Törəmənin tətbiqləri: monotonluq və ekstremumlar

Bu dərsdə öyrənəcəksən

f′-in işarəsinə görə artma və azalma aralıqlarını tapmaq, o cümlədən parametrli suallarda
Kritik nöqtələri və ekstremumları tapmaq, onları f′-in qrafikinin təsvirindən oxumaq
Parçada ən böyük və ən kiçik qiyməti tapmaq, sadə optimallaşdırma məsələlərini həll etmək və tənliyin köklərini saymaq
Sadə müəyyən inteqralı əyrinin altındakı sahə kimi hesablamaq

12 sm × 12 sm ölçülü karton vərəq: künclərindən bərabər kvadratlar kəsin, kənarlarını qatlayın — qapaqsız qutu alınır. Kiçik kəsiklər yastı, böyük kəsiklər dar qutu verir; arada bir yerdə həcm ən böyük olur. Dəqiq harada? «Törəmə: tərif, həndəsi məna və qaydalar» dərsində f′-i hesablamağı öyrəndin; indi onun işarəsi funksiyanın harada artdığını, harada azaldığını və harada döndüyünü göstərəcək — qutu məsələsi isə üç sətir çəkəcək.

f′-in işarəsi və monotonluq aralıqları

f′(x) > 0 olan yerdə bütün toxunanlar qalxır, deməli, qrafik də qalxır: funksiya artandır (单调递增). f′(x) < 0 olan yerdə funksiya azalandır (单调递减). Artan və azalan funksiyanın tərifləri «Funksiyalar və onların xassələri» dərsindədir; törəmə isə məsələni artıq həll etməyi bacardığın işarə sualına çevirir («Bərabərsizliklər: xassələr, kvadrat və rasional bərabərsizliklər» dərsinə bax).

(a; b)-də f′(x) > 0 ⇒ f (a; b)-də artır; (a; b)-də f′(x) < 0 ⇒ f (a; b)-də azalır

burada:

f′(x)x nöqtəsində toxunanın bucaq əmsalı
(a; b)təyin oblastının daxilindəki aralıq

Kafi şərtdir, zəruri deyil: y = x³ bütün ədəd oxunda artır, halbuki y′(0) = 0. Parametrli sualda («f I aralığında artandır») I-də f′(x) ≥ 0 tələb olunur (sıfır yalnız ayrı-ayrı nöqtələrdə ola bilər).

1
Əvvəlcə təyin oblastı
Təyin oblastını yazın. ln x və ya √x olanda o, bütün həqiqi ədədlər deyil, cavab da onun daxilində qalmalıdır.
2
Törəmə və vuruqlara ayırma
f′(x)-i tapın və onu sadə vuruqların hasili və ya nisbəti şəklində yazın.
3
Sıfırlar və işarələr
f′-in sıfırlarını (və törəmənin olmadığı nöqtələri) ədəd oxunda qeyd edin və hər hissədə f′-in işarəsini tapın, məsələn, bir ədədi yerinə yazaraq.
4
Aralıqları yazın
Artma və azalma aralıqlarını ayrı-ayrılıqda yazın. CSCA-da (Çin ənənəsində) iki aralıq «və» sözü və ya vergüllə yazılır, ∪ ilə birləşdirilmir: f(x) = −1/x (−∞; 0) və (0; +∞) aralıqlarının hər birində artır, amma onların birləşməsində yox, çünki f(−1) = 1 > f(1) = −1.

Nümunə 1: monotonluq aralıqları

1) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x; 2) f(x) = x² − 2 ln x; 3) f(x) = eˣ − x.

Həllini göstər

1) f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x + 1)(x − 2): (−∞; −1)-də «+», (−1; 2)-də «−», (2; +∞)-da «+». f (−∞; −1) və (2; +∞) aralıqlarında artır, (−1; 2)-də azalır.
2) Təyin oblastı x > 0. f′(x) = 2x − 2/x = 2(x − 1)(x + 1)/x; x > 0 olanda işarə x − 1-in işarəsidir: (0; 1)-də azalır, (1; +∞)-da artır. x = −1 sıfırı təyin oblastından kənardadır.
3) f′(x) = eˣ − 1: x < 0 olanda mənfi, x > 0 olanda müsbətdir: (−∞; 0)-da azalır, (0; +∞)-da artır.

Nümunə 2 (CSCA üslubunda): parametr

f(x) = x³ − ax² + 3x funksiyası (−∞; +∞)-da artandır. a-nın qiymətlər çoxluğu hansıdır?
A) −3 < a < 3 B) a ≤ −3 və ya a ≥ 3 C) −3 ≤ a ≤ 3 D) 0 ≤ a ≤ 3

Həllini göstər

Bütün x üçün f′(x) = 3x² − 2ax + 3 ≥ 0 olmalıdır. Qolları yuxarı yönəlmiş parabola diskriminant ≤ 0 olanda mənfi qiymət almır: 4a² − 36 ≤ 0 ⇒ −3 ≤ a ≤ 3, cavab C.
A ucları atır, lakin a = ±3 olanda f′(x) = 3(x ∓ 1)² yalnız bir nöqtədə sıfır olur və f yenə artır. B tamamlayıcı çoxluqdur; D isə əsassız olaraq yalnız mənfi olmayan a-ları saxlayır.

Kritik nöqtələr və ekstremumlar

Tərif

Maksimum və minimum

Əgər x₀-a yaxın bütün x ≠ x₀ üçün f(x) < f(x₀)-dırsa, x₀ maksimum nöqtəsi, f(x₀) isə funksiyanın maksimumu (极大值) adlanır. Minimum (极小值) eyni qaydada, «kiçik» sözü ilə təyin olunur. Onlar birlikdə ekstremum nöqtələri (极值点) və ekstremumlar (极值) adlanır. Çin dərsliklərində ekstremum nöqtəsi müstəvinin (x₀; y₀) nöqtəsi yox, x₀ ədədidir — «ekstremum nöqtəsi (1; 2)-dir» kimi variantlar buna görə səhvdir.

Tərif

Kritik (stasionar) nöqtə

Təyin oblastının f′(x) = 0 olan daxili nöqtəsi stasionar nöqtə (驻点) adlanır; törəmənin olmadığı nöqtələr də yoxlanılır, hamısı birlikdə kritik nöqtələrdir. Diferensiallanan funksiyanın hər ekstremum nöqtəsi stasionar nöqtədir, lakin hər stasionar nöqtə ekstremum deyil.

x₀-da f′: + → − ⇒ maksimum; x₀-da f′: − → + ⇒ minimum; işarə dəyişmirsə ⇒ ekstremum yoxdur

burada:

x₀kritik nöqtə
+ → −f′ x₀-dan solda müsbət, sağda mənfidir: f əvvəl artır, sonra azalır

Birinci törəmə ilə yoxlama. Tək f′(x₀) = 0 kifayət deyil: y = x³ üçün y′(0) = 0, lakin y′ hər iki tərəfdə müsbətdir — ekstremum yoxdur.

Nümunə 3: ekstremumlar

1) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x (1-ci nümunədəki funksiya).
2) f(x) = (ln x)/x.

Həllini göstər

1) f′ = 6(x + 1)(x − 2) x = −1-də «+»-dan «−»-yə, x = 2-də «−»-dən «+»-ya keçir. Maksimum f(−1) = −2 − 3 + 12 = 7, minimum f(2) = 16 − 12 − 24 = −20.
2) Təyin oblastı x > 0. f′(x) = (1/x · x − ln x · 1)/x² = (1 − ln x)/x²: x < e olanda müsbət, x > e olanda mənfidir. Maksimum f(e) = 1/e, minimum yoxdur. Bu funksiya (ln 2)/2 və (ln 3)/3 kimi ədədləri müqayisə etməyin açarıdır.

Nümunə 4 (CSCA üslubunda): işarə dəyişməsini yoxla

f(x) = x³ − ax² − bx + a² funksiyasının x = 1 nöqtəsində ekstremumu var və o, 10-a bərabərdir. a + b nəyə bərabərdir?
A) 0 B) 0 və ya 7 C) −7 D) 7

Həllini göstər

f′(x) = 3x² − 2ax − b. f′(1) = 0 və f(1) = 10 şərtlərindən b = 3 − 2a və a² + a − 12 = 0 alınır: a = 3, b = −3 və ya a = −4, b = 11.
Yoxlama: a = 3, b = −3 olanda f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² ≥ 0 işarəsini dəyişmir — ekstremum yoxdur. a = −4, b = 11 olanda f′(x) = 3x² + 8x − 11 = (x − 1)(3x + 11) işarəsini dəyişir. Deməli, a + b = 7, cavab D.
B yalançı həlli də saxlayır; A isə yalnız o həldir.

CSCA çox vaxt f-in yox, f′-in qrafikini verir və f haqqında soruşur. Onu işarə cədvəli kimi oxuyun: absis oxundan yuxarıda f artır, aşağıda azalır; f′ oxu yuxarıdan aşağıya kəsən yerdə f-in maksimumu, aşağıdan yuxarıya kəsən yerdə minimumu var; f′ oxa yalnız toxunursa, ekstremum yoxdur. f′-in qrafikinin ən yüksək və ya ən alçaq nöqtəsi f-in ekstremumu deyil — orada f ən sürətlə dəyişir.

Nümunə 5 (CSCA üslubunda): sözlə təsvir olunmuş f′ qrafiki

y = f′(x) funksiyasının (−3; 4)-dəki qrafiki: (−3; −1)-də absis oxundan aşağıdadır; x = −1-də oxu kəsir və x = 1-ə qədər oxdan yuxarıda qalır, x = 1-də oxa toxunur; (1; 3)-də yenə oxdan yuxarıdadır; x = 3-də oxu kəsir və (3; 4)-də oxdan aşağıdadır. f-in (−3; 4)-də neçə ekstremum nöqtəsi var?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Həllini göstər

f′-in işarələri: − | + | + | −; işarə x = −1-də (− → +: minimum) və x = 3-də (+ → −: maksimum) dəyişir. x = 1-də işarə «+» qalır, orada ekstremum yoxdur. Cavab B — iki ekstremum nöqtəsi. C f′-in bütün sıfırlarını sayır.

Ən böyük və ən kiçik qiymət, optimallaşdırma və köklər

[a; b]-də ən böyük qiymət = f(a), f(b), f(x₁), …, f(xₖ) ədədlərinin ən böyüyü; ən kiçik qiymət = onların ən kiçiyi

burada:

[a; b]f-in kəsilməz olduğu parça
x₁, …, xₖ(a; b) daxilindəki kritik nöqtələr

Parçada kəsilməz funksiya həmişə ən böyük (最大值) və ən kiçik (最小值) qiymətini alır — ya kritik nöqtədə, ya da ucda. İşarə cədvəli lazım deyil: sadəcə ədədləri müqayisə edin.

Nümunə 6: parçada

1) f(x) = x³ − 12x, [−3; 5] parçası.
2) f(x) = eˣ − ex, [0; 2] parçası.

Həllini göstər

1) f′(x) = 3(x² − 4) = 0 ⇒ x = ±2, hər ikisi parçanın daxilindədir. f(−3) = 9, f(−2) = 16, f(2) = −16, f(5) = 125 − 60 = 65. Ən böyük qiymət 65 (x = 5 ucunda; maksimum olan 16-dan böyükdür), ən kiçik qiymət −16.
2) f′(x) = eˣ − e = 0 ⇒ x = 1. f(0) = 1, f(1) = e − e = 0, f(2) = e² − 2e = e(e − 2) ≈ 2,7 · 0,7 ≈ 1,9. Ən kiçik qiymət 0, ən böyük qiymət e² − 2e (f(0) = 1 ilə e ≈ 2,7 təxmini qiyməti vasitəsilə müqayisə olunur).

1
Dəyişəni seçin
İdarə etdiyiniz kəmiyyəti (məsələn, x uzunluğunu) adlandırın və onun ala biləcəyi qiymətlər aralığını yazın.
2
Funksiyanı qurun
Ən böyük və ya ən kiçik edilməli kəmiyyəti məsələnin şərtlərindən istifadə edərək yalnız x ilə ifadə edin.
3
Törəmə və müqayisə
Aralığın daxilində f′(x) = 0 tənliyini həll edin; uclarla müqayisə edin və ya bu qaydadan istifadə edin: aralıqda yeganə ekstremum eyni zamanda ən böyük (ən kiçik) qiymətdir.
4
Soruşulana cavab verin
Soruşulanı yazın: x ölçüsünü, ən böyük həcmi və ya hər ikisini — vahidləri ilə.

Nümunə 7: girişdəki qutu

12 sm × 12 sm ölçülü vərəqin künclərindən tərəfi x sm olan kvadratlar kəsilir və kənarları qatlanır. x-in hansı qiymətində qapaqsız qutunun həcmi ən böyükdür və bu həcm nə qədərdir?

Həllini göstər

V(x) = x(12 − 2x)², 0 < x < 6.
V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇒ x = 2 (x = 6 uyğun deyil).
0 < x < 2 olanda V′ > 0, 2 < x < 6 olanda V′ < 0, deməli, yeganə ekstremum maksimumdur: x = 2 sm, V = 2 · 8² = 128 sm³.

Köklərin sayı. f(x) = k tənliyinin həllərini saymaq üçün f-in qrafikini monotonluq aralıqları və ekstremumlarına görə eskiz edin və y = k üfüqi düz xəttini hərəkət etdirin: hər kəsişmə bir kökdür. Maksimumu M, minimumu m olan kub funksiya üçün: m < k < M olanda üç kök, k = M və ya k = m olanda iki kök, qalan hallarda bir kök (funksiyanın sıfırları — 零点).

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Birinci əyri y = x³ − 3x + c, ikincisi onun törəməsi y′ = 3x² − 3-dür (c-dən asılı deyil). y′ oxdan yuxarıda olanda birinci əyri qalxır. c-ni dəyişin: x³ − 3x + c = 0 tənliyinin −2 < c < 2 olanda üç, c = ±2 olanda iki, qalan hallarda bir kökü var.

Nümunə 8 (CSCA üslubunda): düz iki kök

x³ − 3x² + 4 = k tənliyinin düz iki müxtəlif həqiqi kökü var. k nəyə bərabərdir?
A) 0 və ya 4 B) 0 < k < 4 C) 4 D) 0

Həllini göstər

g(x) = x³ − 3x² + 4: g′(x) = 3x(x − 2), maksimum g(0) = 4, minimum g(2) = 8 − 12 + 4 = 0. y = k düz xətti qrafiki düz iki nöqtədə yalnız ekstremum qiymətindən keçəndə kəsir: k = 4 və ya k = 0, cavab A.
B üç kök verir; C və D iki qiymətdən yalnız birini tapır.

İnteqrala ilk baxış

Proqram bu hissəni «törəmə və riyazi analizin əsasları» adlandırır. Riyazi analizin ikinci yarısı əks istiqamətdə işləyir: F′(x) = f(x) olarsa, F funksiyası f-in ibtidai funksiyasıdır (原函数) — məsələn, x² üçün x³/3, sin x üçün −cos x. Müəyyən inteqral (定积分) ∫ₐᵇ f(x) dx f ≥ 0 funksiyasının qrafiki ilə absis oxu arasında a-dan b-yə qədər olan sahədir («əyrixətli trapesiya», 曲边梯形) və ibtidai funksiya vasitəsilə hesablanır.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), burada F′(x) = f(x)

burada:

Ff-in ibtidai funksiyası: (xⁿ⁺¹/(n + 1))′ = xⁿ, (−cos x)′ = sin x
a, binteqrallama sərhədləri

Nyuton–Leybnis düsturu, riyazi analizin əsas teoremi (微积分基本定理). [a; b]-də f ≥ 0 olanda inteqral əyrinin altındakı sahədir; v(t) ≥ 0 sürəti üçün isə gedilən yoldur.

Nümunə 9: sahələr və yol

1) y = x² əyrisinin altında x = 0-dan x = 1-ə qədər sahə.
2) ∫₀³ 2x dx — üçbucağın sahəsi ilə yoxlayın.
3) y = sin x-in bir tağının altındakı sahə, 0-dan π-yə qədər.
4) Cisim v(t) = 6t² (m/s) sürəti ilə hərəkət edir. İlk 2 s-də nə qədər yol gedir?

Həllini göstər

1) F(x) = x³/3: S = 1/3 − 0 = 1/3.
2) F(x) = x²: 9 − 0 = 9; fiqur katetləri 3 və 6 olan düzbucaqlı üçbucaqdır: ½ · 3 · 6 = 9 ✓.
3) F(x) = −cos x: −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.
4) s = ∫₀² 6t² dt = [2t³]₀² = 16 m.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

y = x² altında 0-dan b-yə qədər rənglənmiş sahə və onun qiyməti ∫₀ᵇ x² dx = b³/3. b = 1 olanda 1/3, b = 3 olanda 9-dur.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Monotonluq aralıqları: törəmə, vuruqlara ayırma, işarə cədvəli; ln x və ya 1/x varsa, əvvəlcə təyin oblastı; aralıqlar ayrı-ayrılıqda yazılır.
Parametr və monotonluq: «f I-də artandır» ⇒ I-də f′(x) ≥ 0; bütün oxda kvadrat f′ üçün diskriminant ≤ 0; əks halda parametri ayırın: I-dən olan bütün x üçün a ≥ g(x) o deməkdir ki, a g-nin I-dəki heç bir qiymətindən kiçik deyil.
Ekstremumlar: maksimumu və ya minimumu tapmaq; «x₀-da ekstremum var» şərtindən parametri tapmaq — sonra işarə dəyişməsini yoxlamaq.
f′-in qrafiki: oxu kəsdiyi nöqtələr ekstremumlardır (yuxarıdan aşağı — maksimum); toxunma nöqtələri və f′-in təpəsi ekstremum deyil.
Parçada ən böyük və ən kiçik qiymət: kritik nöqtələrdəki qiymətləri uclarla müqayisə edin; çox vaxt parametr verilmiş ən böyük qiymətə görə tapılır.
Optimallaşdırma və köklər: yeganə ekstremum cavabı verir; f(x) = k tənliyinin köklərinin sayı ekstremumlara görə tapılır.
İnteqral (törəmədən bir addım o yana): sadə əyrinin altındakı sahə və ya v(t)-yə görə yol.
Vaxta qənaət (hər suala 75 s): tam işarə cədvəli əvəzinə hər variantdan bir ədəd yoxlayın; kub funksiyada köklərin sayını yalnız ekstremumlar həll edir; cədvəlin hamısını yox, yalnız işarələri yazın.

Termin	中文	Pinyin
monotonluq — monotonicity	单调性	dāndiàoxìng
artan — increasing	单调递增	dāndiào dìzēng
azalan — decreasing	单调递减	dāndiào dìjiǎn
monotonluq aralığı — monotonic interval	单调区间	dāndiào qūjiān
stasionar nöqtə — stationary point	驻点	zhùdiǎn
ekstremum nöqtəsi — extreme point	极值点	jízhídiǎn
maksimum — local maximum value	极大值	jídàzhí
minimum — local minimum value	极小值	jíxiǎozhí
ən böyük qiymət — greatest value	最大值	zuìdàzhí
ən kiçik qiymət — least value	最小值	zuìxiǎozhí
parça — closed interval	闭区间	bìqūjiān
optimallaşdırma məsələsi — optimisation problem	优化问题	yōuhuà wèntí
funksiyanın sıfırı — zero of a function	零点	língdiǎn
ibtidai funksiya — antiderivative	原函数	yuánhánshù
müəyyən inteqral — definite integral	定积分	dìngjīfēn

Əsas terminlər ingilis və çin dillərində: imtahanı bu dillərdən birində verə bilərsən.

Əsas fikirlər

(a; b)-də f′ > 0 ⇒ f artır, f′ < 0 ⇒ f azalır; əvvəlcə təyin oblastını tapın, aralıqları ayrı-ayrılıqda yazın (∪ olmadan).
Parametrli sualda «f I-də artandır» ⇒ I-də f′(x) ≥ 0; parametr aralığının ucları adətən cavaba daxildir.
Ekstremum: f′ x₀-da işarəsini dəyişir («+ → −» maksimum, «− → +» minimum); işarə dəyişmədən f′(x₀) = 0 ekstremum deyil.
f′-in qrafiki: oxu kəsdiyi nöqtələr f-in ekstremumlarıdır; toxunma nöqtələri və f′ qrafikinin təpəsi ekstremum deyil.
[a; b]-də ən böyük və ən kiçik qiymət: f-in kritik nöqtələrdəki və uclardakı qiymətlərini müqayisə edin; optimallaşdırmada yeganə ekstremum cavabdır.
f(x) = k tənliyinin kökləri ekstremumlara görə sayılır; ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) — f ≥ 0 olanda əyrinin altındakı sahədir.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Əgər (a; b) aralığının bütün x-ləri üçün f′(x) > 0-dırsa, (a; b)-də f funksiyası…

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla