 > 1 (оба множителя положительны), 0,7^(−2) > 1 (оба отрицательны), 0,7^0,3 < 1 и 1,2^(−0,3) < 1 (знаки разные).
1) Сравни 1,7^2,5 и 1,7³; 0,8^(−0,1) и 0,8^(−0,2); 1,5^0,3 и 1,2^0,3.
2) Сравни 0,7^0,8 и 0,8^0,7.
3) Расположи по возрастанию 1,5^0,3, 0,9^3,1 и 0,5^(−0,5).
Показать решениеСкрыть решение
2) Промежуточное число 0,7^0,7: 0,7^0,8 < 0,7^0,7 (основание < 1, показатель больше) и 0,7^0,7 < 0,8^0,7 (показатель тот же, основание больше). Значит, 0,7^0,8 < 0,8^0,7.
3) 0,9^3,1 < 1 < 1,5^0,3; 0,5^(−0,5) = 2^0,5 и 1,5^0,3 < 2^0,3 < 2^0,5. Порядок: 0,9^3,1 < 1,5^0,3 < 0,5^(−0,5).
Пусть a = 3^0,2, b = 0,2³, c = (1/3)^(−0,5). Тогда
A) a < b < c B) c < a < b C) b < c < a D) b < a < c
Показать решениеСкрыть решение
Вариант C получается, если прочитать c как (1/3)^0,5 < 1: отрицательный показатель превращает 1/3 в 3. A и B не учитывают, что b меньше 1.
Как CSCA спрашивает эту тему
Степени и показательная функция встречаются и в прямых вопросах, и в смешанных заданиях с логарифмами (сравнение a, b, c) и свойствами функций. В китайской версии теста используются такие термины:
| Термин (по-английски) | 中文 | Pinyin |
|---|---|---|
| степень — power | 幂 | mì |
| основание — base | 底数 | dǐshù |
| показатель — exponent | 指数 | zhǐshù |
| корень n-й степени — n-th root | n次方根 | n cì fānggēn |
| радикал — radical | 根式 | gēnshì |
| степень с дробным показателем — rational exponent | 分数指数幂 | fēnshù zhǐshùmì |
| степенная функция — power function | 幂函数 | mì hánshù |
| показательная функция — exponential function | 指数函数 | zhǐshù hánshù |
| показательное уравнение — exponential equation | 指数方程 | zhǐshù fāngchéng |
| показательное неравенство — exponential inequality | 指数不等式 | zhǐshù bùděngshì |
| проходит через неподвижную точку — passes through a fixed point | 过定点 | guò dìngdiǎn |
| асимптота — asymptote | 渐近线 | jiànjìnxiàn |
| сравнить величины — compare the sizes | 比较大小 | bǐjiào dàxiǎo |
Типичные формулировки и способы сэкономить время (около 75 секунд на задание):
- Вычисли выражение: сначала корень, потом степень; a⁰ = 1 при a ≠ 0; отрицательный показатель → обратное число.
- Степенная функция через точку или с параметром: коэффициент = 1, затем точка или монотонность; чётность — по α = p/q.
- Неподвижная точка и множество значений: приравняй показатель к 0; для множества значений используй aˣ > 0 и t = aˣ с квадратным трёхчленом от t.
- Монотонность с параметром: y = (выражение)ˣ убывает ⇔ 0 < выражение < 1; для кусочной функции проверь и точку стыка.
- Уравнения и неравенства: одно основание или t = aˣ > 0; при основании меньше 1 меняй знак.
- Упорядочь a, b, c: одно основание → монотонность показательной функции, один показатель → монотонность степенной, иначе сравнение с 0 и 1 или промежуточное число (логарифмы добавятся в уроке «Логарифмы и логарифмическая функция»).
Главное
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0): знаменатель — это корень; отрицательный показатель — обратное число; √(a²) = |a|.
- Степенная функция y = x^α (коэффициент 1): проходит через (1; 1); при α > 0 возрастает на [0; +∞), при α < 0 убывает на (0; +∞); чётность — по α = p/q.
- Показательная функция y = aˣ (a > 0, a ≠ 1): область R, множество значений (0; +∞), проходит через (0; 1); возрастает при a > 1, убывает при 0 < a < 1.
- Уравнения: одно основание или t = aˣ > 0 (корни t ≤ 0 отбрасываются); неравенства: основание меньше 1 меняет знак.
- Сравнение: одно основание, один показатель или ориентиры 0 и 1 — aˣ > 1 ⇔ (a − 1)x > 0.
Проверь себя
Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.
Тематический тест: 20 вопросов · 25 мин
Урок пройден? Проверьте себя тестом на время по этой теме.