Kompleks ədədlər — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Kompleks ədədin həqiqi və xəyali hissələrini oxumaq, «həqiqi», «xalis xəyali» şərtlərindən və bərabərlikdən parametr tapmaq
Cəbri şəkildə toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək (qoşmaya vurmaqla)
Qoşma ədədi və modulu tapmaq, ədədin kompleks müstəvidəki yerini (rüb, ox, məsafə) müəyyən etmək
i-nin qüvvətlərini və qüvvətlərin cəmlərini dördlük dövrü ilə sadələşdirmək

x² + 1 = 0 tənliyinin həqiqi həlli yoxdur: kvadratı −1 olan həqiqi ədəd yoxdur. Riyaziyyatçılar sadəcə bunu bacaran yeni ədəd əlavə etdilər — i² = −1 olan i — və elə ədədlər sistemi aldılar ki, orada hər kvadrat tənliyin kökləri var; mühəndislər ondan dəyişən cərəyanı və siqnalları təsvir etmək üçün hər gün istifadə edirlər. CSCA proqramında kompleks ədədlər «Müstəvi vektorları» dərsi ilə birlikdə «Vektorlar və kompleks ədədlər» sətrini təşkil edir və yalnız əsaslar yoxlanılır: cəbri şəkil, kompleks müstəvi və dörd əməl. Bu dərsdəki bir neçə qaydanı bilirsənsə, tipik sual iki sətirlik cəbrdir.

Xəyali vahid və cəbri şəkil

Tərif

Xəyali vahid (虚数单位)

i² = −1 olan i ədədi. Onunla mənfi ədədlərin kvadrat kökləri mövcud olur: √(−4) = 2i, x² = −9 tənliyinin isə iki kökü var: ±3i. Cəbrin qaydaları (mötərizələrin açılması, oxşar hədlər, qısa vurma düsturları) əvvəlki kimi işləyir — sadəcə i²-ni −1 ilə əvəz edirsən.

Tərif

Kompleks ədəd (复数)

a və b həqiqi olmaqla z = a + bi şəklində ədəd (cəbri şəkil). a — həqiqi hissə, Re z, b isə xəyali hissədir, Im z — i-siz yazılan həqiqi ədəd: Im(3 − 4i) = −4. Bütün kompleks ədədlər C çoxluğunu əmələ gətirir; hər həqiqi ədəd b = 0 olan kompleks ədəddir: R ⊂ C.

z = a + bi (a, b ∈ R): həqiqi ⇔ b = 0; xəyali ⇔ b ≠ 0; xalis xəyali ⇔ a = 0 və b ≠ 0 a + bi = c + di ⇔ a = c və b = d

burada:

a = Re zhəqiqi hissə
b = Im zxəyali hissə — həqiqi ədəd, i-siz yazılır
a = c, b = dbir kompleks bərabərlik iki həqiqi tənlik verir

Çin dərslikləri: 实数 (b = 0), 虚数 (b ≠ 0), 纯虚数 (a = 0, b ≠ 0). Diqqət: bir çox ingilisdilli kitablarda «imaginary number» yalnız bi şəklində ədədə deyilir, Çin mənasında isə 3 + 2i artıq 虚数-dir. Kompleks ədədlər bərabər və ya fərqli ola bilər, amma hər ikisi həqiqi deyilsə, onları < və ya > ilə müqayisə etmək olmaz.

Ədəd	Re z	Im z	Növü
5	5	0	həqiqi
3 − 4i	3	−4	xəyali (xalis xəyali deyil)
−2i	0	−2	xalis xəyali
i²	−1	0	həqiqi
0	0	0	həqiqi — xalis xəyali deyil!

Xalis xəyali ədəddə b ≠ 0 şərti mütləqdir: 0 xalis xəyali deyil.

Nümunə 1: həqiqi, xalis xəyali, bərabər

1) z = (m² − 4) + (m + 2)i, m ∈ R. m-in hansı qiymətində z həqiqidir? Xalis xəyalidir?
2) (x + y) + (x − 2y)i = 5 − i olarsa, x və y həqiqi ədədlərini tap.

Həllini göstər

1) Həqiqi: m + 2 = 0 ⇒ m = −2. Xalis xəyali: m² − 4 = 0 və m + 2 ≠ 0. m² = 4 bərabərliyindən m = ±2 alınır, amma m = −2 olduqda z = 0 ⇒ yalnız m = 2 (z = 4i).
2) Hissələri bərabərləşdirək: x + y = 5 və x − 2y = −1. Birincidən ikincini çıxsaq: 3y = 6 ⇒ y = 2, x = 3.

Nümunə 2 (CSCA formatı): xalis xəyali ədəd

z = (a² − a − 2) + (a + 1)i kompleks ədədi (a ∈ R) xalis xəyalidir. a neçədir?
A) −1 B) 2 C) −1 və ya 2 D) −2

Həllini göstər

a² − a − 2 = (a − 2)(a + 1) = 0 ⇒ a = 2 və ya a = −1. a + 1 ≠ 0 şərti a = −1-i kənarlaşdırır (onda z = 0) ⇒ cavab B.
C klassik tələdir — b ≠ 0 şərtini unutmaq. A məhz z = 0 verən qiymətdir; D vuruqlara ayırmada işarə səhvidir.

Kompleks müstəvi, qoşma ədəd və modul

Hər z = a + bi kompleks ədədinə müstəvinin Z(a; b) nöqtəsi və koordinat başlanğıcından çıxan OZ⃗ vektoru uyğundur. Üfüqi ox həqiqi ox, şaquli ox isə xəyali oxdur; xəyali oxun O-dan başqa bütün nöqtələri xalis xəyali ədədlərdir. Kompleks ədədləri toplamaq onların vektorlarını toplamaq deməkdir — «Müstəvi vektorları» dərsindəki paraleloqram qaydası; ona görə |z₁ − z₂| iki nöqtə arasındakı məsafədir.

z = a + bi ↔ Z(a; b) ↔ OZ⃗ z̄ = a − bi |z| = |OZ⃗| = √(a² + b²) |z₁ − z₂| = |Z₁Z₂|

burada:

z̄qoşma ədəd (共轭复数): həqiqi oxa nəzərən simmetrik nöqtə
|z|modul (模): O-dan Z-yə qədər məsafə; |z̄| = |z|
|z₁ − z₂|z₁ və z₂ ədədlərinin nöqtələri arasındakı məsafə

Rüblər: I — a > 0, b > 0; II — a < 0, b > 0; III — a < 0, b < 0; IV — a > 0, b < 0. Oxların üzərindəki ədəd heç bir rübə aid deyil.

z və z̄ həqiqi oxa nəzərən simmetrikdir və modulları eynidir: |z| = |z̄| = √13.

Nümunə 3: nöqtələr, qoşma ədədlər və modullar

1) z₁ = −3 + 2i, z₂ = 4 − i və z₃ = −5i ədədlərinin nöqtələri hansı rüblərdədir?
2) z = −6 + 8i. z̄, |z| və |z̄|-ni tap.
3) z₁ = 1 + 2i və z₂ = 4 − 2i ədədlərinin nöqtələri arasındakı məsafəni tap.

Həllini göstər

1) z₁ ↔ (−3; 2): II rüb; z₂ ↔ (4; −1): IV rüb; z₃ ↔ (0; −5): xəyali ox üzərindədir, heç bir rübdə deyil.
2) z̄ = −6 − 8i, |z| = √(36 + 64) = 10, |z̄| = 10.
3) |z₁ − z₂| = |−3 + 4i| = √(9 + 16) = 5.

Nümunə 4: parametr və çevrə

1) m-in hansı həqiqi qiymətlərində z = (m − 3) + (m + 1)i ədədinin nöqtəsi II rübdədir?
2) |z − 2i| = 3 şərtini ödəyən nöqtələr çoxluğu nədir?

Həllini göstər

1) II rüb: həqiqi hissə < 0, xəyali hissə > 0: m − 3 < 0 və m + 1 > 0 ⇒ −1 < m < 3.
2) |z − 2i| — Z nöqtəsindən (0; 2) nöqtəsinə qədər məsafədir, deməli, nöqtələr ondan 3 məsafədədir: mərkəzi (0; 2), radiusu 3 olan çevrə.

Dörd əməl

Toplama və çıxma hissə-hissə, eynilə vektorlarda olduğu kimi aparılır: z₁ + z₂ ədədi OZ₁⃗ və OZ₂⃗ üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalıdır. Vurma — adi mötərizə açmaq və bir əvəzləmədir: i² = −1. Bölmə üçün fənd lazımdır, çünki i məxrəcdə qala bilməz: surəti və məxrəci məxrəcin qoşmasına vururuq, çünki (c + di)(c − di) = c² + d² həqiqi ədəddir.

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (a + bi)(a − bi) = a² + b²

burada:

±toplama və çıxma: həqiqi hissələr ayrıca, xəyali hissələr ayrıca
ac − bdvurma: ikihədlilər kimi aç, bi · di = bd · i² = −bd
z · z̄ = a² + b²= |z|² — həmişə mənfi olmayan həqiqi ədəd

Yadda saxlamağa dəyən kvadratlar: (a + bi)² = (a² − b²) + 2abi, (1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i.

Nümunə 5: toplama və vurma

Hesabla:
1) (3 − 2i) − (1 − 5i) + (−4 + i)
2) (2 + 3i)(1 − 4i)
3) (3 + 2i)² və (2 − i)(2 + i)

Həllini göstər

1) Həqiqi hissələr: 3 − 1 − 4 = −2; xəyali hissələr: −2 + 5 + 1 = 4 ⇒ −2 + 4i.
2) 2 − 8i + 3i − 12i² = 2 + 12 − 5i = 14 − 5i.
3) (3 + 2i)² = 9 + 12i + 4i² = 5 + 12i; (2 − i)(2 + i) = 4 − i² = 5 — həqiqi ədəd, çünki z · z̄ həmişə həqiqidir.

(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / ((c + di)(c − di)) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / ((c + di)(c − di)) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

burada:

c − diməxrəcin qoşması
c² + d²həqiqi məxrəc: |c + di|²

Qoşmaya vurmaq məxrəci həqiqi edir — məxrəcdəki kökdən qurtulmaq kimi. Modullar sadə davranır: |z₁z₂| = |z₁| · |z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|.

1
Qoşmanı yaz
Məxrəcin qoşmasını yaz: c + di → c − di.
2
Vur
Həm surəti, həm də məxrəci ona vur.
3
Məxrəc
Məxrəc c² + d² olur — müsbət həqiqi ədəd.
4
Surət
Mötərizələri aç, i²-ni −1 ilə əvəz et, həqiqi və xəyali hissələri qruplaşdır.
5
Suala cavab ver
Hər iki hissəni c² + d²-yə böl və soruşulanı oxu: hissə, qoşma, modul və ya rüb.

Nümunə 6: bölmə

1) (5 + i)/(1 + i)
2) 10/(3 − i)
3) z(2 − i) = 5i. z-i və z̄-ı tap.

Həllini göstər

1) (5 + i)(1 − i)/((1 + i)(1 − i)) = (5 − 5i + i − i²)/2 = (6 − 4i)/2 = 3 − 2i.
2) 10(3 + i)/(9 + 1) = 3 + i.
3) z = 5i/(2 − i) = 5i(2 + i)/5 = 2i + i² = −1 + 2i, z̄ = −1 − 2i. Yoxlama: (−1 + 2i)(2 − i) = −2 + i + 4i − 2i² = 5i ✓.

Nümunə 7 (CSCA formatı): bölmədən modul

z = (3 + i)/(1 − 2i). |z| neçədir?
A) √2 B) 2 C) √10 D) √50

Həllini göstər

Tez yol: |z| = |3 + i|/|1 − 2i| = √10/√5 = √2 ⇒ cavab A. Bölməklə: z = (3 + i)(1 + 2i)/5 = (1 + 7i)/5, |z| = √50/5 = √2 — eyni cavab.
B — |z|²-dir, C məxrəcin modulunu unudur, D isə 5-ə bölməzdən əvvəlki 1 + 7i surətinin moduludur.

Nümunə 8 (CSCA formatı): qoşmanın rübü

z = 2i/(1 + i). z̄ ədədinin nöqtəsi kompleks müstəvinin hansı rübündədir?
A) I B) II C) III D) IV

Həllini göstər

z = 2i(1 − i)/2 = i − i² = 1 + i, deməli, z̄ = 1 − i ↔ (1; −1): IV rüb, cavab D.
A z-in özünün rübüdür — sual isə z̄ haqqındadır. B və C i² = −1 ilə işarə səhvlərindən alınır.

i-nin qüvvətləri və kvadrat tənliklər

i⁴ = 1 olduğundan i-nin qüvvətləri saatın əqrəbi kimi hər dörd addımdan bir əvvəlki yerinə qayıdır. Ona görə istənilən qüvvəti üstü 4-ə bölməklə i⁰, i¹, i² və ya i³-ə gətirmək olar — bu, CSCA-nın sevdiyi bir sətirlik sualdır. 1 + i və 1 − i-nin qüvvətləri də belə hesablanır: əvvəlcə kvadrata yüksəlt, çünki (1 ± i)² = ±2i.

i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 i⁴ᵏ⁺ʳ = iʳ iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0

burada:

rn-in 4-ə bölünməsindən alınan qalıq (0, 1, 2, 3); i⁰ = 1
ktam ədəd

Qüvvətlər i → −1 → −i → 1 dairəsi üzrə 4 addımdan bir təkrarlanır, ona görə ardıcıl dörd qüvvətin cəmi həmişə 0-dır. Mənfi üstlər də belədir: i⁻¹ = −i, i⁻² = −1.

Nümunə 9: i-nin qüvvətləri

Hesabla:
1) i³⁷, i⁵⁰ və i⁻³
2) i + i² + i³ + … + i¹⁰
3) (1 + i)⁸ və ((1 − i)/(1 + i))²⁰²⁶

Həllini göstər

1) 37 = 4 · 9 + 1 ⇒ i³⁷ = i; 50 = 4 · 12 + 2 ⇒ i⁵⁰ = −1; i⁻³ = i⁻³⁺⁴ = i (yoxlama: i · i³ = i⁴ = 1 ✓).
2) İlk 8 hədd iki sıfır dördlük verir; i⁹ + i¹⁰ = i − 1 ⇒ −1 + i.
3) (1 + i)⁸ = ((1 + i)²)⁴ = (2i)⁴ = 16i⁴ = 16. (1 − i)/(1 + i) = −i, (−i)²⁰²⁶ = i²⁰²⁶ (cüt üst), 2026 = 4 · 506 + 2 ⇒ −1.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R), D = b² − 4ac < 0: x₁,₂ = (−b ± i√(−D)) / (2a)ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R), D = b² − 4ac < 0: x₁,₂ = (−b ± i√(−D)) / (2a)

burada:

Ddiskriminant; D < 0 olduqda həqiqi kök yoxdur, amma iki qoşma kompleks kök var
√(−D)adi kvadrat kök, çünki −D > 0

Viyet düsturları qüvvədə qalır: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. Əmsalları həqiqi olan tənliyin kökü a + bi-dirsə, a − bi də onun köküdür.

Nümunə 10: kompleks kökləri olan tənliklər

1) x² − 4x + 13 = 0 tənliyini həll et.
2) 1 + i ədədi p və q həqiqi olmaqla x² + px + q = 0 tənliyinin köküdür. p və q-nü tap.

Həllini göstər

1) D = 16 − 52 = −36, √(−D) = 6: x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i. Viyetlə yoxlama: cəm 4, hasil 4 + 9 = 13 ✓.
2) İkinci kök qoşma ədəddir: 1 − i. Cəm 2 = −p ⇒ p = −2; hasil (1 + i)(1 − i) = 2 = q ⇒ q = 2.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

CSCA riyaziyyat testində 60 dəqiqəyə 48 sual var — hər birinə təxminən 75 saniyə, kompleks ədəd sualına isə bundan da az vaxt sərf etmək olar. Tipik növləri:

hasili və ya qisməti sadələşdir, sonra həqiqi və ya xəyali hissəni, qoşmanı, modulu və ya rübü göstər;
parametr: z həqiqidir, xalis xəyalidir və ya nöqtəsi verilmiş rübdədir;
z-i tapmaq üçün tənliklər (z-i bir ifadəyə vurmaq, z və z̄ birlikdə) və iki kompleks ədədin bərabərliyi;
i-nin qüvvətləri və ardıcıl qüvvətlərin cəmləri;
kompleks müstəvi: |z₁ − z₂| məsafəsi və |z − z₀| = r kimi sadə çoxluqlar;
D < 0 olan həqiqi əmsallı kvadrat tənliyin kökləri qoşma cütdür.

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
kompleks ədəd — complex number	复数	fùshù
xəyali vahid — imaginary unit	虚数单位	xūshù dānwèi
həqiqi hissə / xəyali hissə — real part / imaginary part	实部 / 虚部	shíbù / xūbù
həqiqi ədəd / xəyali ədəd — real number / imaginary number	实数 / 虚数	shíshù / xūshù
xalis xəyali ədəd — pure imaginary number	纯虚数	chún xūshù
cəbri şəkil — algebraic form	代数形式	dàishù xíngshì
kompleks ədədlərin bərabərliyi — equality of complex numbers	复数相等	fùshù xiāngděng
qoşma kompleks ədəd — conjugate complex number	共轭复数	gòng'è fùshù
modul — modulus	模	mó
kompleks müstəvi — complex plane	复平面	fù píngmiàn
həqiqi ox / xəyali ox — real axis / imaginary axis	实轴 / 虚轴	shízhóu / xūzhóu
rüb — quadrant	象限	xiàngxiàn
dörd hesab əməli — four arithmetic operations	四则运算	sìzé yùnsuàn

Test ingilis və ya çin dilində verilir — terminləri hər iki dildə tanı.

Əsas fikirlər

i² = −1; z = a + bi: Re z = a, Im z = b (i-siz həqiqi ədəd).
Həqiqi ⇔ b = 0; xalis xəyali ⇔ a = 0 və b ≠ 0; a + bi = c + di ⇔ a = c və b = d.
z ↔ Z(a; b) ↔ OZ⃗; z̄ = a − bi həqiqi oxa nəzərən simmetrikdir; |z| = √(a² + b²), |z₁ − z₂| — məsafə.
İkihədlilər kimi vur və i²-ni −1 ilə əvəz et; bölmədə surəti və məxrəci məxrəcin qoşmasına vur; z · z̄ = |z|².
iⁿ 4 addımdan bir təkrarlanır (i, −1, −i, 1); ardıcıl dörd qüvvətin cəmi 0-dır; (1 ± i)² = ±2i.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

z = (2 − 3i)i ədədinin xəyali hissəsi neçədir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla