Kuvvet ve üstel fonksiyonlar — CSCA (Çin)

Bu derste öğreneceklerin

Rasyonel üslü kuvvetleri ve kökleri hesaplamak ve sadeleştirmek
Tipik α değerleri için y = x^α kuvvet fonksiyonlarının grafiklerini ve özelliklerini tanımak
y = aˣ’in grafiği ve monotonluğundan yararlanarak üstel denklem ve eşitsizlikleri çözmek
Kuvvetleri taban, üs ve 1 ölçütüne göre hesap makinesi olmadan sıralamak

Üç sayıyı hesap makinesi olmadan sırala: 2^0,5, 0,5² ve 0,5^0,5. Birincisi 1’den büyüktür (taban 1’den büyük, üs pozitif), ikincisi 0,25’tir; üçüncüsü ise ikisinin arasındadır, çünkü y = 0,5ˣ azalandır: 0,5² < 0,5^0,5 < 0,5⁰ = 1. CSCA tam olarak bu tür sorular sorar ve cevap iki fonksiyon ailesinin özelliklerindedir: değişkenin tabanda olduğu kuvvet fonksiyonları y = x^α ve değişkenin üste olduğu üstel fonksiyonlar y = aˣ. Bu ders, müfredattaki “temel elementer fonksiyonlar” maddesinin bu iki aileye ait kısmını kapsar; bunların tersi olan logaritmalar “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersinde, burada kullanılan genel özellikler (tanım kümesi, monotonluk, tek-çiftlik) ise “Fonksiyonlar ve özellikleri” dersindedir.

Rasyonel üsler ve kökler

Tanım

n. dereceden kök (n次方根)

xⁿ = a (n ≥ 2) ise x, a’nın n. dereceden köküdür. Tek n için her a’nın tek bir gerçek kökü vardır, ⁿ√a (∛(−8) = −2). Çift n için gerçek kök yalnızca a ≥ 0 iken vardır ve ⁿ√a negatif olmayan kökü gösterir (√9 = 3, ±3 değil).

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ, a^(−m/n) = 1 / a^(m/n), a⁰ = 1a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ, a^(−m/n) = 1 / a^(m/n), a⁰ = 1

burada:

ataban: a > 0 (0’ın pozitif kuvveti 0’dır; 0⁰ ve 0’ın negatif kuvveti tanımsızdır)
m, npozitif tam sayılar, n > 1 (Çin ders kitaplarında: m, n ∈ N*)

Üssün paydası kökü, payı kuvveti gösterir. Sayılar küçük kalsın diye önce kökü al: 27^(2/3) = (∛27)² = 9, ∛729 değil. Negatif üs, sayının tersi demektir; sayıyı asla negatif yapmaz.

Çözümlü örnekler: rasyonel üsler

1) 16^(3/4), 27^(−2/3), (4/9)^(−1/2) ve 0,25^(−1,5)’i hesapla.
2) x’in kuvveti olarak yaz (x > 0): √x · ∛x ve 1/√(x³).
3) √((−3)²) ve ∛((−2)³)’ü sadeleştir.

Çözümü göster

1) 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8; 27^(−2/3) = 1/(∛27)² = 1/9; (4/9)^(−1/2) = (9/4)^(1/2) = 3/2; 0,25^(−1,5) = 4^(3/2) = (√4)³ = 8.
2) x^(1/2) · x^(1/3) = x^(5/6); 1/x^(3/2) = x^(−3/2).
3) √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|, ∛((−2)³) ise −2’dir: aⁿ’nin çift dereceli kökü |a|, tek dereceli kökü a verir.

aʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ aʳ / aˢ = aʳ⁻ˢ (aʳ)ˢ = aʳˢ (ab)ʳ = aʳbʳaʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ aʳ / aˢ = aʳ⁻ˢ (aʳ)ˢ = aʳˢ (ab)ʳ = aʳbʳ

burada:

a, bpozitif tabanlar
r, sherhangi rasyonel (daha sonra gerçek) üsler

Tam sayı üsleriyle aynı kurallar. Toplam için kural yoktur: aʳ + aˢ, a^(r + s) değildir; (a + b)ʳ de aʳ + bʳ değildir.

Çözümlü örnekler: üs kuralları

1) (1/8)^(−2/3) + 81^0,25 − 3⁰’ı hesapla.
2) 2^(1/2) · 4^(1/4) · 8^(1/6)’yı sadeleştir.
3) a^(1/2) + a^(−1/2) = √5. a + a⁻¹ ve a² + a⁻²’yi bul.

Çözümü göster

1) (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3) = 4; 81^0,25 = ⁴√81 = 3; 3⁰ = 1. Toplam 6.
2) Hepsini 2’nin kuvveti olarak yazalım: 2^(1/2) · 2^(2/4) · 2^(3/6) = 2^(1/2 + 1/2 + 1/2) = 2^(3/2) = 2√2.
3) Karesini alalım: a + 2 + a⁻¹ = 5 ⇒ a + a⁻¹ = 3; bir kez daha: a² + 2 + a⁻² = 9 ⇒ a² + a⁻² = 7.

CSCA tarzı soru

27^(2/3) + 16^(−1/2) · (1/2)^(−2) − (√3 − 1)⁰ ifadesinin değeri kaçtır?
A) 18 B) 9 C) 10 D) −8

Çözümü göster

27^(2/3) = (∛27)² = 9; 16^(−1/2) = 1/4 ve (1/2)^(−2) = 4, çarpımları 1’dir; taban 0 olmadığından (√3 − 1)⁰ = 1. 9 + 1 − 1 = 9. Cevap B.
A, 27 · 2/3 = 18 çarpımını yapar; C, (√3 − 1)⁰’ı 0 sayar; D, 16^(−1/2)’yi −4 okur; negatif üs sayının tersini verir, negatif sayı değil.

Kuvvet fonksiyonları y = x^α

Tanım

Kuvvet fonksiyonu (幂函数)

α bir sabit olmak üzere y = x^α fonksiyonu: değişken tabandadır. Çin ders kitaplarında biçim katıdır: katsayı 1’dir ve hiçbir şey eklenmez. y = x⁻², y = x^(3/2) kuvvet fonksiyonudur; y = 2x², y = x² + 1 ve y = 2ˣ ise değildir (sonuncusu üsteldir).

Fonksiyon	Tanım kümesi	Görüntü kümesi	Tek-çiftlik	Monotonluk
y = x	R	R	tek	R’de artan
y = x²	R	[0, +∞)	çift	(−∞, 0]’da azalan, [0, +∞)’da artan
y = x³	R	R	tek	R’de artan
y = x^(1/2) = √x	[0, +∞)	[0, +∞)	ne tek ne çift	[0, +∞)’da artan
y = x⁻¹ = 1/x	x ≠ 0	y ≠ 0	tek	(−∞, 0) ve (0, +∞) aralıklarının her birinde azalan

Çin müfredatındaki beş kuvvet fonksiyonu (α = 1, 2, 3, 1/2, −1). Hepsi (1, 1) noktasından geçer.

y = x^α: (1, 1) grafikte; α > 0 ⇒ [0, +∞)’da artan, (0, 0)’dan geçer; α < 0 ⇒ (0, +∞)’da azalan

burada:

αsabit üs (herhangi bir gerçek sayı)
x > 1, 0 < x < 1x > 1 için büyük α daha yüksek grafik verir; 0 < x < 1 için büyük α daha alçak grafik verir

Birinci bölgede bütün kuvvet eğrileri (1, 1)’de kesişir: “1’den sonra büyük üs kazanır, 1’den önce kaybeder” (2³ > 2², ama 0,5³ < 0,5²). Tek-çiftlik, sadeleşmiş α = p/q kesrine bağlıdır: q tek, p çift ise çift (x^(2/3)); q tek, p tek ise tek (x^(3/5)); q çift ise yalnızca x ≥ 0 için tanımlı, ne tek ne çift (x^(3/4)).

Çözümlü örnekler: kuvvet fonksiyonları

1) Bir kuvvet fonksiyonunun grafiği (8, 4)’ten geçiyor. f(x)’i, tek-çiftliğini ve f(−27)’yi bul.
2) y = x^α’nın grafiği (2, 1/4)’ten geçiyor. α’yı bul ve fonksiyonu tanımla.
3) Hesap makinesi olmadan: hangisi büyük, 3,1^(2/5) mi 2,9^(2/5) mi? Ya 0,3⁻² mi 0,4⁻² mi?

Çözümü göster

1) 8^α = 4 ⇔ 2^(3α) = 2² ⇔ α = 2/3: f(x) = x^(2/3) = ∛(x²). p = 2 çift, q = 3 tek; bu yüzden f çift fonksiyondur ve R’de tanımlıdır; f(−27) = (∛(−27))² = (−3)² = 9.
2) 2^α = 2⁻² ⇒ α = −2: y = x⁻² = 1/x², çift, tanım kümesi x ≠ 0, (0, +∞)’da azalan, (−∞, 0)’da artan.
3) y = x^(2/5), [0, +∞)’da artan olduğundan 3,1^(2/5) > 2,9^(2/5). y = x⁻², (0, +∞)’da azalan olduğundan 0,3⁻² > 0,4⁻² (kontrol: 100/9 > 100/16).

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Başta y = x³ ve y = x^0,5 = √x var: ikisi de (0, 0) ve (1, 1)’den geçer; 0 ile 1 arasında kök, 1’den sonra küp daha yukarıdadır. a = 2 (parabol), b = −1 (hiperbol), b = −2’yi dene: bütün eğriler (1, 1)’den geçer.

CSCA tarzı soru

f(x) = (m² − 4m + 4)·x^(m − 2) bir kuvvet fonksiyonudur ve (0, +∞)’da azalandır. O hâlde m =
A) 1 B) 3 C) 1 veya 3 D) 2

Çözümü göster

Kuvvet fonksiyonunda katsayı 1’dir: m² − 4m + 4 = 1 ⇒ (m − 2)² = 1 ⇒ m = 1 veya m = 3. m = 1 için y = x⁻¹ ((0, +∞)’da azalan), m = 3 için y = x (artan). Cevap A.
C katsayı koşulunda durur; B artan durumu alır; D katsayıyı 0 yapar, y = 0 ise kuvvet fonksiyonu değildir.

Üstel fonksiyon y = aˣ

Tanım

Üstel fonksiyon (指数函数)

Tabanı sabit a > 0, a ≠ 1 olan ve değişkeni üste bulunan y = aˣ fonksiyonu; tanım kümesi R’dir. Koşulların nedeni: a < 0 iken (−2)^(1/2) gibi sayılar gerçek değildir, 0ˣ, x ≤ 0 için tanımsızdır, 1ˣ = 1 ise sabittir.

Özellik	a > 1	0 < a < 1
Tanım kümesi	R	R
Görüntü kümesi	(0, +∞)	(0, +∞)
Geçtiği nokta	(0, 1)	(0, 1)
Monotonluk	artan	azalan
x > 0	y > 1	0 < y < 1
x < 0	0 < y < 1	y > 1
Asimptot	x → −∞ iken y = 0	x → +∞ iken y = 0

y = aˣ ve y = (1/a)ˣ = a⁻ˣ grafikleri y eksenine göre simetriktir. x = 1’de y = aˣ’in yüksekliği a’nın kendisidir; bu yüzden x > 0 için büyük taban daha yüksek grafik verir.

y = aˣ (a > 0, a ≠ 1): a⁰ = 1; a > 1 ⇒ artan; 0 < a < 1 ⇒ azalan; her x için aˣ > 0

burada:

ataban
a⁰ = 1her grafik (0, 1)’den geçer: “sabit nokta” (过定点) sorularının anahtarı

y = a^(kx + m) + n için üssün 0 olduğu nokta a’ya bağlı değildir: kx + m = 0, y = 1 + n.

Çözümlü örnekler: üstel fonksiyon

1) Her a > 0, a ≠ 1 için y = a^(x + 1) − 2 ve y = 2a^(3x − 3) − 1 grafikleri hangi sabit noktadan geçer?
2) y = (1/3)^|x| ve y = 4ˣ − 2^(x + 1) + 3’ün görüntü kümelerini bul.
3) a’nın hangi değerleri için y = (a − 1)ˣ, R’de azalandır?

Çözümü göster

1) x + 1 = 0: (−1, −1). 3x − 3 = 0: x = 1, y = 2 · 1 − 1: (1, 1).
2) |x| ≥ 0 ve (1/3)ᵗ azalan olduğundan 0 < (1/3)^|x| ≤ 1: (0, 1]. t = 2ˣ > 0 ile: y = t² − 2t + 3 = (t − 1)² + 2 ≥ 2, bu değer t = 1’de (x = 0) alınır: [2, +∞).
3) 0 < a − 1 < 1 ⇔ 1 < a < 2.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

İki eğri de (0, 1)’den geçer ve y eksenine göre simetriktir. a’yı 1’in üstüne ve altına getir: y = aˣ artandan azalana geçer, hep x ekseninin üstünde kalır ve bir tarafta y = 0’a yaklaşır.

Denklemler, eşitsizlikler ve değerleri karşılaştırma

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x); a > 1: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x); 0 < a < 1: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x)

burada:

aortak taban, a > 0, a ≠ 1: 8 = 2³, 0,25 = 2⁻², √2 = 2^(1/2) diye yaz
f(x), g(x)üsler: taban atıldıktan sonra doğrudan karşılaştırılır

Eşit tabanlar ⇒ eşit üsler, çünkü y = aˣ monotondur. Eşitsizlikte 1’den büyük taban işareti korur, 0 ile 1 arasındaki taban ise ters çevirir. Logaritmalardan farklı olarak tanım kümesi adımı yoktur: aˣ her x için tanımlıdır. Tabanlar eşitlenemiyorsa (2ˣ = 5) cevap bir logaritmadır, x = log₂ 5; “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersine bak.

1
Aynı taban
Bütün sayıları tek bir tabanın kuvveti olarak yaz ve üsleri eşitle.
2
Değişken değiştirme
4ˣ ile 2ˣ (ya da 9ˣ ile 3ˣ) birlikte geçiyorsa t = 2ˣ de: o zaman 4ˣ = t², 2^(x + 1) = 2t.
3
t > 0’ı unutma
t’ye göre ikinci dereceden denklemi çöz ve t ≤ 0 olan bütün kökleri at: üstel ifade her zaman pozitiftir.
4
x’e dön
aˣ = t’den x’i bul; sık yapılan hata t’yi cevap olarak yazmaktır.

Çözümlü örnekler: denklem ve eşitsizlikler

1) 9ˣ = 27^(x − 1) ve (1/4)ˣ = 8’i çöz.
2) 9ˣ − 10 · 3ˣ + 9 = 0 ve 2^(2x + 1) − 5 · 2ˣ + 2 = 0’ı çöz.
3) (1/3)^(x² − 2) > (1/3)ˣ ve 5^(x − 2) < 1/25’i çöz.

Çözümü göster

1) 3^(2x) = 3^(3x − 3) ⇒ 2x = 3x − 3 ⇒ x = 3. 2^(−2x) = 2³ ⇒ x = −3/2.
2) t = 3ˣ: t² − 10t + 9 = 0 ⇒ t = 1 veya 9 ⇒ x = 0 veya x = 2. t = 2ˣ: 2t² − 5t + 2 = 0 ⇒ t = 2 veya 1/2 ⇒ x = 1 veya x = −1.
3) 1/3 < 1 tabanı işareti ters çevirir: x² − 2 < x ⇔ x² − x − 2 < 0 ⇔ −1 < x < 2. 1/25 = 5⁻² ve 5 > 1: x − 2 < −2 ⇔ x < 0.

CSCA tarzı soru

9ˣ − 2 · 3ˣ − 3 = 0 denkleminin çözümü:
A) x = 3 B) x = 1 veya x = −1 C) x = 1 D) x = −1

Çözümü göster

t = 3ˣ > 0: t² − 2t − 3 = 0 ⇒ (t − 3)(t + 1) = 0 ⇒ t = 3 (t = −1 olamaz). 3ˣ = 3 ⇒ x = 1. Cevap C.
A, x yerine t’nin değerini verir; B ve D, t = −1’i tutar ve hatta onu x sanır; oysa 3ˣ asla negatif olmaz.

Kuvvetleri hesap makinesi olmadan karşılaştırmanın üç aracı vardır: tabanlar aynıysa y = aˣ’in monotonluğu; üsler aynıysa y = x^α kuvvet fonksiyonunun (0, +∞)’daki monotonluğu; ikisi de değilse her sayıyı 0 ve 1 ölçütleriyle karşılaştırmak ya da tabanı birinden, üssü öbüründen alınmış bir ara sayı bulmak.

aˣ > 1 ⇔ (a − 1)·x > 0; 0 < aˣ < 1 ⇔ (a − 1)·x < 0 (a > 0)

burada:

a − 1işareti tabanın 1’den büyük mü küçük mü olduğunu gösterir
xüs; işareti 0’ın sağında mı solunda mı olduğumuzu gösterir

“Aynı taraf ⇒ 1’den büyük”: 1,2^0,3 > 1 (iki çarpan da pozitif), 0,7^(−2) > 1 (ikisi de negatif), 0,7^0,3 < 1 ve 1,2^(−0,3) < 1 (işaretler zıt).

Çözümlü örnekler: kuvvetleri karşılaştırma

1) 1,7^2,5 ile 1,7³’ü; 0,8^(−0,1) ile 0,8^(−0,2)’yi; 1,5^0,3 ile 1,2^0,3’ü karşılaştır.
2) 0,7^0,8 ile 0,8^0,7’yi karşılaştır.
3) 1,5^0,3, 0,9^3,1 ve 0,5^(−0,5)’i küçükten büyüğe sırala.

Çözümü göster

1) y = 1,7ˣ artandır: 1,7^2,5 < 1,7³. y = 0,8ˣ azalandır ve −0,1 > −0,2: 0,8^(−0,1) < 0,8^(−0,2). y = x^0,3, (0, +∞)’da artandır: 1,5^0,3 > 1,2^0,3.
2) Ara sayı 0,7^0,7: 0,7^0,8 < 0,7^0,7 (taban < 1, üs daha büyük) ve 0,7^0,7 < 0,8^0,7 (üs aynı, taban daha büyük). Yani 0,7^0,8 < 0,8^0,7.
3) 0,9^3,1 < 1 < 1,5^0,3; 0,5^(−0,5) = 2^0,5 ve 1,5^0,3 < 2^0,3 < 2^0,5. Sıra: 0,9^3,1 < 1,5^0,3 < 0,5^(−0,5).

CSCA tarzı soru

a = 3^0,2, b = 0,2³, c = (1/3)^(−0,5) olsun. O hâlde
A) a < b < c B) c < a < b C) b < c < a D) b < a < c

Çözümü göster

c = (3⁻¹)^(−0,5) = 3^0,5, tabanı a ile aynı: y = 3ˣ artandır ve 0,2 < 0,5, yani a < c. b = 0,008 < 1 < a. Demek ki b < a < c. Cevap D.
C seçeneği, c’yi (1/3)^0,5 < 1 diye okuyunca çıkar: negatif üs 1/3’ü 3’e çevirir. A ve B, b’nin 1’den küçük olduğunu dikkate almaz.

CSCA bu konuyu nasıl soruyor

Kuvvetler ve üstel fonksiyonlar hem doğrudan sorularda hem de logaritmalarla (a, b, c karşılaştırması) ve fonksiyon özellikleriyle karışık sorularda çıkar. Sınavın Çince sürümü şu terimleri kullanır:

Terim (İngilizcesi)	中文	Pinyin
kuvvet — power	幂	mì
taban — base	底数	dǐshù
üs — exponent	指数	zhǐshù
n. dereceden kök — n-th root	n次方根	n cì fānggēn
köklü ifade — radical	根式	gēnshì
rasyonel üslü kuvvet — rational exponent	分数指数幂	fēnshù zhǐshùmì
kuvvet fonksiyonu — power function	幂函数	mì hánshù
üstel fonksiyon — exponential function	指数函数	zhǐshù hánshù
üstel denklem — exponential equation	指数方程	zhǐshù fāngchéng
üstel eşitsizlik — exponential inequality	指数不等式	zhǐshù bùděngshì
sabit bir noktadan geçer — passes through a fixed point	过定点	guò dìngdiǎn
asimptot — asymptote	渐近线	jiànjìnxiàn
büyüklükleri karşılaştırmak — compare the sizes	比较大小	bǐjiào dàxiǎo

Kuvvetler ve üstel fonksiyonlarla ilgili temel terimler İngilizce ve Çince.

Tipik soru kalıpları ve zaman kazandıran yollar (soru başına yaklaşık 75 saniye):

İfadenin değerini bul: önce kök, sonra kuvvet; a ≠ 0 için a⁰ = 1; negatif üs → sayının tersi.
Bir noktadan geçen ya da parametreli kuvvet fonksiyonu: katsayı = 1, sonra noktayı ya da monotonluğu kullan; tek-çiftlik α = p/q’dan.
Sabit nokta ve görüntü kümesi: üssü 0’a eşitle; görüntü kümesi için aˣ > 0 ve t = aˣ ile t’ye göre ikinci dereceden ifadeyi kullan.
Parametreli monotonluk: y = (ifade)ˣ azalan ⇔ 0 < ifade < 1; parçalı fonksiyonda birleşme noktasını da kontrol et.
Denklem ve eşitsizlikler: aynı taban ya da t = aˣ > 0; 1’den küçük tabanda işareti çevir.
a, b, c’yi sırala: aynı taban → üstel fonksiyonun monotonluğu, aynı üs → kuvvet fonksiyonunun monotonluğu; değilse 0 ve 1 ile karşılaştır ya da ara sayı kullan (logaritmalar “Logaritma ve logaritma fonksiyonu” dersinde eklenir).

Önemli noktalar

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0): payda köktür; negatif üs sayının tersidir; √(a²) = |a|.
Kuvvet fonksiyonu y = x^α (katsayı 1): (1, 1)’den geçer; α > 0 ise [0, +∞)’da artan, α < 0 ise (0, +∞)’da azalan; tek-çiftlik α = p/q’dan.
Üstel fonksiyon y = aˣ (a > 0, a ≠ 1): tanım kümesi R, görüntü kümesi (0, +∞), (0, 1)’den geçer; a > 1 ise artan, 0 < a < 1 ise azalan.
Denklemler: aynı taban ya da t = aˣ > 0 (t ≤ 0 kökleri atılır); eşitsizlikler: 1’den küçük taban işareti ters çevirir.
Karşılaştırma: aynı taban, aynı üs ya da 0 ve 1 ölçütleri: aˣ > 1 ⇔ (a − 1)x > 0.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Bunlardan hangisi bir kuvvet fonksiyonudur?

Konu testi: 20 soru · 25 dk

Dersi bitirdin mi? Bu konudaki süreli testle kendini dene.

Teste başla