Ellips — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Ellipsin tərifindən istifadə etmək və verilənlərə görə onun standart tənliyini yazmaq
Tənliyə görə a, b, c-ni, fokusları, təpələri və ekssentrisiteti tapmaq
Fokal üçbucaqların perimetrini və sahəsini, fokal radiusları hesablamaq
Düz xəttin ellipslə qarşılıqlı vəziyyətini diskriminantla təyin etmək, vətərin uzunluğunu və orta nöqtəsini tapmaq

İpin iki ucunu taxtaya sancılmış iki sancağa bağla, ipi qələmlə dartıb qələmi sancaqların ətrafında gəzdir. Qələmdən iki sancağa qədər məsafələrin cəmi həmişə ipin uzunluğuna bərabərdir, çəkilən əyri isə ellipsdir. Bağbanlar oval gül ləklərini belə nişanlayır, planetlər isə Günəş iki xüsusi nöqtədən — fokuslardan birində olmaqla ellipslər üzrə hərəkət edir. CSCA proqramında ellips «Müstəvi üzərində analitik həndəsə» bölməsinə aiddir. O, «Koordinat müstəvisində düz xətlər və çevrələr» dərsinə əsaslanır — çevrə iki fokusu mərkəzdə birləşmiş ellipsdir — və «Hiperbola» və «Parabola» dərslərindən əvvəl gəlir. Bu dərsdə tərifi, iki standart tənliyi, a, b, c və e ədədlərini, fokuslarla əmələ gələn üçbucaqları və düz xətt ellipslə görüşəndə nə baş verdiyini öyrənəcəksən.

Tərif və standart tənliklər

Tərif

Ellips (椭圆)

Müstəvinin elə P nöqtələrinin çoxluğu ki, onlardan iki sabit F₁ və F₂ nöqtəsinə — fokuslara (焦点) — qədər məsafələrin cəmi fokuslar arasındakı məsafədən böyük olan sabit 2a ədədinə bərabərdir: |PF₁| + |PF₂| = 2a > |F₁F₂| = 2c. 2c məsafəsi fokus məsafəsi (焦距) adlanır.

2a > 2c şərti vacibdir. 2a = 2c olarsa, |PF₁| + |PF₂| = |F₁F₂| bərabərliyini yalnız F₁F₂ parçasının nöqtələri ödəyir. 2a < 2c olarsa, üçbucaq bərabərsizliyinə görə belə nöqtə ümumiyyətlə yoxdur. CSCA məhz bunu yoxlamağı sevir.

Tənlik haradan alınır? Fokusları x oxu üzərində başlanğıca nəzərən simmetrik yerləşdir: F₁(−c; 0), F₂(c; 0). Tərif belə yazılır: √((x + c)² + y²) + √((x − c)² + y²) = 2a. Köklərdən birini sağ tərəfə keçir, kvadrata yüksəlt, sadələşdir və yenə kvadrata yüksəlt: (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²). a > c olduğundan a² − c² ədədi müsbətdir; onu b² ilə işarə et və a²b²-yə böl.

x²/a² + y²/b² = 1 y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0, b² = a² − c²)x²/a² + y²/b² = 1 y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0, b² = a² − c²)

burada:

aböyük yarımox (böyük oxun yarısı)
bkiçik yarımox
cfokus məsafəsinin yarısı: birinci tənlikdə fokuslar (±c; 0), ikincidə (0; ±c)

Fokuslar böyük məxrəcin oxu üzərindədir: x²/16 + y²/25 = 1 tənliyində 25 y²-nin altındadır, ona görə fokuslar y oxu üzərindədir. Çin dərsliklərində a, hansı dəyişənin altında durmasından asılı olmayaraq, həmişə böyük ədəddir (a > b > 0).

Nümunə 1: tənliklər və fokuslar

1) Fokuslar (−3; 0) və (3; 0), məsafələrin cəmi 10-dur. Tənliyi yaz.
2) x²/7 + y²/16 = 1 ellipsinin fokusları haradadır?
3) Fokusları y oxu üzərində olan ellipsdə c = 2-dir və o, (0; 3) nöqtəsindən keçir. Tənliyini yaz.
4) m-in hansı qiymətlərində x²/(m − 2) + y²/(6 − m) = 1 tənliyi fokusları x oxu üzərində olan ellipsi təsvir edir?

Həllini göstər

1) 2a = 10, a = 5, c = 3, b² = 25 − 9 = 16: x²/25 + y²/16 = 1.
2) Böyük məxrəc 16 y²-nin altındadır, ona görə fokuslar y oxu üzərindədir: c² = 16 − 7 = 9, fokuslar (0; ±3).
3) (0; 3) fokuslar oxu üzərindədir, deməli, təpədir: a = 3, b² = 9 − 4 = 5: y²/9 + x²/5 = 1.
4) Hər iki məxrəc müsbət, x²-nin altındakı isə böyük olmalıdır: m − 2 > 6 − m > 0, deməli, 4 < m < 6.

Nümunə 2 (CSCA üslubunda): məsafələrin cəmi

F₁(−3; 0) və F₂(3; 0) sabit nöqtələrdir, P nöqtəsi isə elə hərəkət edir ki, |PF₁| + |PF₂| = 6. P-nin trayektoriyası nədir?
A) ellips B) F₁F₂ parçası C) çevrə D) belə nöqtə yoxdur

Həllini göstər

Burada 2a = 6 və |F₁F₂| = 6 bərabərdir, yəni 2a > 2c şərti pozulur. Parçadan kənardakı istənilən P üçün üçbucaq bərabərsizliyinə görə |PF₁| + |PF₂| > |F₁F₂|, parçanın hər nöqtəsi isə düz 6 verir. Trayektoriya F₁F₂ parçasıdır, cavab B.
A 2a-nı 2c ilə müqayisə etməyənin avtomatik cavabıdır. Cəm 6-dan kiçik olsaydı, D doğru olardı.

a, b, c: təpələr, oxlar və ekssentrisitet

Tərif

Təpələr, böyük və kiçik ox (顶点, 长轴, 短轴)

Ellipsin simmetriya oxları ilə kəsişdiyi dörd nöqtə onun təpələridir. Fokuslardan keçən A₁A₂ parçası böyük oxdur (uzunluğu 2a), ona perpendikulyar B₁B₂ parçası isə kiçik oxdur (uzunluğu 2b). Onların kəsişmə nöqtəsi ellipsin mərkəzidir.

Element	x²/a² + y²/b² = 1	y²/a² + x²/b² = 1
Fokuslar	(±c; 0)	(0; ±c)
Təpələr	(±a; 0), (0; ±b)	(0; ±a), (±b; 0)
Böyük ox	x oxu üzərində, uzunluğu 2a	y oxu üzərində, uzunluğu 2a
Kiçik ox	y oxu üzərində, uzunluğu 2b	x oxu üzərində, uzunluğu 2b
Aralıq	\|x\| ≤ a, \|y\| ≤ b	\|x\| ≤ b, \|y\| ≤ a

Hər iki ellips hər iki oxa və koordinat başlanğıcına (öz mərkəzinə) nəzərən simmetrikdir; hər ikisində fokus məsafəsi 2c-dir.

a² = b² + c²

burada:

aböyük yarımox: kiçik oxun ucundan fokusa qədər məsafə
bkiçik yarımox
cmərkəzdən fokusa qədər məsafə

Kiçik oxun B₂(0; b) ucu hər iki fokusdan eyni məsafədədir və bu məsafələrin cəmi 2a-dır, deməli, |B₂F₁| = |B₂F₂| = a. OB₂F₂ düzbucaqlı üçbucağının katetləri b və c, hipotenuzu a-dır: ellipsdə üç ədəddən ən böyüyü a-dır.

a = 5, b = 3, c = 4 olan x²/a² + y²/b² = 1 ellipsi (miqyasla): OB₂F₂ üçbucağında a hipotenuzdur.

Nümunə 3: a, b və c-nin tapılması

1) x²/25 + y²/9 = 1 ellipsinin təpələrini, fokuslarını və oxlarının uzunluqlarını tap.
2) 4x² + 9y² = 36 tənliyini standart şəklə sal və fokusları tap.
3) Kiçik oxun uzunluğu 8, fokus məsafəsi 6-dır. Tənliyi yaz.

Həllini göstər

1) a = 5, b = 3, c = √(25 − 9) = 4: təpələr (±5; 0), (0; ±3), fokuslar (±4; 0), böyük ox 10, kiçik ox 6, fokus məsafəsi 8.
2) 36-ya böl: x²/9 + y²/4 = 1; c² = 9 − 4 = 5, fokuslar (±√5; 0).
3) b = 4, c = 3, a = 5. Fokusların vəziyyəti verilməyib, ona görə iki cavab var: x²/25 + y²/16 = 1 və ya y²/25 + x²/16 = 1.

e = c/a = √(1 − b²/a²), 0 < e < 1e = c/a = √(1 − b²/a²), 0 < e < 1

burada:

eekssentrisitet (离心率)
a, b, cyuxarıdakı kimi

e ellipsin nə qədər yastı olduğunu ölçür. e → 0 olduqda c → 0 və b → a: ellips çevrəyə çevrilir. e → 1 olduqda b → 0 və ellips parçaya doğru yastılaşır. Oxların nisbəti b/a = √(1 − e²).

Nümunə 4: ekssentrisitet

1) x²/16 + y²/12 = 1 ellipsi üçün e-ni tap.
2) Kiçik yarımox fokus məsafəsinin yarısına bərabərdir (b = c). e-ni tap.
3) Fokuslar A₁A₂ böyük oxunu üç bərabər hissəyə bölür. e-ni tap.

Həllini göstər

1) c² = 16 − 12 = 4, c = 2, e = 2/4 = 1/2.
2) a² = b² + c² = 2c², deməli, a = √2·c və e = c/a = √2/2.
3) |A₁F₁| = |F₁F₂| = |F₂A₂| = 2a/3, deməli, 2c = 2a/3 və e = 1/3.

Nümunə 5 (CSCA üslubunda): parametrli ekssentrisitet

x²/9 + y²/m = 1 ellipsinin ekssentrisiteti √3/2-dir. m nəyə bərabərdir?
A) 9/4 B) 36 C) 9/4 və ya 36 D) 27/4

Həllini göstər

Böyük oxun hansı ox olduğu verilməyib, ona görə hər iki halı yoxla.
m < 9 olarsa: a² = 9, c² = 9 − m və e² = (9 − m)/9 = 3/4 bərabərliyindən m = 9/4.
m > 9 olarsa: a² = m, c² = m − 9 və e² = (m − 9)/m = 3/4 bərabərliyindən m = 36. Cavab C.
A və B yalnız bir halı saxlayır. D e² = c²/a² düsturunda c² əvəzinə b² qoyur: m/9 = 3/4.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Burada a x oxu boyunca, b isə y oxu boyunca yarımoxdur. a > b saxla: ellips yastılaşdıqca e = √(1 − b²/a²) artır, a = b olduqda isə çevrə alınır. y = kx + m düz xətti m² = a²k² + b² olduqda ellipsə toxunur (aşağıdakı asan yola bax): a = 4, b = 2 və k = 0,5 üçün bu, m = ±2√2 ≈ ±2,83 deməkdir.

Fokal üçbucaqlar

Ellipsin P nöqtəsini hər iki fokusla birləşdir: PF₁F₂ üçbucağı fokal üçbucaq (焦点三角形) adlanır. Onun iki tərəfi tərifə görə bir-birinə bağlıdır, |PF₁| + |PF₂| = 2a, üçüncüsü isə sabitdir, |F₁F₂| = 2c. Onun haqqında demək olar ki, hər sual bu iki faktla və «Üçbucaqların həlli: sinuslar və kosinuslar teoremi» dərsindəki kosinuslar teoremi ilə həll olunur.

△PF₁F₂-nin perimetri = 2a + 2c △ABF₂-nin perimetri = 4a (AB vətəri F₁-dən keçir)

burada:

Pellipsin istənilən nöqtəsi (böyük oxun ucları istisna)
ABF₁ fokusundan keçən vətər

Vətər üçün: |AF₁| + |AF₂| = 2a və |BF₁| + |BF₂| = 2a, həm də |AF₁| + |BF₁| = |AB|. Toplasaq, vətərin istiqamətindən asılı olmayaraq |AB| + |AF₂| + |BF₂| = 4a alınır.

Nümunə 6: perimetrlər və fokuslara qədər məsafələr

1) x²/25 + y²/16 = 1 ellipsi üçün △PF₁F₂-nin perimetrini tap.
2) x²/4 + y²/3 = 1 ellipsinin AB vətəri F₁-dən keçir. △ABF₂-nin perimetrini tap.
3) P nöqtəsi x²/16 + y²/12 = 1 ellipsi üzərindədir və |PF₁| = 3|PF₂|. |PF₁| və |PF₂|-ni tap.

Həllini göstər

1) a = 5, c = 3: 10 + 6 = 16.
2) a = 2, ona görə perimetr vətərin istiqamətindən asılı olmayaraq 4a = 8-dir.
3) |PF₁| + |PF₂| = 2a = 8 və |PF₁| = 3|PF₂|, deməli, |PF₂| = 2, |PF₁| = 6. a − c = 4 − 2 = 2 fokusa qədər mümkün olan ən kiçik məsafə olduğundan (aşağıya bax), P sağ təpədir: (4; 0).

a − c ≤ |PF₁| ≤ a + c |PF₁| = a + ex₀, |PF₂| = a − ex₀

burada:

P(x₀; y₀)x²/a² + y²/b² = 1 ellipsinin nöqtəsi
F₁(−c; 0), F₂(c; 0)sol və sağ fokuslar
eekssentrisitet

Ellipsin nöqtəsindən fokusa qədər məsafə fokal radius (焦半径) adlanır. |PF₂|² = (x₀ − c)² + y₀² ifadəsində y₀² = b²(1 − x₀²/a²) yerinə qoyulanda (a − ex₀)² alınır, yəni fokal radius x₀-dan xətti asılıdır: fokusa yaxın təpədə ən kiçik (a − c), uzaq təpədə isə ən böyük (a + c) olur.

Nümunə 7: fokal radiuslar

1) P nöqtəsi x²/25 + y²/9 = 1 ellipsi üzərindədir və absisi 5/2-dir. |PF₁| və |PF₂|-ni tap.
2) x²/49 + y²/40 = 1 ellipsinin nöqtəsindən fokusa qədər ən böyük və ən kiçik məsafələr nədir?

Həllini göstər

1) c = 4, e = 4/5: |PF₁| = 5 + (4/5)(5/2) = 7, |PF₂| = 5 − 2 = 3. Yoxlama: 7 + 3 = 10 = 2a ✓.
2) c² = 49 − 40 = 9, c = 3: ən böyük a + c = 10, ən kiçik a − c = 4, böyük oxun iki ucunda.

S = b² · tg(θ/2), θ = ∠F₁PF₂S = b² · tg(θ/2), θ = ∠F₁PF₂

burada:

SPF₁F₂ üçbucağının sahəsi
θP təpəsindəki bucaq
bkiçik yarımox

Çıxarılışı: m = |PF₁|, n = |PF₂| olsun. Kosinuslar teoremi 4c² = m² + n² − 2mn cos θ = (m + n)² − 2mn(1 + cos θ) = 4a² − 2mn(1 + cos θ) verir, deməli, mn = 2b²/(1 + cos θ). Onda S = ½mn sin θ = b² sin θ/(1 + cos θ) = b² tg(θ/2). θ = 90° üçün: S = b².

Nümunə 8 (CSCA üslubunda): fokal üçbucağın sahəsi

P nöqtəsi fokusları F₁ və F₂ olan x²/9 + y²/4 = 1 ellipsi üzərindədir və ∠F₁PF₂ = 60°. F₁PF₂ üçbucağının sahəsi nəyə bərabərdir?
A) 4√3/3 B) 4√3 C) 2√3 D) 4

Həllini göstər

S = b² tg(θ/2) = 4 · tg 30° = 4 · √3/3 = 4√3/3, cavab A.
B tg 30° əvəzinə tg 60° götürür; D b²-dir, yəni düz bucaq halının sahəsi. Düstursuz yoxlama: m + n = 6 və 4c² = 20 = (m + n)² − 3mn = 36 − 3mn, deməli, mn = 16/3 və S = ½ · (16/3) · (√3/2) = 4√3/3 ✓.

Nümunə 9: P-də düz bucaq

1) P nöqtəsi x²/49 + y²/24 = 1 ellipsi üzərindədir və PF₁ ⊥ PF₂. △F₁PF₂-nin sahəsini, |PF₁| və |PF₂| uzunluqlarını tap.
2) x²/9 + y²/5 = 1 ellipsinin PF₁ ⊥ PF₂ olan P nöqtəsi varmı?

Həllini göstər

1) a = 7, b² = 24, c = 5. S = b² = 24. Həm də mn = 2b² = 48 və m + n = 14, deməli, m və n t² − 14t + 48 = 0 tənliyinin kökləridir: 8 və 6 — hipotenuzu 2c = 10 olan 6-8-10 düzbucaqlı üçbucağı.
2) ∠F₁PF₂ = 90° olan P nöqtələri diametri F₁F₂, radiusu c olan çevrə üzərindədir. Burada c = 2 < b = √5, ona görə bu çevrə ellipsin daxilində qalır: belə nöqtə yoxdur. Kiçik oxun ucunda alınan ən böyük F₁PF₂ bucağı 90°-dən kiçikdir.

Düz xətt və ellips

P(x₀; y₀) nöqtəsi x₀²/a² + y₀²/b² < 1 olduqda x²/a² + y²/b² = 1 ellipsinin daxilində, cəm 1-ə bərabər olduqda onun üzərində, 1-dən böyük olduqda isə xaricindədir. Düz xətt ellipslə ən çoxu iki nöqtədə görüşür. Hansı halın baş verdiyini kvadrat tənlik həll edir, çünki çevrədəki məsafə üsulu ellips üçün işləmir.

1
Yerinə qoy
y = kx + m ifadəsini ellipsin tənliyində yerinə qoy və məxrəclərdən qurtul: (b² + a²k²)x² + 2a²kmx + a²(m² − b²) = 0.
2
Diskriminant
Δ > 0: iki ortaq nöqtə (kəsən); Δ = 0: bir ortaq nöqtə (toxunan); Δ < 0: ortaq nöqtə yoxdur.
3
Viyet teoremi
Kəsən üçün x₁ + x₂ = −2a²km/(b² + a²k²), x₁x₂ = a²(m² − b²)/(b² + a²k²); vətərin ortasının absisi (x₁ + x₂)/2-dir.
4
Vətərin uzunluğu
|AB| = √(1 + k²) · √((x₁ + x₂)² − 4x₁x₂) — kökləri tapmağa ehtiyac yoxdur.

|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂|

burada:

kdüz xəttin bucaq əmsalı
x₁, x₂A və B nöqtələrinin absisləri

Eyni vətər düsturu istənilən əyri, o cümlədən parabola və hiperbola üçün doğrudur; |x₁ − x₂| tənliyi həll etmədən Viyet teoremindən tapılır.

Nümunə 10: düz xətt və ellips

y = x + m düz xətti və x²/4 + y² = 1 ellipsi verilib.
1) m-in hansı qiymətlərində onların iki ortaq nöqtəsi var?
2) m = 1 üçün vətərin uzunluğunu tap.
3) Həmin vətərin orta nöqtəsini tap.

Həllini göstər

Yerinə qoyaq: x²/4 + (x + m)² = 1, yəni 5x² + 8mx + 4m² − 4 = 0.
1) Δ = 64m² − 20(4m² − 4) = 80 − 16m² > 0, deməli, m² < 5: −√5 < m < √5 (m = ±√5 iki toxunanı verir).
2) m = 1 üçün: 5x² + 8x = 0, x₁ = 0, x₂ = −8/5 və |AB| = √2 · 8/5 = 8√2/5.
3) x = (x₁ + x₂)/2 = −4/5 və y = x + 1 = 1/5: orta nöqtə (−4/5; 1/5).

Nümunə 11 (CSCA üslubunda): ellipsə çatmayan düz xətlər

y = kx + 2 düz xəttinin x²/2 + y² = 1 ellipsi ilə ortaq nöqtəsi yoxdur. k hansı aralıqdadır?
A) −√6/2 < k < √6/2 B) k < −√6/2 və ya k > √6/2 C) −√2 < k < √2 D) k ≠ 0

Həllini göstər

Yerinə qoyaq: x² + 2(kx + 2)² = 2, yəni (1 + 2k²)x² + 8kx + 6 = 0. Ortaq nöqtənin olmaması Δ = 64k² − 24(1 + 2k²) = 16k² − 24 < 0 deməkdir, buradan k² < 3/2 və −√6/2 < k < √6/2, cavab A. Asan yol: m² = a²k² + b² toxunanları verir: 4 = 2k² + 1, k² = 3/2.
B kəsən halıdır (Δ > 0). C toxunma şərtində a² ilə b²-nin yerini dəyişir. Şəkil kömək edir: (0; 2) ellipsdən kənardadır, ondan keçən az meyilli düz xətlər ellipsə çatmır, dik düz xətlər isə onu kəsir.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Standart tənlik: verilənlərdən a və c-ni (və ya b-ni) tap; fokuslar böyük məxrəcin oxu üzərindədir; onların vəziyyəti verilməyibsə, hər iki variantı yaz.
Parametrlər: x²/m + y²/n = 1 tənliyi m > 0, n > 0 və m ≠ n olduqda ellipsdir; m > n olduqda onun fokusları x oxu üzərindədir.
Ekssentrisitet: hər şərti a, b və c arasında münasibətə çevir, a² = b² + c²-dan istifadə et və 0 < e < 1 olduğunu yoxla.
Tərif və fokal üçbucaqlar: |PF₁| + |PF₂| = 2a; perimetrlər 2a + 2c və 4a; sahə b² tg(θ/2); fokusa qədər məsafə a − c ilə a + c arasındadır.
Düz xətt və ellips: yerinə qoy, Δ-dan və Viyet teoremindən istifadə et; vətər √(1 + k²)|x₁ − x₂|; m² = a²k² + b² olduqda toxunan; orta nöqtəyə görə bucaq əmsalı −b²x₀/(a²y₀).
Vaxta qənaət (hər suala təxminən 75 s): variantları yoxla — məsələdə verilmiş nöqtə seçdiyin tənliyi ödəməlidir; e ≥ 1 heç vaxt ellips deyil; kiçik bir eskiz hansı oxun böyük ox olduğunu göstərir.

İmtahanı ingilis və ya Çin dilində vermək olar. Bu dərsin terminləri hər iki dildə:

Termin	中文	Pinyin
ellips — ellipse	椭圆	tuǒyuán
fokus — focus (cəmi foci)	焦点	jiāodiǎn
fokus məsafəsi (2c) — focal distance	焦距	jiāojù
böyük ox — major axis	长轴	chángzhóu
kiçik ox — minor axis	短轴	duǎnzhóu
təpə — vertex	顶点	dǐngdiǎn
ekssentrisitet — eccentricity	离心率	líxīnlǜ
standart tənlik — standard equation	标准方程	biāozhǔn fāngchéng
fokal üçbucaq — focal triangle	焦点三角形	jiāodiǎn sānjiǎoxíng
fokal radius — focal radius	焦半径	jiāobànjìng
trayektoriya, həndəsi yer — locus	轨迹	guǐjì
vətərin orta nöqtəsi — midpoint of a chord	弦的中点	xián de zhōngdiǎn
diskriminant — discriminant	判别式	pànbiéshì

Əsas fikirlər

Tərif: |PF₁| + |PF₂| = 2a > |F₁F₂| = 2c; 2a = 2c olduqda trayektoriya F₁F₂ parçasıdır, 2a < 2c olduqda isə belə nöqtə yoxdur.
x²/a² + y²/b² = 1 və ya y²/a² + x²/b² = 1, a > b > 0; fokuslar böyük məxrəcin oxu üzərindədir.
a² = b² + c² (a — hipotenuz); böyük ox 2a, kiçik ox 2b, fokus məsafəsi 2c.
e = c/a = √(1 − b²/a²), 0 < e < 1; e nə qədər böyükdürsə, ellips o qədər yastıdır.
Fokal üçbucaq: perimetr 2a + 2c, fokal vətər üzərində 4a, sahə b² tg(θ/2); a − c ≤ |PF| ≤ a + c.
Düz xətt və ellips: yerinə qoy və Δ-dan istifadə et; vətər √(1 + k²)|x₁ − x₂|; y = kx + m düz xətti m² = a²k² + b² olduqda toxunandır.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

a > b > 0 olan x²/a² + y²/b² = 1 ellipsinin fokusları (±c; 0) nöqtələridir. Hansı münasibət doğrudur?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla