Triqonometrik funksiyaların qrafikləri — CSCA (Çin)

Bu dərsdə öyrənəcəksən

y = sin x, y = cos x və y = tg x qrafiklərini təsvir etmək: dövr, cüt-təklik, simmetriya oxları və mərkəzləri, monotonluq aralıqları, ən böyük və ən kiçik qiymətlər.
ωx + φ-yə bir dəyişən kimi baxaraq y = A sin(ωx + φ) + b funksiyasının dövrünü, ən böyük və ən kiçik qiymətlərini, monotonluq aralıqlarını və simmetriyasını tapmaq.
A, ω, φ və b-ni qrafikdən oxumaq və qrafiki y = sin x-dən istənilən ardıcıllıqla sürüşdürmə və sıxılma ilə almaq.
Verilmiş aralıqda sadə triqonometrik tənlik və bərabərsizlikləri qrafik və ya vahid çevrə ilə həll etmək.

Qabarma və çəkilmə, dəyişən cərəyan, fırlanan təkərin üzərindəki nöqtə — təkrarlanan hər şey sinusoida ilə təsvir olunur. Çin dərsliklərində bu mövzu 三角函数的图像与性质 (triqonometrik funksiyaların qrafikləri və xassələri) adlanır və CSCA tipli testlərdə bir neçə sualda birdən yoxlanılır: dövr, funksiyanın harada artdığı, hansı düz xəttin simmetriya oxu olduğu, qrafikin necə sürüşdürüldüyü. Bu dərsdə belə sualları qrafikdən, demək olar ki, hesablamasız cavablandırmağı öyrənəcəksən. Xüsusi bucaqların qiymətləri, eyniliklər və a sin x + b cos x = R sin(x + φ) düsturu «Triqonometrik funksiyalar və eyniliklər», qrafiklərin ümumi sürüşdürülməsi və dartılması isə «Funksiyalar və onların xassələri» dərsindədir.

sin x, cos x və tg x funksiyalarının qrafikləri

Tərif

Dövri funksiya və ən kiçik müsbət dövr

Təyin oblastındakı hər x üçün f(x + T) = f(x) olarsa, f funksiyası T ≠ 0 dövrlü dövri funksiya adlanır. Ən kiçik müsbət dövr (最小正周期) CSCA suallarında sadəcə «dövr» adlanır: sin x və cos x üçün 2π, tg x üçün π.

Vahid çevrəni «aç»: x bucağına uyğun nöqtənin koordinatları (cos x; sin x)-dir, ona görə x 0-dan 2π-yə qədər dəyişdikcə sin x hündürlüyü 0 → 1 → 0 → −1 → 0 yolunu keçir. Bu, sinusoidadır (正弦曲线). Çinli şagirdlər bir dövrü beş nöqtə üsulu (五点法) ilə çəkirlər: x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π nöqtələrində qiymətlər 0, 1, 0, −1, 0-dır. Kosinusoida eyni dalğanın π/2 qədər sola sürüşdürülmüş halıdır, çünki cos x = sin(x + π/2); onun beş qiyməti 1, 0, −1, 0, 1-dir. Tangensoida isə fərqlidir: o, məhdud deyil və cos x = 0 olan x = π/2 + kπ nöqtələrində qırılır; bu düz xətlər onun şaquli asimptotlarıdır.

Xassə	y = sin x	y = cos x	y = tg x
Təyin oblastı	ℝ	ℝ	x ≠ π/2 + kπ
Qiymətlər çoxluğu	[−1; 1]	[−1; 1]	ℝ
Dövr	2π	2π	π
Cüt-təklik	tək	cüt	tək
Ən böyük qiymət 1	x = π/2 + 2kπ	x = 2kπ	—
Ən kiçik qiymət −1	x = −π/2 + 2kπ	x = π + 2kπ	—
Artma aralıqları	[−π/2 + 2kπ; π/2 + 2kπ]	[−π + 2kπ; 2kπ]	(−π/2 + kπ; π/2 + kπ)
Azalma aralıqları	[π/2 + 2kπ; 3π/2 + 2kπ]	[2kπ; π + 2kπ]	—
Simmetriya oxları	x = π/2 + kπ	x = kπ	yoxdur
Simmetriya mərkəzləri	(kπ; 0)	(π/2 + kπ; 0)	(kπ/2; 0)

Hər yerdə k ∈ Z. Cavablarda monotonluq aralıqları k ilə yazılır: «artma aralıqları [−π/2 + 2kπ; π/2 + 2kπ], k ∈ Z».

simmetriya oxu: x = x₀ ⇔ f(x₀) = ±1 simmetriya mərkəzi: (x₀; 0) ⇔ f(x₀) = 0

burada:

x₀y = sin x və ya y = cos x əyrisinin (ümumən istənilən sinusoidanın) nöqtəsinin absisi
±1ən böyük və ya ən kiçik qiymət: oxlar təpələrdən və çökəkliklərdən keçir
0orta xəttin qiyməti: simmetriya mərkəzləri əyrinin sıfırlarıdır

sin x üçün oxlar x = π/2 + kπ, mərkəzlər (kπ; 0); cos x üçün oxlar x = kπ, mərkəzlər (π/2 + kπ; 0)-dır. Qonşu oxlar arasındakı məsafə T/2, ox ilə ən yaxın mərkəz arasındakı məsafə T/4-dür. Tangensoidanın oxu yoxdur, mərkəzləri isə (kπ/2; 0) nöqtələridir.

Həll olunmuş nümunələr: əsas qrafiklərin oxunması

1) [0; 2π] parçasında y = sin x harada artır, y = cos x harada azalır?
2) sin 1, sin 2 və sin 3 ədədlərini artan sıra ilə düz (bucaqlar radianla verilib).
3) y = tg x bütün təyin oblastında artandırmı? x = π/4 düz xətti y = sin x qrafikinin simmetriya oxudurmu?

Həllini göstər

1) sin x [0; π/2] parçasında (0-dan 1-ə) və [3π/2; 2π] parçasında (−1-dən yenidən 0-a) artır; cos x isə [0; π]-də 1-dən −1-ə qədər azalır.
2) Hər bucağı sinusun artdığı [0; π/2] parçasına gətir: sin 2 = sin(π − 2) ≈ sin 1,14 və sin 3 = sin(π − 3) ≈ sin 0,14. 0,14 < 1 < 1,14 olduğundan: sin 3 < sin 1 < sin 2.
3) Xeyr: 3π/4 > π/4 olsa da, tg(π/4) = 1, tg(3π/4) = −1. Tangens yalnız hər bir (−π/2 + kπ; π/2 + kπ) aralığında artır. sin(π/4) = √2/2 isə nə 1, nə də −1-dir, ona görə x = π/4 ox deyil; ən yaxın ox x = π/2-dir.

y = A sin(ωx + φ) + b: amplitud, dövr, faza

Tərif

Amplitud, dövr və faza

A > 0 və ω > 0 olduqda y = A sin(ωx + φ) + b funksiyasında A amplitud (振幅), T = 2π/ω dövr, f = 1/T tezlik (频率), ωx + φ faza (相位), φ isə başlanğıc fazadır (初相), yəni x = 0 olanda faza. y = b düz xətti orta xətdir: qrafik b − A ilə b + A arasında rəqs edir.

T = 2π/ω y_max = b + A y_min = b − AT = 2π/ω y_max = b + A y_min = b − A

burada:

Aamplitud (A > 0); A < 0 olduqda |A| götürülür — ən böyük və ən kiçik qiymətlər yer dəyişir
ωbucaq tezliyi (ω > 0); dövrü yalnız o təyin edir
φbaşlanğıc faza; qrafiki yana sürüşdürür, T-ni dəyişmir
bşaquli sürüşdürmə: orta xətt y = b-dir

Ümumi halda T = 2π/|ω|. Eyni düsturlar y = A cos(ωx + φ) + b üçün də doğrudur; y = A tg(ωx + φ) üçün dövr π/|ω|-dır.

Həll olunmuş nümunələr: dövr, ən böyük və ən kiçik qiymətlər

1) y = 3 sin(2x − π/3) + 1: dövrü, ən böyük və ən kiçik qiymətləri və onların alındığı nöqtələri tap.
2) y = −2 cos(x/2): dövrü və maksimum nöqtələrini tap.
3) y = tg(3x + π/4): dövrü və təyin oblastını tap.

Həllini göstər

1) T = 2π/2 = π. Ən böyük qiymət 1 + 3 = 4-dür və 2x − π/3 = π/2 + 2kπ, yəni x = 5π/12 + kπ olanda alınır; ən kiçik qiymət 1 − 3 = −2-dir və 2x − π/3 = −π/2 + 2kπ, yəni x = −π/12 + kπ olanda alınır.
2) T = 2π ÷ (1/2) = 4π. A = −2 < 0 olduğundan ən böyük qiymət 2 cos(x/2) = −1 olanda alınır: x/2 = π + 2kπ, x = 2π + 4kπ.
3) T = π/3. Tangens üçün 3x + π/4 ≠ π/2 + kπ olmalıdır, yəni 3x ≠ π/4 + kπ və x ≠ π/12 + kπ/3.

y = A sin(ωx + φ) funksiyasının monotonluq aralıqlarını, oxlarını və mərkəzlərini tapmaq üçün Çin dərslikləri bütöv əvəzləmə (整体代换) üsulundan istifadə edir: t = ωx + φ işarə et, cədvəldən sin t üçün məlum şərti yaz və onu x-ə nəzərən həll et.

artan: −π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ π/2 + 2kπ ox: ωx + φ = π/2 + kπ mərkəz: ωx + φ = kπartan: −π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ π/2 + 2kπ ox: ωx + φ = π/2 + kπ mərkəz: ωx + φ = kπ

burada:

ωx + φbir dəyişən (t) kimi baxılan faza
kistənilən tam ədəd (k ∈ Z)

A > 0, ω > 0 üçün. Azalan: π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ 3π/2 + 2kπ. Kosinus üçün kosinusun şərtləri götürülür: artan −π + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ 2kπ, ox ωx + φ = kπ, mərkəz ωx + φ = π/2 + kπ.

Həll olunmuş nümunələr: bütöv əvəzləmə

1) y = 2 sin(2x + π/6) funksiyasının artma aralıqlarını tap.
2) y = sin(2x − π/4) qrafikinin simmetriya oxlarını və mərkəzlərini tap.
3) x ∈ [0; π/2] olduqda y = 2 sin(2x + π/6) funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

Həllini göstər

1) −π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/6 ≤ π/2 + 2kπ ⇒ −2π/3 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/3 + 2kπ ⇒ [−π/3 + kπ; π/6 + kπ], k ∈ Z.
2) Oxlar: 2x − π/4 = π/2 + kπ ⇒ x = 3π/8 + kπ/2. Mərkəzlər: 2x − π/4 = kπ ⇒ x = π/8 + kπ/2, yəni (π/8 + kπ/2; 0) nöqtələri.
3) x ∈ [0; π/2] olduqda t = 2x + π/6 fazası [π/6; 7π/6] parçasını keçir. Orada sin t 1/2-dən 1-ə qədər artır (t = π/2-də) və −1/2-yə qədər azalır, ona görə sin t ∈ [−1/2; 1] və y ∈ [−1; 2]. Yalnız uc qiymətlər, y(0) = 1 və y(π/2) = −1, içəridəki maksimumu buraxardı.

CSCA tipli sual

f(x) = 2 cos(2x − π/3). Hansı fikir doğrudur?
A) f-in ən kiçik müsbət dövrü 2π-dir.
B) f-in qrafiki x = π/6 düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.
C) f [0; π/2] parçasında azalandır.
D) (π/6; 0) nöqtəsi f-in qrafikinin simmetriya mərkəzidir.

Həllini göstər

f(π/6) = 2 cos 0 = 2 ən böyük qiymətdir, deməli x = π/6 simmetriya oxudur: B. A: T = 2π/2 = π. C: x ∈ [0; π/2] olduqda faza [−π/3; 2π/3] parçasını keçir və kosinusun maksimum olduğu 0 nöqtəsindən keçir, ona görə f əvvəlcə artır, sonra azalır. D oxla mərkəzi qarışdırmaqdır: mərkəz orta xətt üzərində olmalıdır, amma f(π/6) = 2.

Qrafikin oxunması və çevrilməsi

1
A və b — hündürlüklərdən
A = (max − min)/2 və b = (max + min)/2.
2
ω — üfüqi məsafələrdən
Maksimumdan növbəti minimuma qədər T/2, orta xətt üzərindəki nöqtədən növbəti maksimuma qədər T/4 məsafə var. Sonra ω = 2π/T.
3
φ — bir məlum nöqtədən
Ən yaxşısı ən yüksək nöqtədir (x₁; max): ωx₁ + φ = π/2 + 2kπ. Və ya qrafikin yuxarı qalxdığı orta xətt nöqtəsi: ωx₀ + φ = 2kπ. Qrafikin aşağı endiyi orta xətt nöqtəsi isə ωx₀ + φ = π + 2kπ verir — bunları qarışdırmaq asandır, ona görə istiqaməti yoxla.
4
k-nı şərtə görə seç
φ-ni verilmiş aralığa (məsələn, |φ| < π/2) salan k-nı götür və qrafikin daha bir nöqtəsini yoxla.

Ən yüksək nöqtə ilə növbəti ən alçaq nöqtə arasında yarım dövr var; orta xətt onların tam ortasındadır.

Həll olunmuş nümunələr: qrafikdən düstura

1) y = A sin(ωx + φ) + b (A > 0, ω > 0, |φ| < π/2) qrafikinin ən yüksək nöqtəsi (π/6; 3), növbəti ən alçaq nöqtəsi isə (2π/3; −1)-dir (şəklə bax). Funksiyanı tap.
2) y = 2 sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) qrafiki (π/8; 0) nöqtəsindən yuxarı qalxır, növbəti ən yüksək nöqtəsi isə (3π/8; 2)-dir. ω və φ-ni tap.

Həllini göstər

1) A = (3 − (−1))/2 = 2, b = (3 + (−1))/2 = 1. T/2 = 2π/3 − π/6 = π/2, deməli T = π və ω = 2. Ən yüksək nöqtədə 2 · π/6 + φ = π/2 + 2kπ ⇒ φ = π/6 + 2kπ, |φ| < π/2 şərti isə φ = π/6 verir: y = 2 sin(2x + π/6) + 1. Yoxlama: x = 2π/3 olanda faza 3π/2-dir və y = 2 · (−1) + 1 = −1 ✓.
2) T/4 = 3π/8 − π/8 = π/4, deməli T = π və ω = 2. Qrafik (π/8; 0) nöqtəsindən yuxarı qalxır: 2 · π/8 + φ = 2kπ ⇒ φ = −π/4. Deməli, y = 2 sin(2x − π/4).

y = sin x → y = sin(x + φ) → y = sin(ωx + φ) → y = A sin(ωx + φ) + b

burada:

x + φφ > 0 olduqda sola φ qədər, φ < 0 olduqda sağa |φ| qədər sürüşdürmə: «sola — üstəgəl, sağa — çıx» (左加右减)
ωxabsislər 1/ω-ya vurulur (ordinatlar dəyişmir): ω > 1 olduqda sıxılma, 0 < ω < 1 olduqda dartılma
A, bordinatlar A-ya vurulur, sonra qrafik b qədər yuxarı qalxır: «yuxarı — üstəgəl, aşağı — çıx» (上加下减)

Digər ardıcıllıq — əvvəl sıxılma, sonra sürüşdürmə — də mümkündür, amma onda sürüşdürmə φ/ω olur, çünki sin(ωx + φ) = sin ω(x + φ/ω): sürüşdürmə həmişə ωx-ə deyil, x-in özünə tətbiq olunur.

Həll olunmuş nümunələr: sürüşdürmə və sıxılma

1) y = sin(3x − π/4) qrafikini almaq üçün y = sin 3x qrafikini necə sürüşdürmək lazımdır?
2) y = sin(2x + π/3) qrafikini y = sin x qrafikindən hər iki ardıcıllıqla al.
3) y = cos 2x qrafiki sağa π/8 qədər sürüşdürülür. Yeni funksiyanı yaz.

Həllini göstər

1) sin(3x − π/4) = sin 3(x − π/12): π/4 qədər deyil, sağa π/12 qədər sürüşdürmək lazımdır.
2) Əvvəl sürüşdürmə: sola π/3 qədər sürüşdürmə y = sin(x + π/3) verir; absisləri iki dəfə kiçiltdikdə y = sin(2x + π/3) alınır. Əvvəl sıxılma: absislərin iki dəfə kiçildilməsi y = sin 2x verir; sonra sola π/6 qədər sürüşdür: sin 2(x + π/6) = sin(2x + π/3).
3) x-i x − π/8 ilə əvəz et: y = cos 2(x − π/8) = cos(2x − π/4).

CSCA tipli sual

y = sin 2x qrafikini almaq üçün y = cos 2x qrafikini necə sürüşdürmək olar?
A) sola π/4 qədər B) sağa π/4 qədər C) sağa π/2 qədər D) sola π/2 qədər

Həllini göstər

cos 2(x − π/4) = cos(2x − π/2) = sin 2x, deməli sürüşdürmə sağa π/4 qədərdir: B. C ω = 2-yə bölməyi unudur: sağa π/2 qədər sürüşdürmə y = cos x-dən y = sin x-ə keçiddir. A səhv tərəfə aparır: cos 2(x + π/4) = cos(2x + π/2) = −sin 2x. D isə cos(2x + π) = −cos 2x verir.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

A amplitud, w — ω, p — φ rolunu oynayır, b isə orta xətti sürüşdürür. A = 2, w = 2, p ≈ 0,52 (≈ π/6) və b = 1 olduqda yuxarıdakı nümunənin qrafiki alınır. w-nu iki dəfə artır: dövr iki dəfə qısalır. Yalnız p-ni dəyiş: qrafik p qədər deyil, p/w qədər sürüşür.

Aralıqda sadə tənlik və bərabərsizliklər

Funksiyalar dövri olduğundan triqonometrik tənliyin sonsuz sayda kökü var. CSCA sualları adətən köklərin verilmiş aralıqdakı qiymətlərini və ya sayını soruşur: əvvəlcə bir dövrdəki kökləri tap, sonra dövrləri əlavə et.

sin x = a: x = arcsin a + 2kπ və ya x = π − arcsin a + 2kπ cos x = a: x = ±arccos a + 2kπ tg x = a: x = arctg a + kπ

burada:

averilmiş ədəd; sinus və kosinus üçün kök yalnız |a| ≤ 1 olduqda var
arcsin a[−π/2; π/2] parçasından sinusu a olan bucaq (arccos a ∈ [0; π], arctg a ∈ (−π/2; π/2))
kistənilən tam ədəd (k ∈ Z)

|a| < 1 olduqda sin x = a tənliyinin hər dövrdə x = π/2 + 2kπ oxuna nəzərən simmetrik iki kökü, cos x = a tənliyinin x = 2kπ-yə nəzərən simmetrik iki kökü var; tg x = a tənliyinin isə hər π dövründə bir kökü var.

Həll olunmuş nümunələr: aralıqda tənliklər

1) [0; 2π] parçasında sin x = √3/2 tənliyini həll et.
2) [0; 2π] parçasında 2 cos x + 1 = 0 tənliyini həll et.
3) (0; 2π) aralığında tg x = −1 tənliyini həll et.
4) [0; π] parçasında sin(2x − π/6) = 1/2 tənliyini həll et.

Həllini göstər

1) arcsin(√3/2) = π/3, ikinci kök isə π − π/3-dür: x = π/3 və ya 2π/3.
2) cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2kπ; [0; 2π]-də: x = 2π/3 və ya 4π/3.
3) x = −π/4 + kπ; (0; 2π)-də: x = 3π/4 və ya 7π/4 — uzunluğu π olan hər aralıqda bir kök.
4) t = 2x − π/6 işarə et. x ∈ [0; π] olduqda t ∈ [−π/6; 11π/6]. sin t = 1/2 tənliyindən t = π/6 və ya 5π/6 (13π/6 artıq böyükdür), deməli 2x = π/3 və ya π: x = π/6 və ya π/2.

1
Əvəzləmə
Arqument ωx + φ-dirsə, t = ωx + φ işarə et və t-nin keçdiyi aralığı tap.
2
Sərhəd nöqtələri
Həmin aralıqda sin t = a (və ya cos t = a) tənliyini həll et: bu nöqtələr aralığı hissələrə bölür.
3
Qrafikdən oxu
Əyrinin y = a düz xəttindən yuxarıda (və ya aşağıda) olduğu hissələri saxla. Vahid çevrədə: sinus üçün y = a üfüqi düz xəttindən yuxarı, kosinus üçün x = a şaquli düz xəttindən sağ tərəf.
4
x-ə qayıt
x-ə nəzərən həll et və ucları yoxla: ≥ olduqda uclar daxildir, > olduqda yox.

Həll olunmuş nümunələr: bərabərsizliklər

Verilmiş aralıqda həll et:
1) [0; 2π]-də sin x ≥ 1/2;
2) [0; 2π]-də cos x < √2/2;
3) (−π/2; π/2)-də tg x > 1.

Həllini göstər

1) Sinusoida 1/2 səviyyəsini kəsdiyi π/6 və 5π/6 nöqtələri arasında bu səviyyədə və ya ondan yuxarıdadır: [π/6; 5π/6].
2) cos x = √2/2 bərabərliyi π/4 və 7π/4 nöqtələrində ödənir; onların arasında kosinusoida bu səviyyədən aşağıdadır: (π/4; 7π/4).
3) tg x (−π/2; π/2)-də artır və tg(π/4) = 1: (π/4; π/2).

CSCA tipli sual

[0; 2π] parçasında cos x ≥ 1/2 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu hansıdır?
A) [0; π/3] B) [π/3; 5π/3] C) [0; π/3] ∪ [5π/3; 2π] D) [0; π/6] ∪ [11π/6; 2π]

Həllini göstər

cos x = 1/2 bərabərliyi π/3 və 5π/3 nöqtələrində ödənir. Kosinusoida 1-dən başlayır, π/3-dən sonra 1/2-dən aşağı düşür və 5π/3-dən sonra yenidən ondan yuxarı qalxır: C. A dövrün sonundakı hissəni unudur, B cos x ≤ 1/2 bərabərsizliyinin həllidir, D isə cos x ≥ √3/2 bərabərsizliyini həll edir.

CSCA bu mövzunu necə soruşur

Qrafik sualları tez-tez verilir və çox vaxt «hansı fikir doğrudur» şəklində olur. Əsas terminləri ingilis və çin dillərində tanı:

Termin (ingiliscə)	中文	Pinyin
sinus / kosinus / tangens funksiyası — sine / cosine / tangent function	正弦 / 余弦 / 正切函数	zhèngxián / yúxián / zhèngqiē hánshù
ən kiçik müsbət dövr — smallest positive period	最小正周期	zuìxiǎo zhèng zhōuqī
amplitud — amplitude	振幅	zhènfú
tezlik — frequency	频率	pínlǜ
faza / başlanğıc faza — phase / initial phase	相位 / 初相	xiàngwèi / chūxiàng
simmetriya oxu — axis of symmetry	对称轴	duìchènzhóu
simmetriya mərkəzi — centre of symmetry	对称中心	duìchèn zhōngxīn
artma aralığı — increasing interval	单调递增区间	dāndiào dìzēng qūjiān
ən böyük / ən kiçik qiymət — maximum / minimum value	最大值 / 最小值	zuìdàzhí / zuìxiǎozhí
funksiyanın sıfırı — zero of a function	零点	língdiǎn
paralel köçürmə (sürüşdürmə) — translation (shift)	平移	píngyí
dartılma / sıxılma — stretch / compression	伸缩	shēnsuō
beş nöqtə üsulu — five-point method	五点法	wǔdiǎnfǎ
triqonometrik tənlik — trigonometric equation	三角方程	sānjiǎo fāngchéng

Tipik sual növləri və vaxta qənaət yolları (bir suala təxminən 75 s):

Dövr və ən böyük-ən kiçik qiymətlər: T = 2π/|ω| (tg üçün π/|ω|); max = b + |A|, min = b − |A|; heç vaxt ω-ya vurma.
«Hansı fikir doğrudur»: təklif olunan oxu və ya mərkəzi f(x₀)-ı hesablayaraq yoxla: b ± A — ox, b — mərkəz.
Monotonluq aralıqları: t = ωx + φ-ni cədvəldəki aralıqlarda yerinə qoy; ω < 0 olduqda əvvəlcə funksiyanı çevir.
Sürüşdürmələr: ω-nı mötərizədən çıxar — y = sin(ωx + φ) φ/ω qədər sürüşdürülmüş y = sin ωx-dir; müqayisədən əvvəl funksiyaların adlarını eyniləşdir.
Qrafik → düstur: A və b hündürlüklərdən, T maksimumdan minimuma (T/2) və ya orta xətdən maksimuma (T/4) məsafədən, φ ən yüksək nöqtədən.
Aralıqda tənlik və bərabərsizliklər: əvvəlcə t = ωx + φ-nin aralığını tap, sonra əyrinin y = a düz xətti ilə görüşdüyü yerləri say.

Əsas fikirlər

sin x və cos x: dövr 2π, qiymətlər [−1; 1]; sin tək, cos cütdür; tg x: dövr π, tək, hər (−π/2 + kπ; π/2 + kπ) aralığında artan.
Simmetriya oxları ən yüksək və ən alçaq nöqtələrdən, simmetriya mərkəzləri orta xətt üzərindəki nöqtələrdən keçir.
y = A sin(ωx + φ) + b (A, ω > 0): T = 2π/ω, qiymətlər b − A-dan b + A-ya qədər.
Monotonluq aralıqları, oxlar və mərkəzlər: t = ωx + φ-ni sin t üçün şərtlərdə yerinə qoy.
y = sin(ωx + φ) φ/ω qədər sürüşdürülmüş y = sin ωx-dir (φ > 0 olduqda sola): əvvəlcə ω-nı mötərizədən çıxar.
Aralıqda əvvəlcə t = ωx + φ-nin aralığını tap; sin x = a tənliyinin ikinci kökü π − arcsin a, cos x = a tənliyininki −arccos a-dır.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

y = tg x funksiyasının ən kiçik müsbət dövrü nədir?

Mövzu testi: 20 sual · 25 dəq

Dərsi bitirdin? Bu mövzu üzrə vaxtlı testlə biliyini yoxla.

Testə başla